高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品习题

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第4讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点1 平面
1．平面的概念
①平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．
②立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
注：平面是平的，是无限延展的，没有厚薄，大小之分
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．
当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.

注：立体几何画图或作辅助线的原则——看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即眼见为实，眼不见为虚.
3．平面的表示
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
④用平面内不共线的三个点来表示平面
4．平面的几个特点
(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的．
5．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
从集合的角度理解点、直线、平面
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集。
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
文字语言
符号语言
图形语言
A在l上
A∈l

A在l外
Al

A在α内
A∈α

A在α外
Aα

l与 m平行
l // m

l，m相交于A
l∩m＝A

l与 m异面


l在α内
l⊂α

l与α平行
l // α

l，α相交于A
l∩α＝A

l在α外
lα

α，β相交于l
α∩β＝l

α与β平行
α // β


知识点2 平面的基本性质
1．三个基本事实：
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：


意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
作用：①确定平面；②判定两平面是否重合；③证明点、线共面．
注：(1)基本事实①的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能存在无数个平面
(2)基本事实①的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性


（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：

意义：说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”．
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法．
注：(1)直线是平面的真子集
(2)整条直线在平面内，则直线上的所有点都在平面内

（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：

意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
作用：①判断两个平面是否相交；②确定两个平面的交线；③证明若干点共线问题．
注：①若两个相交平面有两个公共点，则过这两点的直线就是相交平面的交线；
②若两个相交平面有三个公共点，则这三点共线；
③若两个平面相交，则一个平面内的直线与另一平面的交点落在两平面的交线上；
④若两个不重合的平面有一个公共点，则这两个平面相交.

2.三个推论
（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：

（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：

（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：


知识点3 空间中直线与直线的位置关系
1.空间两条直线的位置关系
位置关系
共面情况
有无公共点
相交
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点







2.异面直线
1．定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
注：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不能单纯理解为分别在不同平面内的两条直线.要注意异面直线定义中的“任何”两个字，它指的是空间中的任意平面.因此，异面直线也可以理解为在空间中找不到一个平面，使其同时经过这两条直线.
2． 画法:空间内，两条异面直线既不平行，也不相交.异面直线作图的时候，我们可以借助辅助的平面来体现异面直线的不共面的特点.


3.异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

3.异面直线所成的角
①两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．
②异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．
③两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．
④构造异面直线所成角的方法
（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；
（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；
（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角．
⑤求两条异面直线所成的角的步骤
（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线；
（2）证明：证明作出的角就是要求的角；
（3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

知识点4 空间中直线与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种：
① 直线在平面内——有无数个公共点；
② 直线与平面相交——有且只有一个公共点；
③ 直线与平面平行——没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内


有无数个公共点
直线a与平面α相交


有且只有一个公共点
直线a与平面α平行


无公共点


知识点5 平面与平面之间的位置关系
1．两个平面之间的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线．
2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行


无公共点
两平面相交


有无数个公共点，这些点在一条直线上

3．两个平行平面的画法
画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，且把这两个平行四边形上下放置．




考点一 平面的概念判断
解题方略：
平面的几个特点
(1) 平面是平的；
(2) 平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的
【例1】下列说法正确的是(　　)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
【解析】镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确，故选D.
变式1：下列命题中正确命题的个数是(　　)
①三角形是平面图形；
②四边形是平面图形；
③四边相等的四边形是平面图形；
④圆是平面图形．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】根据基本事实3可知①④正确，②③错误．故选B.
【例2】如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
【解析】表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP. 故选A.
【例3】下列空间图形画法错误的是(　　)

【解析】遮挡部分应画成虚线．故D错，故选D.
变式1：按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．

【解析】以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．

考点二 立体几何三种语言的相互转化
解题方略：
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．　
【例4】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
【解析】(1)点P∈直线AB；(2)点C ∉直线AB；
(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.

变式1：如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

【解析】在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
变式2：根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
【解析】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.
(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

变式3：用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解析】(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.


考点三 三个基本事实

【例5】已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(　　)
A．P∉α，Q∈α　　　　　 B．P∈α，Q∉α
C．P∉α，Q∉α D．Q∈α
【解析】因为Q∈m，m⊂α，所以Q∈α. 因为P∉m，所以有可能P∈α，也可能有P∉α.故选D.

变式1：如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A．l⊂α B．l⊄α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
【解析】　∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.故选A.
变式2：两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　)
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
【解析】若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．故选C.
变式3：【多选】已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
【解析】对于A，由基本事实2可知，a⊂β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN⊂α.同理MN⊂β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故α∩β＝A的写法错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.
【例6】能确定一个平面的条件是(　　)
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
【解析】不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．故选D.
变式1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.






【解析】(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
变式2：已知空间中有A，B，C，D，E五个点，如果点A，B，C，D在同一个平面内，点B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点(　　)
A．共面 B．不一定共面
C．不共面 D．以上都不对
【解析】若B，C，D共线，则这五个点不一定共面；若B，C，D不共线，则这五个点一定共面．故选B.
变式3：在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有____条.
【解析】由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5条．
答案：5





考点四 点、线共面问题
解题方略：
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．　　
【例7】如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.

证明：∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β.
∴直线 a⊂β，点 P∈β.
∵P∈b，b⊂α，∴P∈α.
又∵a⊂α，∴α与β重合．
∴PQ⊂α.
变式1：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明　方法一　(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二　(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
变式2：已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图．
求证：直线AD，BD，CD共面．
证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．
因为D∉l，所以l与D可以确定平面α(推论1)．
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α(基本事实1)．
同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面.
考点五 点共线、线共点问题
解题方略：
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．　　　　
3.判断四点共线的方法有：
（1）四点中两点连线所成的两条直线平行、相交或重合；
（2）由其中三点确定一个平面，再证明第四点在这个平面内；
（3）若其中三点共线，则此四点一定共面.

【例8】如图，在四面体A­BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.
求证：M，N，K三点共线．





证明：∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，
M∈BC，直线BC⊂平面BCD，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点
∴M在平面PQR与平面BCD的交线上．
同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上．
∴M，N，K三点共线．
变式1：如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点).

证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
因为AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD, l共点(相交于一点)．
变式2：如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．





证明：若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事实3可得P∈BD.
变式3：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
变式4：正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点．

（1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面．
（2）证明：PQ，MN ，DC三线共点．
【解析】（1）连接.
分别为的中点，且 ，
分别为，的中点，且.
四边形为平行四边形，且
且四点共面.
（2）由（1）知且必交于一点.
平面平面.
平面平面 .
又平面平面.，即三线共点.

考点六 直线与直线位置关系的判断
解题方略：
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定或证明两直线异面的常用方法：
1．定义法：不同在任何一个平面内的两条直线．（证明两条直线既不平行又不相交．)
2．定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．
用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

3．推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线．
4．反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．
证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立．
　　　　
【例9】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
[答案]　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面
变式1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：

①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
[解析]　①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.
变式2：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．异面
C．平行 D．垂直
【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．故选A.



变式3：在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　)

A．SB B．SC
C．BC D．AB
【解析】由题图知SB、SC、AB、AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
变式3：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)
A．4　　　　　　　 B．5
C．6 D．7

【解析】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.
变式4：【多选】下列关于异面直线的说法错误的是(　　)
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【解析】在选项A、B、C中的两直线可能平行、相交或异面，故A、B、C均错误；由异面直线的定义可知，D正确．故选A、B、C.
变式5：已知直线a，b与平面α，满足a∥α，b∥α，则a与b的位置关系是________．
【解析】如图，在长方体中，a∥α，b∥α，a与b相交，b′∥α，则a与b′异面，b″∥α，则a与b″平行，故a与b的位置关系有：平行、异面或相交．
答案：平行、异面或相交



变式6：与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
【解析】如图所示：

故相交、平行、异面都有可能．故选D.

变式7：平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．
【解析】因为a∥α，c⊂α，所以a与c无公共点，不相交；若a∥c，则直线a∥β或a⊂β，这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面．
答案：异面
变式8：已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．
在上述命题中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】①a与c可能相交，也可能异面；②a与c可能相交，也可能平行；③a与c可能异面，也可能平行；④a与c可能不在一个平面内．故①②③④均不正确．故选A.
变式9：若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
【解析】构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C.故选D.





变式10：若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(　　)
A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
【解析】逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．故选B.
异面直线所成的角
通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点．
【例10】在正方体中，与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图，连接BC1、DC1，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，
所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成的角，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°，故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选C．
变式1：如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

【解析】连接、、，，，
在正方体中，，，，
所以，四边形为平行四边形，，
所以，异面直线与所成的角为.
易知为等边三角形，.

故答案为：.
变式2：如图，在直三棱柱中，D为的中点，，则异面直线与所成的角为（ ）

A． B． C． D．
【解析】如图，取的中点E，连接，则，则（或其补角）即为异面直线与所成的角.
由条件知：，则，
故选：C.

变式3：如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）

A．90° B．45° C．60° D．30°
【解析】设G为AD的中点，连接GF，GE
则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线.
∴ ，且，，且，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数
又EF⊥ AB，
∴ EF⊥ GF
则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
∴ 在直角△GEF中，
∴ ∠GEF=30°.
故选：D.

变式4：已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
考点七 空间直线与平面位置关系判断
解题方略：
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 　　　　
【例11】下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故选C.
变式1：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．

【解析】(1)B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．
(2)BD1与6个面都相交.

变式2：三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
【解析】延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．故选A.

变式3：直线a在平面γ外，则(　　)
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
【解析】直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．故选D.
变式4：若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．
【解析】当这两点在α的同侧时，l与α平行；
当这两点在α的异侧时，l与α相交．
答案：平行或相交
考点八 平面与平面位置关系的判断
解题方略：
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　　　　
【例12】若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(　　)
A．平行　　　　　　　　　 B．异面
C．相交 D．平行或异面
【解析】两个平面内的直线必无交点，所以是异面或平行．
变式1：如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【解析】如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.

由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．故选C

变式2：如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线是异面直线，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
【解析】如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面．

由图知这两个平面可能平行，也可能相交．故选C
变式3：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？
【解析】如图，α内都有无数条直线与平面β平行

由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
变式4：空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．
【解析】以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．
答案：1或3
【例13】空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域.故选：D

变式1：试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？
【解析】三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

【例14】如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．

证明：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，
则延长CE与BB′必相交于一点H，
所以H∈EC，H∈B′B，
又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，
所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，
故平面ABB′A′与平面CDFE相交．

练习一 平面的概念判断
1、下列有关平面的说法正确的是（ ）
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面
【解析】对于A，我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，平行四边形是平面上四条线段构成的图形，是不能无限延展的，故A错误；
对于B，平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，而平面是无限延展的，无法度量，故B错误；
对于C，太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；
对于D，在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确.
故选：D
2、有以下命题：
①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
②有一个平面的长是，宽是；
③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．0       B．1       C．2       D．3
【解析】根据平面的特点：没有厚度、宽度、长度、以及平面是无限延展的，
可知三个命题均错
故选：A
练习二 立体几何三种语言的相互转化
1、如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：
①点A，B在直线a上________；
②直线a在平面α内________；
③点D在直线b上，点C在平面α内________

【解析】①②属于多面体；根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②a⊂α，③D∈b，C∈α.
答案：①A∈a，B∈a　②a⊂α　③D∈b，C∈α
2、用符号语言表示下列语句，正确的个数是（       ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1 B．2 C．3 D．0
【解析】错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误.
正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内.
故表示为：，，，所以表示正确.
正确. 平面与平面相交于直线l，表示为
l经过点P，点P在直线l上，.故正确.
故选：B.
3、“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（       ）
A．， B． C．， D．，
【解析】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，.
故选：C.
4、用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
【解析】(1)点A在直线l上，l在平面内，记为：；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内，
记为：平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面内外，
记为：点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)直线l经过平面外一点M，
记为：点M平面，点M直线l.
练习三 三个基本事实
1、已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是__________（填序号）.
①；
②；
③.
【解析】①由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；
②由A，B表示不同的点，且，即有，故正确；
③由，则，即为经过点A的一条直线而不是点A，故错误.
故答案为：③
2、如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是(　　)
A．直线MP　　　　　 B．直线NP
C．直线PR D．直线MR
【解析】因为MN⊂γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR.故选C.
3、若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

【解析】∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
答案：共线
练习四 点、线共面问题
1、在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（       ）
A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面
C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面
【解析】因为，则，，，四点共面.
因为，则平面，又平面，
则点在平面与平面的交线上，
同理，、也在平面与平面的交线上，
所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面.
由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面.
故选：C.

2、如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．

【解析】因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为，
所以，因为，所以，因为，
所以，即直线AD，BD，CD在同一平面内．
3、如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：

(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
【解析】(1)∵，
∴.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴，且
∴，
∴E，F，G，H四点共面.
(2)∵G，H不是BC，CD的中点，
∴
∴由（1）知，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE与HF的交点在直线AC上.
练习五 点共线、线共点问题
1、【多选】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）

A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
【解析】在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，

又A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴A，B，C均正确，D不正确.故选：ABC
2、如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．

【解析】证明：如图，连接，，则，因为，，

所以四边形为平行四边形，
又，平面，
则平面，
因为平面平面，
所以．即，，三点共线．
3、已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.

【答案】证明见解析
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
练习六 直线与直线位置关系的判断
1、在正方体中，判断下列直线间的位置关系：

①与________；
②与________；
③与(为的中点)________；
④与________.
【解析】
①连接与，因为在正方体中，
且，所以四边形为平行四边形，
因此；
②连接，，由①知，，
又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以与无交点，且与不平行，
所以与异面；
③连接，因为与共面，且与不平行，
所以与相交；
④因为在正方体中，
平面平面平面，
所以与异面.
故答案为：①平行；②异面；③相交；④异面.
2、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（ ）
A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交
【解析】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；
如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，
综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.
故选: B.

3、若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点
【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.
故选：D.
4、若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
【解析】因为、为异面直线，所以、所成的角为锐角或直角，
因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，
所以与的位置关系是异面或相交，故选：D
5、如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线.

【解析】证明：∵,,为垂足,是的中点,
∴点与点不重合
∵平面,平面,平面,
∴由异面直线的判定定理可知,直线与为异面直线
6、如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为

A． B． C． D．
【解析】设，则，过作，则，过作，则或其补角即为异面直线CD和PB所成的角，如图所示，过作，连接，则四边形是梯形，其中，，过作，则，
在中，，则，所以，故选A．

7、如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．

【解析】如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，
故为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，
∴∠ENM=30°．
又由AD=BC，知ME=EN，
∴∠EMN=∠ENM=30°，
∴，
即BC与AD所成的角为120°．
求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°．

练习七 空间直线与平面位置关系判断
1、已知平面α和直线l，则在平面α内至少有一条直线与直线l　(　　)
A.平行 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能
【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.
2、下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】易知①正确，
对②，如图所示：

在长方体中，直线为异面直线，，，故②正确；
对③，如图所示：

在长方体中，直线为相交直线，，与相交，故③错误；
对④，如图所示：

在长方体中，满足为异面直线，，，此时和相交，故④错误.
故选：C
3、若直线aα，则下列结论中成立的个数是（ ）
①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a平行的直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】∵直线aα，∴a∥α或a∩α=A．如图，显然①②③④都有反例，∴应选A．


练习八 平面与平面位置关系的判断
1、下列命题中，真命题的序号为_________.
①若两个平面有无数个公共点，则两个平面重合；
②若两个平面相交，则分别在两个平面内的两条直线也相交；
③若一个平面内任意一条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行.
【解析】两个平面相交时也有无数个公共点，故①为假命题；两个平面相交，分别在两个平面内的两条直线可以相交、异面、平行，故②为假命题；由平面平行的定义可知③为真命题．
2、下列说法中正确的个数是（ ）
①平面与平面都相交，则这三个平面有2条或3条交线
②两个平面平行，各任取两平面内的一条直线，它们不相交；
③直线a不平行于平面，则a不平行于内的任何条直线；
④如果，，那么.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①错误，平面与平面，都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.
②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.
③错误，直线a不平行于平面，则a有可能在平面内，此时可以与平面内无数条直线平行.
④错误，如果，，那么或
故选B.
3、三个平面将空间不可分成（ ）部分.
A．4 B．5 C．8 D．7
【解析】若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分.故选：B．
4、（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
【解析】（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定5个平面.
故答案为：（1）4；（2）5.
5、空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定____个平面.
【解析】可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．
6、已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．
【解析】当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．