2022-2023学年吉林省长春市第五中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第五中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的补集，再由交集定义计算．

【详解】由题可得，所以，

故选：C.

2．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可分别判断.

【详解】对A，若，当时，，故A错误；

对B，若，当时，，故B错误；

对C，若，则，故C错误；

对D，若，则，故D正确.

故选：D.

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出的定义域为，然后把区间端点代入，根据函数零点存在定理进行判断．

【详解】的定义域为，

，，，，

因为，由函数零点存在定理得：零点所在的区间为．

故选：B．

4．函数，若，则（    ）

A．1 B．1或 C．或 D．

【答案】D

【分析】根据函数表达式，分段计算即可.

【详解】当时，，，舍去；

当时，，，∴；

当时，，，舍去.

故选：D.

5．2021年6月17日长征号运载箭划破苍弯成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道在考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足的函数关系是、若火箭的最大速度为11.9km/s.则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值约为（    ）(参考数据: )

A．0.018 B．0.064 C．0.036 D．1.018

【答案】A

【分析】由，结合参考数据进而求出的值．

【详解】解：由

可得：，

，

故选:A.

6．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性，结合中间值0和即可比较大小.

【详解】解：为增函数，

，

为减函数，

，

为增函数，

，且，

综上所述，，

故选：B.

7．函数在的图象大致为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的大小排除一些选项,再判断跟的大小关系,即可选出选项.

【详解】解:由题知,

又有,

,

,

即,

选项AB错误,

又有,

,

且,

即

,

故符合题意的选项为D.

故选:D

8．已知为偶函数，它在上是减函数，若有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用偶函数的基本性质将所求不等式变形为，再由该函数的单调性得出，可得出，利用对数函数的单调性即可解出该不等式.

【详解】函数为偶函数，由，可得，

又函数在上是减函数，，则，解得.

因此，所求的取值范围是.

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，涉及对数函数单调性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.

二、多选题

9．下列运算中正确的是（   ）

A． B．当

C．若，则 D．

【答案】BD

【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解.

【详解】对于A; ,故A错误，

对于B; 当，故B正确，

对于C;由于，所以，，所以，故C错误，

对于D; ，故D正确，

故选：BD

10．关于函数，正确的说法是（    ）

A．有且仅有一个零点 B．的定义域为

C．在单调递增 D．的图象关于点对称

【答案】ABD

【解析】先求得函数的定义域，由此判断B选项的正确性；然后判断函数的单调性，由此判断C选项的正确性；根据函数零点判断A选项的正确性；根据关于点的对称点是否在图像上，判断D选项的正确性.

【详解】函数的定义域为，B选项正确；

，所以在和上递减，C选项错误.

令，解得，所以有且仅有一个零点，A选项正确.

设点是函数图象上的任意一点，则，且关于的对称点为，而，且，所以点在函数的图象上，所以D选项正确.

故选：ABD

【点睛】本小题主要考查函数的定义域、单调性、零点、对称中心等知识，属于基础题.

11．已知正数、满足，则下列说法正确的是（    ）．

A．的最小值是 B．的最小值是

C．的最小值是 D．的最小值是

【答案】BD

【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】因为正数、满足，

对选项A，，所以，

当且仅当，即，时取等号，故A错误.

对选项B，，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，故B正确.

对选项C，，

当且仅当，即，时取等号.

所以的最小值是，故C错误.

对选项D，因为，即，

由①知：，所以，解得，

当且仅当，时取等号，所以的最小值是，故D正确.

故选：BD

12．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知幂函数在上为增函数，则______．

【答案】2

【分析】根据幂函数的定义和单调性求出值，然后计算．

【详解】∵幂函数在上为增函数，

∴，解得，

∴，

∴．

故答案为：2.

14．______________.

【答案】##

【分析】根据指数与对数的运算性质计算即可.

【详解】解：

.

故答案为：.

15．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则____．

【答案】##

【分析】由可求得的值，再利用奇函数的性质可得出，即可计算得出结果.

【详解】由奇函数的性质可知，可得，

故当时，，因此，.

故答案为：.

16．若函数，则的单调递增区间为________．

【答案】##[2,5)

【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性规则来求的单调递增区间即可.

【详解】由已知，得，

即的定义域为，

求的单调递增区间，即求函数在上的单调减区间，

由二次函数的性质可得函数在上的单调减区间为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)求集合；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对数函数的单调性可解出集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：由可得，解得，因此，.

（2）解：因为“”是“”的充分不必要条件，则，

当时，即，解得；

当时，则有，解得.

综上所述，.

18．已知函数.

(1)求函数的解析式；

(2)判断的奇偶性；

【答案】(1)

(2)为奇函数，证明见解析

【分析】（1）利用换元法，可得函数的表达式；

（2）根据奇函数定义判断可得答案．

【详解】（1）令，则，

因为，所以，所以，

由得，且，

所以；

（2）因为，

定义域关于原点对称，

，

所以为奇函数.

19．已知函数（是常数），且是偶函数

(1)求k的值

(2)若函数，求函数零点.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）是偶函数，有，可解得k的值；

（2）求的解析式，求解对应方程的实数根，得到函数零点.

【详解】（1），函数定义域为R，

，

是偶函数，，故，解得.

（2）由（1）可知，，，令，解得.

故函数零点为

20．已知函数在定义域上为增函数，且满足,.

(1) 求的值;

(2) 解不等式.

【答案】（1） （2）.

【详解】（1）

（2）

而函数f(x)是定义在上为增函数

即原不等式的解集为

21．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）

【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.

（2）化简得到，，计算，得到是减函数.

（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.

【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，

即，所以．又由，即，

所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.

（2）在上单调递减.证明：由（1）知，

任取，设，则，

因为函数在上是增函数，且，所以，又，

所以，即，

所以函数在R上单调递减.

（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，

因为在上是减函数，由上式推得，

即对一切有恒成立，设，

令，

则有，，所以，

所以，即的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.