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第12讲 正弦定理 -高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)
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第12讲 正弦定理
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有＝＝，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)＝＝＝.
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
变式2：在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝ .
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A. B. C. D.
变式1：已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
变式3：在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A. B．(，2) C．(1,2) D．(1，)
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝2ac，则a＝ .
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A． B． C． D．
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ .
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是 ．
变式3：在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
变式2：(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A． B． C．2 D．2
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2 B．4+ C．+4 D．3+2
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D．4
2、在△ABC中，已知B＝，c＝，C＝，求A，a，b的值
3、在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
4、在中，若，，，则___________.
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2、(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
练习五 正余弦定理的简单综合
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A． B． C． D．
2、在中，，则的值为______．
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝7.若△ABC的面积为，则其周长是 ．
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A． B． C． D．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
5、在△ABC中，a＝，c＝， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cos B＝－，③sin A＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第12讲 正弦定理
知识点1 正弦定理
1.正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
公式：在任意△ABC中，都有＝＝，这就是正弦定理.
注：正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2. 正弦定理的常见变形
(1)＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)..
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(5)＝＝＝.
(6)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB.
(7)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
3. 三角形面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B.
知识点2 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
由正弦定理得sinB＝，
①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
考点一 已知两角及一边解三角形
解题方略：
已知任意两角和一边，解三角形的步骤
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
变式1：已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
变式2：在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
变式3：在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.
变式4：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝ .
变式5：如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
变式6：已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
考点二 已知两边及一边的对角解三角形
解题方略：
已知三角形两边和一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
【例2】在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A. B. C. D.
变式1：已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
变式2：在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
变式3：在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
变式4：在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
变式5：在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．
变式6：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
变式7：已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A. B．(，2) C．(1,2) D．(1，)
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【例3】在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
变式1：在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
变式2：在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
变式3：【多选】下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
变式4：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
考点四 正弦定理的应用
【例4】有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
变式1：在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A. B. C. D.
变式2：在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________.
变式3：在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．1∶5∶6 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
变式4：在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
【例5】在中，“”是“”的（ ）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
变式1：在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例6】在△ABC中，若，则C的值为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
变式1：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝2ac，则a＝ .
变式2：在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角等于（ ）
A． B． C． D．
考点五 正余弦定理的简单综合
解题方略：
利用正、余弦定理解三角形的注意点
正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
【例7】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
变式1：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ .
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是 ．
变式3：在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ .
变式4：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
变式5：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
考点六 三角形的面积问题
解题方略：
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
（一）求三角形的面积
【例8】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积__.
变式1：已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为，另两边长之比为3：2，则这个三角形的面积是___________.
变式2：(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和S△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【例9】已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1：在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，，面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2：△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值.
（二）已知三角形面积求边、角的方法
【例10】在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A． B． C．2 D．2
变式1：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（ ）
A．6+2 B．4+ C．+4 D．3+2
变式2：已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，sin2A＋sin2C－sin Asin C＝sin2B.
(1)求sin B的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
变式3：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.
变式4：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
变式5：若的外接圆的半径是3，且，，，则__________.
练习一 已知两角及一边解三角形
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D．4
2、在△ABC中，已知B＝，c＝，C＝，求A，a，b的值
3、在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
练习二 已知两边及一边的对角解三角形
1、(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝_______，c＝________.
2、在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
3、【多选】在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
4、在中，若，，，则___________.
5、已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、在中，内角的对边分别为a，b，c，若，且此三角形有解，则A的取值范围是___________.
练习三 判断三角形的形状
1、在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2、在中，若，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
3、对于，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
4、【多选题】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.
6、在中，，则该三角形的形状是___________.
练习四 正弦定理的应用
1、在中，内角、、所对的边分别是，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2、(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
练习五 正余弦定理的简单综合
1、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )．
A． B． C． D．
2、在中，，则的值为______．
3、在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求角A的大小；
(2)求的值．
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cos A＝c·cos A＋a·cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A．
(1)求A及a；
(2)若b－c＝2，求BC边上的高．
练习六 三角形的面积问题
1、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________，___________，的面积为___________.
2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝7.若△ABC的面积为，则其周长是 ．
3、的内角、、的对边分别为、、,已知，该三角形的面积为，则的值为( )
A． B． C． D．
4、已知的内角所对的边分别为，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积
5、在△ABC中，a＝，c＝， (补充条件)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求sin(A＋B)．
从①b＝4，②cos B＝－，③sin A＝这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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