人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品一课一练

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一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))
特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
结合律：；
第一分配律：；
第二分配律：．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点3 向量共线定理
向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使．
注：定理中，向量a为非零向量，特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
知识点4 三点共线向量表示的两个结论
结论1：如图1，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数，使得.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例1】下列算式中，正确的个数为（ ）
①；②；③.
A．B．C．D．
变式1：下列运算正确的个数是（ ）
①；②；③．
A．0B．1C．2D．3
变式2：计算：（1）；（2）；（3）．
【例2】已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（ ）
①；②；
③若，则；④若，则．
A．①④B．①②C．①③D．③④
变式1：给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2D．3
变式2：下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
变式3:下列等式中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（ ）
A．B．C．D．
变式1：已知平面上不共线的四点，若，则等于（ ）
A．B．C．3D．2
考点二 共线向量定理的应用
解题方略：
利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使eq \(AB,\s\up7(―→))＝λeq \(AC,\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线．
注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；
(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
【例4】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【例5】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式1：设两个非零向量a与b不共线，若＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a＋mb，＝3(a－b)，则m为何值时，A，B，D三点共线？
变式2：设两个非零向量a与b不共线，试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
变式3：设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
变式5：设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．P、A、C三点共线B．P、A、B三点共线
C．P、B、C三点共线D．以上均不正确
【例6】已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
变式1：设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
考点三 由已知向量表示未知向量
解题方略：
由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形的对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
利用向量的线性运算
【例7】已知O，A，B是同一平面内的三个点，直线AB上有一点C满足2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝0，则eq \(OC,\s\up7(―→))＝( )
A．2eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)) B.－eq \(OA,\s\up7(―→))＋2eq \(OB,\s\up7(―→)) C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up7(―→))
【例8】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
变式1：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A．eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式2：设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4eq \(CD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
变式3:在△ABC中，点D在边AB上，且eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up7(―→))，设eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(3,5)a＋eq \f(4,5)b D．eq \f(4,5)a＋eq \f(3,5)b
变式4:(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→)) D．eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))
利用三角形的相似
【例9】在四边形ABCD中，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则( )
A．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) B.eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up7(―→))
C．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up7(―→)) D．eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(―→))
变式1：在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，则向量eq \(BF,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b B.－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b
【例10】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝( )
A.eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b B.eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b
C．－eq \f(2,5)a＋eq \f(4,5)b D．－eq \f(2,5)a－eq \f(4,5)b
变式1：如图所示，在△ABO中，eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于M，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b.则用a和b表示向量eq \(OM,\s\up7(→))＝________.
根据向量线性运算求参数
【例11】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(BC,\s\up7(―→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
变式1：如图，在直角梯形ABCD中，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，且eq \(AE,\s\up7(―→))＝req \(AB,\s\up7(―→))＋seq \(AD,\s\up7(―→))，则2r＋3s＝( )
A．1 B.2 C．3 D．4
变式2：在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq \(AC,\s\up7(―→))＝λeq \(AM,\s\up7(―→))＋μeq \(AN,\s\up7(―→))，则实数λ＋μ＝________.
【例12】在△ABC中，N是AC边上一点且＝eq \f(1,2)，P是BN上一点，若＝m＋eq \f(2,9)，则实数m的值是________．
【例13】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up7(→))＝3eq \(CD,\s\up7(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋(1－x)·eq \(AC,\s\up7(→))，则x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))
第四关
巩固练习识梳理
练习一 向量的数乘运算
1、等于（ ）
A．B．C．D．
2、化简：（1）；（2）；
（3）；（4）.
3、若，，则___________，___________，___________.
4、已知，则___________.
5、已知，下面式子正确的是（ ）
A．与同向B．0·＝0
C．D．若，则
6、【多选】对于非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．的长度是的长度的2倍，且与方向相同
B．的长度是的长度的，且与方向相反
C．若，则等于零
D．若，则是与同向的单位向量
7、【多选】已知，，下列叙述正确的是（ ）
A．B．与方向相同
C．是单位向量D．若，则
练习二 共线向量定理的应用
1、已知向量，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线
2、（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
3、设是两个不共线的单位向量，若，，，且三点共线，则实数的值为__________．
4、【多选】已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线B．C，B，D三点共线
C．D．
练习三 由已知向量表示未知向量
1、如图所示，在中，．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2、在△ABC中，点D满足，则（ ）
A．B．C．D．
3、设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4、设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5、在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图"中，若，则（ ）
A．B．C．D．
7、在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0B．C．D．3
8、在中，，为边上一点，与交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
9、如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．对于理解
代数角度
几何角度
是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．
对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．