2022-2023学年江苏省苏州中学高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州中学高一上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.

【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．

故选：A

2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】因为或，解得或

即，

因为，所以

当时，，满足要求.

当时，则，由，

可得，即

当时，则，由，

可得，即

综上所述，

故选:B.

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.

【详解】函数,是单调递增函数，

当 时，，

，

故

故函数的零点所在的区间为，

故选：B

4．已知，若是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.

【详解】因为是真命题，

所以方程有实数根，

所以，解得，

故实数的取值范围为.

故选：B.

5．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ）

A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟

【答案】C

【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.

【详解】根据题意可知，，，

因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，

所以，解得，则，

所以要使得该茶降至，即，则有，得，

故，

所以大约需要等待6分钟.

故选：C.

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；由，可排除B.

【详解】函数，由，即且且，

故函数的定义域为，

由，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；

当时，，，所以，可排除C；

由，，，即，可排除B.

故选：A.

7．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（    ）

A．116 B．115 C．114 D．113

【答案】C

【分析】由可得函数的周期为，

再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.

【详解】由，得，

即，

所以，

所以函数的周期为，

又为偶函数，

则，

所以，

所以函数也为偶函数，

又，

所以，，

所以，

又，即，所以，

又，，

，

所以

故选：.

8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数在区间、上的值域，然后在时解不等式，根据题意可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，即可得解.

【详解】令，其中，则，

所以，函数为偶函数，

当时，，

则当时，，

则，

当时，，

则，

当时，由可得或，

当时，，

由可得，解得.

故选：A.

二、多选题

9．已知，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对A，对两边同除ab化简即可判断；

对B，对不等式移项进行因式分解得，即可进一步判断的符号不确定，即可判断；

对C，对不等式移项进行因式分解得，由即可判断；

对D，对不等式移项进行根式运算得，即可进一步判断

【详解】对A，，A正确；

对B，，∵，∴，不等式不一定成立，B错误；

对C，，∵，∴，不等式成立，C正确；

对D，，所以，不等式不成立，D错误；

故选：AC．

10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（    ）

A．点P再次进入水中时用时30秒

B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点

C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米

D．点P第二次到达距水面米时用时25秒

【答案】BCD

【分析】以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.

【详解】解：由题意，角速度弧度/秒，

又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；

当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；

以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，

由，所以，

又角速度弧度/秒，时，，所以，，

所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；

将代入中，得，或，即，或．

所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．

故选：BCD．

11．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（    ）

A．在区间上有且仅有3个不同的零点

B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是

D．在区间上单调递增

【答案】BC

【分析】先根据在区间上对称轴的情况求得的取值范围，然后结合函数的零点、最小正周期、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由函数，令，，则，，

函数在区间上有且仅有4条对称轴，

即有4个整数k符合，

由，得，

则，即，，故C正确；

对于A，，，∴，

当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；

当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误；

对于B，周期，由，则，

∴，又，所以的最小正周期可能是，故B正确；

对于D，，∴，又，

∴，又，

所以在区间上不一定单调递增，故D错误．

故选：BC

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为

B．关于x的方程有个不同的解

C．对于实数，不等式恒成立

D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1

【答案】AC

【解析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.

【详解】当时，；当 时，；

当，则， ；

当，则， ；

当，则， ；

当，则，；

依次类推，作出函数的图像：

对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；

对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；

对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；

对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；

故选：AC

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和性质求解.

【详解】解：是幂函数，

，解得或，

若，则，在上不单调递减，不满足条件；

若，则，在上单调递增，满足条件；

即.

故答案为：

14．已知正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

因为为正实数，所以，

 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

15．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据函数对称性作出图象，结合图象，得到且，求得，化简，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.

【详解】当时，

所以在与上的图像关于对称.

作出图象如下图所示，不防令，

可得且

所以，

所以.

因为，令，则原式化为.

因为其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增

所以

所以的取值范围是.

故答案为：．

【点睛】关键点睛：根据函数的对称性，作出函数的图象，结合函数的图象有，化简，利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键.

四、双空题

16．调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.

①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；

②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为___________.

【答案】         

【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；

②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元，分、两种情况讨论，计算的表达式，结合可求得的最大值.

【详解】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，

故该家庭该月积分卡能兑换元；

②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.

若时，恒成立；

若时，，可得.

故的最大值为.

故答案为：①；②.

五、解答题

17．已知集合，，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）由集合得到，将代入集合，最后通过交集运算即可得到答案；

（2）分和两种情况进行分类讨论，即可求解

【详解】（1）由可得或，

因为，所以，

所以

（2）当时，则，解得，此时满足；

当时，要使，只需或，

解得或，

综上所述，实数的取值范围为或

18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为.

(1)求的值；

(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．

（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即可求得答案．

【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，

所以，则．

（2）由题知，则，，则 ，

故

.

19．已知函数是偶函数．

(1)求的值；

(2)若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；

（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由是偶函数可得，              ．

则，

即 ,

所以恒成立，

故.

（2）由（1）得，

所以，

令，则 ．

为使为单调增函数，则

①时显然满足题意；

②；

③.

综上：m 的范围为.

20．中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度米秒之间满足关系：，其中表示燕子耗氧量的单位数．

(1)当该燕子的耗氧量为个单位时，它的飞行速度大约是多少？

(2)若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的倍，则它的飞行速度大约增加多少？参考数据：，

【答案】(1)（米/秒）

(2)（米/秒）

【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将表示为对数，然后求出即可．

（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，则可得，然后化为对数运算即可．

【详解】（1）当时，，即，

所以，

所以，

即它的飞行速度大约是米秒．

（2）记燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，现在的耗氧量为，飞行速度为，

则，即，

所以，，

所以，

所以它的飞行速度大约增加米秒．

21．已知在定义域内单调的函数满足恒成立.

(1)设，求实数的值；

(2)解不等式；

(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值.

【答案】(1)

(2)

(3)，当且仅当时等号成立，

【分析】（1）由题意列方程求解，

（2）由函数的单调性转化后求解，

（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解，

【详解】（1）由题意得，

，

由于在上单调递增，

观察得的解为，

（2）由于在定义域内单调，所以为常数，

由（1）得，在上单调递增，

，

故原不等式可化为，

由得，

故原不等式的解集为

（3）

可化为对恒成立，

设，

则，，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

故当时， ，

故，当且仅当时等号成立，

22．对于函数.

(1)若，且为奇函数，求a的值；

(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；

(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用奇函数的定义可得；

（2）由题可得，分类讨论可得；

（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.

【详解】（1）∵，

∴，又为奇函数，

∴，

∴，对定义域内任意恒成立，

∴，解得，

此时，定义域为符合奇函数的条件，

所以；

（2）方程，

所以，

由①可得，，即，

当时，方程有唯一解，满足②，

所以符合条件；

当时，方程有两相等解，满足②，

所以符合条件；

当且时，方程有两不等解，

若满足②，则，

若满足②，则，

所以当时方程恰有一个实根；

综上，实数的取值范围为；

（3）令，则在上为减函数，在上为增函数，

∴函数在上为减函数，

当时，满足，

则，

∴，即对任意的恒成立，

设，又，所以函数在单调递增，

所以，

∴.