数学八年级下册9.5 三角形的中位线课后测评

这是一份数学八年级下册9.5 三角形的中位线课后测评，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 9. 5 三角形的中位线（基础练习）
一、单选题
1．如图，矩形的对角线相交于点O，点E是的中点，若，则BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，，是边的中点，是边上一点，连接，．若平分的周长，则的长为（    ）

A． B． C．4 D．
3．如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连结，若的面积为6，则的面积为（    ）

A．32 B．48 C．64 D．72
4．顺次连接任意四边形的各边中点，所得图形一定是（    ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
5．如图，在△ABC中，DE为中位线，连CD，则下列结论不一定成立的是（    ）

A．BC＝2DE
B．∠EDC＝∠BCD
C．S△ADC＝S△BDC
D．C△ABC＝2C△DEC（代表周长）
6．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（    ）
A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对
7．如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，M，N分别是的中点，连接MN．若 ，则（    ）

A．25 B． C．12 D．
10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．3
二、填空题
11．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，的周长是18，则__________．

12．如图，在矩形中，，相交于点，点，分别为，的中点．若，则的长为______．

13．如图，在中，点、分别在边、上，为中点，，，，则的面积为______．

14．如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是GEF面积的____倍．

15．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．

16．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 _______时，有EF⊥GH ．

17．如图，在中，，点D、E、F分别是边的中点．若，则CF的长为______．

18．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点B落在边上的点处，折痕交于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕交于点P．若，则___________．

三、解答题
19．如图，在中，，，分别是，，的中点．
(1) 若，则________；
(2) 求证：与互相平分


20．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的度数．






21．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1) 求证：；
(2) 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3) 请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．








22．公股定理神奇而美丽，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板 和直角三角板 ，顶点F在边止，项点C、D重合，连接 、．设、交于点G．， ， （ ），． 请你回答以下问题：
(1) 请猜想与的位置关系，并加以证明．
(2) 填空： =___________（用含有c的代数式表示）
(3) 请尝试利用此图形证明勾股定理．








23．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．

(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2) 当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD
菱形
矩形
正方形
平行四边形EFGH









24．如图1，在中，，，，于点D，将绕点B顺时针旋转得到
如图2，当时，求点C、E之间的距离；
在旋转过程中，当点A、E、F三点共线时，求AF的长；
连结AF，记AF的中点为P，请直接写出线段CP长度的最小值．









参考答案
1．D
【分析】根据矩形的性质可得，从而得到是的中位线，即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
故选：D
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
2．C
【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解．
解：如图，延长至，使得，连接，

，
,
又，
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，
即，
是的中位线，，
．
故选C．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键．
3．B
【分析】过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，由题意易得，，进而可得，然后可得，最后问题可求解．
解：过点F作FH⊥BC于点H，交GE于点M，如图所示：

∵点分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
故选B．
【点拨】本题主要考查三角形中位线及三角形的中线，熟练掌握三角形中位线及三角形的中线是解题的关键．
4．D
【分析】利用三角形中位线定理证明即可．
解：如图，任意四边形的各边中点分别为E、F、G、H，

连接，
则，
所以，
所以四边形是平行四边形，
故选D．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理的应用，平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．D
【分析】由在△ABC中，DE为中位线，可得DE∥BC，DE=，即BC=2DE，可判断选项A；由DE∥BC，内错角相等可得∠EDC=∠BCD，可判断选项B；由DE为△ABC的中位线，可得D为AB中点，可得AD=BD，过C作CH⊥AB于H，由CH是△BCD的高，也是△ACD的高，根据三角形面积等底同高可得S△ADC= S△BDC，可判断选项C；由CD为AB边中线，当∠ACB=90°，或∠ACB≠90°时，分类考虑C△ABC= 2C△DEC，或C△ABC≠2C△DEC，可判断选项D．
解：∵在△ABC中，DE为中位线，
∴DE∥BC，DE=，
∴BC=2DE，
∴选项A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
故选项B正确，不符合题意；
∵DE为△ABC的中位线，
∴D为AB中点，
∴AD=BD，
过C作CH⊥AB于H，

∴CH是△BCD的高，也是△ACD的高，
∴S△ADC＝，
S△BDC=，
∴S△ADC= S△BDC，
故选项C正确，不符合题意；
∵CD为AB边中线，
当∠ACB=90°时，
∴AB=2CD，
∵BC=2DE，点E为AC中点，
∴AC=2EC，
∵C△ABC=AB+BC+CA=2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC= 2C△DEC，
当∠ACB≠90°时，
AB≠2CD，
∴C△ABC=AB+BC+CA≠2CD+2DE+2CE=2（CD+DE+EC）=2C△DEC，
∴C△ABC≠2C△DEC，
∴选项D的结论不一定成立，符合题意．
故选择D．
【点拨】本题考查三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系，掌握三角形中位线性质，中线性质，平行线性质，三角形周长关系是解题关键．
6．B
【分析】先根据三角形的中位线性质证明“中点四边形”是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可证明“中点四边形”是矩形．
解：如图，点E、F、G、H分别为菱形的边、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴“中点四边形”是平行四边形，
∵菱形中，，
∴，即，
∴“中点四边形”是矩形，
故菱形的“中点四边形”是矩形，主要因为菱形的对角线互相垂直，
故选：B．

【点拨】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
7．B
【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．
解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，
∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，
∴AM是边BC上的中线，
∴BM＝CM，
∵GH是边AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MNAC＝3．
故选：B．
【点拨】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键．
8．A
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得，即可得是等边三角形，，根据等边三角形的性质和折叠的性质得和是等边三角形，即可得，，根据，得是的中位线，可得，即可得
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴和是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴五边形AEFCD的周长：，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
9．D
【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用三角形中位线定理求出的长．
解：连接，如图所示，

∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
在中，
．
∵M、N分别是的中点，
∴是的中位线．
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质与三角形中位线的定义及性质，正确添加辅助线是解答本题的关键．
10．A
【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题．
解：连接AF，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= BC= 2，
∵ G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH =AF，
∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，
∵∠B= 45°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴GH =，
即GH的最小值为，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
11．
【分析】根据平行四边形的性质可知，结合，的周长是18，求出的长，利用三角形中位线定理求出的长．
解：∵平行四边形的对角线，相交于点O，
∴点O是，的中点，
∵，
∴，
∵的周长是18，
∴，
∵平行四边形的对角线，相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出的长，此题难度不大．
12．8
【分析】先根据三角形中位线定理求出，再根据矩形的性质即可得到．
解：∵点，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是矩形，且点O是对角线的交点，
∴，
故答案为；8．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知矩形对角线相等且互相平分是解题的关键．
13．11
【分析】连接，根据，，可得，根据为的中点，可得，进一步求出的面积，根据为的中点，可得的面积．
解：连接，如图所示：

，，
，
为的中点，
，
，
的面积，
故答案为：11．
【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
14．8
【分析】过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，根据三角形的中位线的性质进行求解即可．
解：过点G作GHAB交EF于I，垂足为H，如下图：

∵E、F是AG、BG的中点，
∴EF=AB，GI=GH，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．
15．
【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．
解：如图，连接，

分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
16．AB=CD
【分析】当AB=CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理可得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，最后利用菱形的性质即可．
解：当AB=CD时，有EF⊥GH，理由如下：
如图所示，连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD是中位线
∴EG=AB，
同理HF=AB，FG=CD，BH=CD．
又∵AB=CD
∴EG=GF=FH=EH．
∴四边形EFGH是菱形
∴EF⊥GH．
故答案为：AB=CD．

【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，找到证明EFGH是菱形的条件是解答本题的关键．
17．3
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和三角形中位线定理即可得到结论．
解：∵°，点F是边的中点，
∴，
∵点D、E分别是边的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3
【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
18．8
【分析】先把图补全，由折叠得：证明是的中位线，得，可得答案．

解：如图，由折叠图得：

，
，
∴是的中位线，
，
，
．
故答案为：8．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
19．(1)20 (2)见分析
【分析】（1）根据中位线的性质即可求解；
（2）证明四边形是平行四边形即可得出结论．
（1）解：∵，分别是，的中点
∴，
，
∴，
故答案为：；
（2）证明：，，分别是，，的中点，

四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
20．(1)见分析 (2)
【分析】（1）根据平行四边的性质得出，，根据，，可得是的中位线，等量代换得出，可得，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，求得，根据，由等边对等角即可求解．
（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，  
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，  
．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，中位线的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)证明见分析；(2)四边形EFGH是平行四边形，理由见分析；(3)四边形EFGH的周长一半大于或者等于矩形ABCD一条对角线长度，理由见分析.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴在与中，，
∴；
(2)∵由(1)知，，则，同理证得，则，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(3) 四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．

连接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【点拨】考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
22．(1)，见分析 (2) (3)见分析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，得到 ，根据垂直的定义可得．
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
（3）根据三角形面积和梯形面积公式用两种方法求得四边形 的面积，可得到结论．
解：（1）解：
证明：






（2）解：

=


故答案为：
（3）解： =









即
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的计算，全等三角形的性质，正确识别图形是解题的关键．
23．(1)见分析
(2)矩形，菱形，正方形
【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和FG为中位线，根据中位线的性质即可求证．
（2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解．
解：（1）证明：如图，连接BD，

∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH//BD，EH＝BD，
同理FG//BD，FG＝BD，
∴EH//FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC，BD，如图所示：

当四边形ABCD是菱形时，
∴AC⊥BD，
∵FG//BD，EH//FG，
∴EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是矩形，
当四边形ABCD是矩形时，
AC=BD，则EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是正方形，
故答案为：矩形，菱形，正方形．
【点拨】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键．
24．（1）CE＝；（2）AF的长为+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．
【分析】（1）只要证明∠CBE＝90°，求出BE，BC利用勾股定理即可解决问题．
（2）分两种情形画出图形分别求解即可．
（3）如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO．利用三角形的中位线定理可得OP＝ ，推出点P的运动轨迹是以O为圆心 为半径的圆，由此即可解决问题．
解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝ ＝2，
∵CD⊥AB，
∴ •AB•CD＝ •AC•BC，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝BE＝ ＝3，
∵∠ABE＝α＝60°，
∴∠CBE＝30°+60°＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝．
（2）如图2﹣1中，

∵A，F，E三点共线，
∴∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝ ，
∴AF＝AE﹣EF＝﹣ ．
如图2﹣2中，

当A，E，F共线时，∠AEB＝90°，AE＝ ＝ ＝，
∴AF＝AE+EF＝+．
综上所述，AF的长为+或﹣．
（3）如图3中，取AB的中点O，连接OP，CO．

∵AO＝OB，AP＝PF，
∴OP＝ BF＝BC＝，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆，
∵OC＝ AB＝2，
∴CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．
故答案为（1）CE＝ ；（2）AF的长为+或﹣；（3）CP的最小值＝OC﹣OP＝2﹣．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查旋转变换，解直角三角形，勾股定理直角三角形30度角的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．