苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线课堂检测

这是一份苏科版八年级下册9.5 三角形的中位线课堂检测，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 9.5 三角形的中位线（巩固练习）
一、单选题
1．如图，在中，，，是边的中点，是的中点，若，则的长是（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD的面积为20，则△BEF的面积为（　　）

A．2 B． C．5 D．9
3．如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ）

A．且 B．且
C．且 D．且
4．如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线交于点E，作的垂线交于点F，若，且的面积为2，则的长为（    ）

A． B．5 C． D．
5．如图，在中，，点E，F分别是，上的点，，，点P、Q、D分别是、、的中点，则的长为（    ）

A．4 B．10 C．6 D．8
6．如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（    ）

①；②；③和的面积相等；④和的面积相等
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
7．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E为AD的中点，连接OE、OC、CE，若BC＝12，CD＝5，则△COE的周长为（    ）

A．12 B． C．21 D．
8．如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，的两条直角边分别在轴，轴上，C，D分别是边，的中点，连接，已知，将绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点B，且，，连接OE，下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在中，，D、E分别为、的中点，，过点B作，交的延长线于点F，则四边形的面积为 _____．

12．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作于点E，连接，若，，则矩形的面积为______________．

13．如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 _____．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________

15．如图，在中，，，，分别是，，，四条边的中点，连接，，，，若的面积为，则和的面积之和为______．

16．如图，在中，点D、E、F分别为各边的中点，是高，若，则的度数为_______．

17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，下列结论：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④，
其中正确的有_______个．

18．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作交AC于点D，交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作取BE边的中点，作FB交EF于，交BF于点，得到四边形，它的面积记作，…照此规律作下去，则的值为_______．

三、解答题
19．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求矩形的面积．




20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△ BDC为等边三角形，点E，F分别为BD，CD的中点．
(1)求证：四边形AEFD是菱形；
(2)若BC=2，求四边形ABCD的面积．



21．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点、分别是的边、的中点，连接．
求证：，且．
（要求：尺规作图画出点和点，只保留作图痕迹，不写作法）






22．如图，在中，点D，E分别为BC，AC边上的中点，BE＝2DE，过点A作交DE延长线于点F．
(1) 求证：四边形ABEF为菱形；
(2) 若∠ABE＝，AB＝4，求四边形ABDF的面积．






23．已知：如图，在中，E、F、M分别是各边的中点，是高．
求证：
(1) ；
(2) 若四边形是菱形，应满足什么条件______________（直接写出答案）．






24．如图1，在等腰Rt中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为、、的中点．
(1) 观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2) 探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，判断的形状，并说明理由；
(3) 拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值．







参考答案
1．D
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：在中，，，，
，
是边的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】连接AC，过点B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易知△ABC的面积，可得BG长及△ADC面积，△ABC和△ACD同底，利用面积比求出其高之比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形面积公式即可求解．
解：如图，连接AC，过点B作EF的垂线交AC于G点，交EF于H点，
∵E、F分别是AD、CD的中点
∴EF//AC，△ACD中，AC边上的高为2GH
∴BG⊥AC
在Rt△ABC中，AB＝BC＝
∴由勾股定理可得：AC＝
∵△ABC为等腰三角形
∴△ABG和△BCG为等腰直角三角形
∴AG＝BG＝AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵S△ABC＝·AB·BC=＝16，且四边形ABCD的面积为20
∴S△ACD＝20－16＝4，
∴，
∴=，
∴BH＝BG+GH＝，
又∵，
∴S△BEF＝．
故选：D．

【点拨】此题主要考查了三角形的面积计算、中位线定理、等腰直角三角形的性质，如何根据题意做出辅助线并正确找出其底与高是解题的关键．
3．D
【分析】直接利用三角形中位线的性质以及正方形的判定方法分析得出答案．
解：使四边形为正方形，应添加的条件分别是且．
理由：∵顺次连接四边形各边中点得到四边形，
∴，，，，
，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴菱形是正方形．
故选：D．

【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接，构造平行线．
4．D
【分析】过A作AH⊥BC于H，根据三角形中位线定理得到AE=CE，得到DE=BC，求得DF=AH，根据三角形的面积公式得到DE•DF=4，得到AB•AC=16，求得AB=4，根据勾股定理计算即可．
解：过A作AH⊥BC于H，

∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵，
∴AE=CE，DE=BC，
∵DF⊥BC，
∴， AD=BD，
∴BF=HF，DF⊥DE，
∴DF=AH，
∵△DFE的面积为2cm2，
∴DE•DF=2，
∴DE•DF=4，
∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，
∴AB•AC=16，
∵AB=CE，
∴AB=AE=CE=AC，
∴AB•2AB=16，
∴AB=2（负值舍去），
∴AC=4，
∴BC=（cm），
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，同理得到，根据勾股定理计算，得到答案．
解：∵，
∴，
∵点P，D分别是，的中点，
∴,,
∴，
同理，，
∴,即，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理和勾股定理的相关知识．
6．D
【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．
解：如图，连接，

∵点是中点，
∴，
由折叠知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
由折叠知，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故②正确，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，故④正确，
无法判断和的面积是否相等，
∴③不正确，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
7．D
【分析】由勾股定理可求BD，由中位线，中线的性质求OE、EC，进而可求△COE的周长；
解：在矩形ABCD中，，
∴，
∵点O是BD的中点，
∴，
∵点E为AD的中点，
∴，，
∴，
∴△COE的周长为，
故选：D．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用、中位线的性质、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8．B
【分析】连接，由，知当最小时，最小，当最大时，最大，当时，最小，此时也最小，可求出，故最小为；当与重合时，最大，此时也最大，过作于，可求得，故最大为；即可得到答案．
解：连接，如图：

点为的中点，点为的中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，当最大时，最大，
当时，最小，此时也最小，如图：

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
最小为；
当与重合时，最大，此时也最大，过作于，如图：

同上可得是等腰直角三角形，，
，
，
，
最大为；
的最大值与最小值的差为，
故选：B．
【点拨】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及三角形中位线，解题的关键是找出取最大，最小值时的位置．
9．C
【分析】根据已知条件求出点D的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
解：∵
∴
∵C，D分别是边，的中点，
∴，，
∴点D的坐标为，点C的坐标为
∴第1次旋转结束时，点D在C点正下方，且，点D的坐标为，
第2次旋转结束时，点D在C点左边，且，，点D的坐标为，
第3次旋转结束时，点D在C点正上方，且，点D的坐标为，
则第4次旋转结束时，点D的坐标为，
•••
观察可知，4次一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点D的坐标为，
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
10．A
【分析】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD＝AB⋅AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①错误；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝AB⋅AC，故②错误；
∵AB＝BC，OB＝BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，ADBC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，故④正确；
故选：A．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得ABE是等边三角形，OE是ABC的中位线是关键．
11．
【分析】利用三角形的中位线定理，得到，利用所对的直角边是斜边的一半，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用求出面积即可．
解：∵D、E分别为、的中点，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴四边形的面积为；
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，含的直角三角形，以及平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
12．
【分析】利用等腰三角形三线合一，以及三角形的中位线定理，求出，利用勾股定理，求出，进而求出，利用即可得解．
解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
∴矩形的面积为；
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，以及勾股定理．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．
13．
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：如图，连接，

E，F分别是，的中点，，
，
，F是的中点，
，G是的中点，
，
，
F是的中点，
，，
，
，
E，F分别是，的中点，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．3
【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案．
解：作DF⊥AC，垂足为F，如图

∵∠BAC＝90°，DF⊥AC，
∴∠BAC＝∠DFC，
∴AB∥DF，
∵D为BC边上中点，
∴AD=BD=CD，
∴点F是AC的中点，
∴，
∵AE＝2，
∴；
故答案为：3．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题
15．6
【分析】根据点是的中点，可得，再根据点是的中点，可得，然后根据点是的中点，可得，最后根据点是的中点，可得，进行计算即可解答．
解：点是的中点，的面积为，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
和的面积之和为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
16．##60度
【分析】连结，根据点D、E、F分别为各边的中点，可得，为的中位线，可确定，，利用平行线性质可得，由，点D为中点，点F为中点，根据直角三角形斜边中线性质可得，，可证在和中，即可．
解：连结，

∵点D、E、F分别为各边的中点，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
∵，点D为中点，点F为中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质，掌握三角形的中位线性质，直角三角形斜边中线性质，三角形全等判定与性质是解题关键．
17．
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，即可得BO=DO=AD=BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BO=DO=BD，AO=CO，ABCD，
∵BD=2AD，
∴BO=DO=AD=BC，且点E是OC中点，
∴BE⊥AC，
∴①正确；
∵E、F、分别是OC、OD中点，
∴EFDC，CD=2EF，
∵G是AB中点，BE⊥AC，
∴AB=2BG=2GE，且CD=AB，CDAB，
∴BG=EF=GE，EFCDAB，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确；
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG=EF，GF=BE，且GE=GE，
∴△BGE≌△FEG（SSS），
∴③正确．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．
【分析】根据中点和平行的条件可求出四边形EDAF的边长为三角形的一半为，高为三角形高的一半为，求出S1的值，同理求出S2、S3的值，找出规律列出Sn的表达式．
解：∵E是BC中点，，，
∴ED、EF是△ABC的中位线，
∴ED=EF=AD=AF==，
∴四边形EDAF是菱形，
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的高=，
∴菱形EDAF的高为，
∴S1===，
同理，四边形也是菱形，FF1==，菱形的高为=，
∴S2===，
S3===
……
Sn=，
∴   =
故答案为：  ．
【点拨】本题考查了等边三角形和菱形，熟练掌握中位线的性质和菱形面积的计算方法，通过求菱形面积找出规律是解题关键．
19．(1)见分析 (2)
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2），，证是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，得出，得出，即可解决问题．
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由（1）可知，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)见分析 (2)
【分析】(1)证明△DEF和△ADE是等边三角形，进而得到AE=AD=DE=DF=EF，再由四边均相等的四边形是菱形即可证明；
(2)由BC=2求出AD=EF=1，再在Rt△ABD中由∠ABD=30°求出AB，最后根据梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积．
(1)证明：∵△ BDC为等边三角形，
∴DB=DC，∠BDC=60°，∠DBC=60°
∵点E，F分别为BD，CD的中点．
∴DE=DB=DC=DF，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF=EF，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-60°=30°，且E为BD的中点，
∴AE=DB=ED，
且∠ADE=180°-∠BAD-∠ABD=180°-90°-30°=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=AE=DE=DF=EF，
∴四边形AEFD是菱形
(2)解：∵点E，F分别为BD，CD的中点．
∴AD=EF=BC=1，BD=BC=2，
∵∠ABD=30°，∠BAD=90°，
∴△ABD三边之比为，
∴AB=AD=，
∴，
∴四边形ABCD的面积为．
【点拨】本题考查了菱形的判定定理、三角形的中位线定理、等边三角形的判定等，熟练掌握各图形的性质是解决本类题的关键．
21．见分析
【分析】根据垂直平分线的作法，分别作线段和线段的垂直平分线，交点分别为点和，延长到，使，连接，证明，得出，，再证明四边形是平行四边形，即可得出答案．
解：分别作线段和线段的垂直平分线，交点分别为点和，如图所示：

、分别是、的中点，
，，
在与中，
，
，
，，
∴，，
四边形是平行四边形，
，，
．
【点拨】本题主要考查了尺规尺规线段的垂直平分线，三角形中位线定理的证明，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线，平行四边形的判定方法．
22．(1)见详解． (2)．
【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再利用条件与三角形中位线定理证AB=BE，即可得到结论．
（2）过点E作于点M，由菱形的性质可知BE=EF=AB=4，再证为等腰直角三角形，得到，然后由梯形的面积公式即可得到答案．
（1）证明：∵点D、E分别为BC、AC边上的中点
∴DE是的中位线，
∴，，
∵，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又，
∴AB=DE，
∴为菱形．
（2）解：过点E作于点M，，AB=4，
DE=2，
∵四边形ABEF为菱形，
∴BE=EF=AB=4，
∴，
在中，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形ABDE的面积为：．

【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及梯形的面积公式等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
23．(1)见分析 (2)
【分析】（1）由已知得，FM为的中位线，，，同理，故．再根据直角三角形斜中半定理，可得，，通过等量代换，可证得．
（2）由FE，FM分别为的中位线，得，，，，四边形CEFM是平行四边形．若要四边形CEFM是菱形，则有，即．
（1）证明：∵F、M分别是AB、AC边上的中点，
∴FM为的中位线，
∴，
∴．
同理可得，FE为的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∵是的高，
∴，
∵E为BC边上的中点，
∴，
∴．
同理，，
M为AC边上的中点，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
故．
（2）解：若四边形CEFM是菱形，则应满足，理由如下：
∵E、F、M分别是各边的中点，
∴，，
∴四边形CEFM是平行四边形．
∵E、F、M分别是各边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形CEFM是平行四边形，
∴四边形CEFM是菱形．
故当时，四边形CEFM是菱形．
故答案为AC=BC
【点拨】本题考查了中位线判定及性质，斜中半定理以及菱形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
24．(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见分析 (3)
【分析】（1）利用三角形的中位线定理得出，，进而得出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，再得出，最后利用互余得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形可知，当最大时，面积最大，而的最大值是，即可得出结论．
（1）解：∵P、N分别为、的中点，
∴， ，
∵点M、P分别为DE、DC的中点，

∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．
由旋转可知，，
∵，，
∴，
∴，，
由三角形的中位线定理得，， ，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法可得，，，
，，
∵，
∴，

，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，
∴当最大时，面积最大，
∴点D在的延长线上，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定与性质、旋转的性质及三角形的中位线定理，熟练应用相关知识是解决本题的关键．