初中数学9.5 三角形的中位线巩固练习

这是一份初中数学9.5 三角形的中位线巩固练习，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 9.5 三角形的中位线（培优练习）
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（    ）

A．3 B．4 C．2 D．
2．如图，在中，是的平分线，是外角的平分线，于点，于点，连接．若，，，则的长是（    ）

A． B． C． D．
3．如图，E、F是线段AB上的两点，且AB=24，AE=2，BF=6，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接DC并取中点P，连PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为（    ）

A．64 B．72 C．80 D．88
4．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，∠DAB＝60°，作DH⊥AB于点H，连接OH，则OH的长为（   ）

A．2 B．3 C． D．
6．如图，的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若的面积为24，则的面积为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．1
7．边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，连接、，点，分别是、的中点，连接，则的长为(   )

A． B．1 C．2 D．
8．如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，，，点为平面内一动点，且，点为线段中点，则线段的取值范围为______．

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为___．

13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是_____．

14．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为______．

15．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°,AB=4cm，BC=8cm，E、F是AD，DC的中点，连接EF、BE、BF，已知四边形ABCD的面积为36，△DEF的面积是△DAC面积的，求△BEF的面积_____.

16．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AB=4，AD=2，△ADE为等边三角形，点F是直线ED上一点，连接OF，则线段OF的最小值为_______．

17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC边上的中点，E为AB边上一点，AB＝4BE，连接CE、DE，延长DE交CB延长线于F，若BF＝3，AB＝10，则＝________．

18．如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是________．


三、解答题
19．如图，在菱形中，、分别是、的中点．
(1)求证；
(2)若菱形的面积为8，则的面积为______．






20．如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．







21．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点.
(1) 观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2) 探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由.





22．如图1，直线和直线相交于A点，B、C分别在y轴的正半轴和负半轴上，且，C点坐标为．
(1) 求直线的函数表达式；
(2) 在线段上找一点P，使得，求P点的坐标；
(3) 如图2，D点为线段的中点，若点Q是线段（不与点A、B重合）上一点，且使得，请求出Q点坐标．




23．已知：如图，在中，分别是、的中点，分别是对角线上的四等分点，顺次连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当满足____ 条件时，四边形是菱形；
（3）若，
①探究四边形的形状，并说明理由；
②当时，直接写出四边形的面积.




24．在中，，D为上一动点．
(1) 如图1，当时，若，求的长；
(2) 如图2，当时，点P为的中点，且，求证：；
(3) 如图3，在（2）的条件下，将绕点P旋转，得到，连接，直接写出的值．








参考答案
1．B
【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
解：连接AC，
∵DA＝DC，∠D＝100°，
∴∠DAC＝∠DCA＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°，
∴AC＝，
∵点E，F分别是边AD，CD的中点，
∴EF＝AC＝4，
故选：B．

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
2．C
【分析】如图，延长交于点，延长、交于点，利用等腰三角形的判定和性质和直角三角形两锐角互余可得到，点是的中点，点是的中点，再利用三角形中位线定理即可求解．
解：如图，延长交于点，延长、交于点，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∵，，
∴是边上的中线，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义．通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
3．B
【分析】分别延长AD、BC相交于点H，连接PH，EH，FH，易证四边形DGCH为矩形，且P为矩形DGCH的对角线交点，即P为HG中点，过P作MNAB分别交EH、FH与M、N，所以MN为HEF的中位线，即点P的运动轨迹即为MN，所以GP扫过的图形即为梯形MEFN，再根据已知线段求出梯形MEFN的面积即可．
解：分别延长AD、BC交于点H，连接PH，EH，FH，

∵ADG、GCB为等腰直角三角形，
∴∠DGA=∠CGB=45°，
∴∠DGC=90°，
∴AHGC，
又∵∠HCG=90°，
∴∠HCG=∠DGC=90°，
∴DGHB，
∴四边形DGCH为矩形，
∵点P为DC中点，
∴点G、P、H三点共线，且P为HG的中点，
过P作MN于AB分别交EH、FH与M、N，
∴MN为HEF的中位线，且MN即为点P的运动轨迹，
∴GP扫过的图形即为梯形MEFN，
∵AB＝24，AE＝2，BF＝6，
∴EF=24-2-6=16，
∴MN=EF=8，
过点H作HO垂直AB于O，
∴HO=AB=12，
∴梯形的高为：×12=6，
∴，
即线段PG扫过的图形面积为72，
故选B．
【点拨】本题为动点问题，考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点，解题的关键是寻找点P的运动轨迹．
4．C
【分析】连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN．
解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，

∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，
∴BCEH，
∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM，
∵BM=MH，
∴△BRM≌△HEM(AAS)，
∴RM=EM，BR=EH=2，
∵EFAB，
同理可得△APN≌△FEN，
∴PN=EN，AP=EF=2，
∴BP=AB-AP=6-2=4，
在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2，
∴42+22=PR2，
∴PR=2，
∵RM=EM，PN=EN，
∴MN是△PRE的中位线，
∴MN=PR=，
故选：C．
【点拨】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．
5．B
【分析】由菱形四边形相等、OD=OB，且每边长为6，再有∠DAB＝60°，说明△DAB为等边三角形，由DH⊥AB，可得AH=HB（等腰三角形三线合一），可得OH就是AD的一半，即可完成解答．
解：∵菱形ABCD的周长为24
∴AD=BD=24÷4=6，OB=OD
由∵∠DAB＝60°
∴△DAB为等边三角形
又∵DH⊥AB
∴AH=HB
∴OH=AD=3
故答案为B.
【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形、三角形中位线的知识，考查知识点较多，提升了试题难度，但抓住双基，本题便不难．
6．C
【分析】利用平行四边形的对角线、相交于点，可得，即点为的中点，由于点为的中点，所以为的中位线，可得，且；利用可得，进而得出；利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得；利用，可得，利用，可得，答案可得．
解：四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，平行线的性质，三角形的面积，三角形全等的判定与性质，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比是解题的关键．
7．D
【分析】连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，可得GO、HO分别是△ACE、△BDF的中位线，从而求出GO，HO的长，在通过证明△GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的长．
解：连接AC、BD交于点O，连接GO、HO，如图所示，

∵点E、F分别是AB、BC的中点．
∴AE=AB=2，BF=BC＝2．
∵点O是正方形ABCD对角线的交点．
∴点O是AC、BD的中点．
∵点G是EC的中点．
∴GO是△ACE的中位线．
∴GO=AE=1，且GO∥AB．
同理，HO=1，且HO∥BC．
∵∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴GO⊥HO．
∴∠GOH=90°．
在Rt△GOH中，
GH=．
故选：D．
【点拨】本题考查了正方形的性质与三角形的中位线性质定理，通过作辅助线把GH归纳到直角三角形中是解题的关键．
8．C
【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解．
解：如图：延长交于H，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解．
9．A
【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
如图：连接并延长交于G
∵
∴，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是BD的中点，
∴．
故选：A．

【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．
10．A
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论．
解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC,
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∵CE＝BE＝2
∴E为BC的中点
∴OE为△ABC的中位线
∴OE=AB=1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∵BC＝2AB
∴BC=4OE
∴AD=4OE
∴①正确
Rt△EOC中，OC＝，
在Rt△OCD中，OD＝
BD＝2OD＝2
故②正确
在Rt△AOE中，∵AE是斜边
∴AE＞AO
∴AB＞AO
∴∠AOB＞∠ABO
∴∠AOB＞45°
∴∠BOE=90°-∠AOB＜45°
∵OE=
∴∠BOE＞∠OBE
∵∠ACB=30°，∠EOC=90°
∴∠OEC=60°
∴∠OEB=120°
∴∠BOE +∠OBE=60°
∴∠BOE＞30°
∴③正确
过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N
∴PM=PN（角平分线的性质）
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC=，
∴
∴④正确
综上，正确的个数是4个
故选：A．

【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
11．
【分析】连接，取的中点，连接，先根据三角形中位线定理可得，再根据勾股定理、直角三角形的性质可得，然后分三种情况，根据三角形的三边关系、线段的和差即可得．
解：如图1，连接，取的中点，连接，

点为线段中点，
是的中位线，
，
，，
，
又点为的中点，
，
（1）如图1，当点不共线时，
由三角形的三边关系得：，
即；
（2）如图2，当点共线，且点位于点中间时，

则；
（3）如图3，当点共线，且点位于点中间时，

则；
综上，线段的取值范围为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．
12．
【分析】将Rt△ABC绕B点顺时针旋转60°得到Rt△EBD，首先证明Q随着P的运动在ED上运动，然后求解CQ的最小值即为求C到ED的距离，当CQ⊥ED时，CQ的长度即为最小，结合题意求解即可．
解：如图所示：

将Rt△ABC绕B点顺时针旋转60°得到Rt△EBD，
则此时E、C、B三点在同一直线上，
∵∠ABC=60°，∠PBQ=60°，
∴∠ABP=∠EBQ，随着P的运动，总有AB=EB，PB=QB，
∴△APB≌△EQB（SAS），
即：E、Q、D三点在同一直线上，
∴Q的运动轨迹为线段ED，
∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC=5，
∴BD=5，EC=5，
即C为EB的中点，
∵CQ⊥ED，∠D=90°，
∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线，
∴ ，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理等，解题关键是能够熟练运用旋转的性质，确定点Q的轨迹在线段ED上．
13．AC⊥BD
【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．
解：如图，

∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；
故答案为：AC⊥BD．
【点拨】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形，解题关键是掌握中位线的定义和菱形的判定方法．
14．
【分析】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点M的运动轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度．
解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．

∵△APE是等腰直角三角形，
．
∴∠APB+∠TPE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC，
∴∠ABP=90°，∠PTE=90°．
∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°．
∴∠BAP=∠TPE．
．
．
∵四边形ABCD是正方形，
．
．
∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT．
．  
∴∠TEC=∠TCE=45°．
∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴O是AC的中点，∠DBC=45°．
∴∠DBC=∠TCE．
．
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线．
∴．
∴点M在直线OD上．
∵点P在BC边上移动，
∴点M的运动轨迹是OD．
∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O，
∴AB=6，AD=6，O是BD的中点．
∴．
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键．
15．13
【分析】过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,先利用勾股定理和中位线定理求出AC和EF的长，然后利用面积法求出相应的高MN，BP，再利用面积公式求出的面积.
解：过D点作DM⊥AC,分别交AC、EF于点M、N，过B点作BP⊥AC，垂足为P,

∵AB=4，BC=8，
∴AC=,
∵E、F是AD，DC的中点，
∴EF=               
∵四边形ABCD的面积=36,
∴ ,
即,
∴  

  
∴，
∴   
∴  
   
=13.
【点拨】本题主要考查了勾股定理和三角形中位线以及三角形面积问题，正确做出辅助线和利用面积法求出相应的高MN，BP是解题的关键.
16．
【分析】连接OE，设OE与AD交于点G．由垂线段最短可知，当时OF最小．由矩形的性质可得出，即可判定OE是线段AD的垂直平分线．再由等边三角形的性质可得出，，．由三角形中位线的性质可求出．最后结合勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即得出答案．
解：如图，连接OE，设OE与AD交于点G．

由垂线段最短可知，当时OF最小．
∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴，
∴OE是线段AD的垂直平分线．
∵△ADE为等边三角形，
∴，点G为AD中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质等．正确的作出辅助线是解题关键．
17．
【分析】取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位线定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA证明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，从而解决问题．
解：取AB的中点G，连接DG，则AB＝2BG，

∵AB＝4BE，
∴BE＝EG，
∵D为AC边上的中点，G为AB的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∴BC＝2DG，DGBF，
∴∠GDE＝∠F，
在△GDE和△BFE中，
，
∴△GDE≌△BFE（AAS），
∴DG＝BF＝3，DE＝EF，
∴BC＝6，
∴CF＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，
∴CD＝4，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：，
∵∠ACB＝90°，EF＝DE，
∴CE＝DF，
∴＝＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题的关键是证明点E是DF的中点．
18．
【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，过点作于．
，，，
，
点和点分别是和的中点，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．

【点拨】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键．
19．(1)见分析 (2)3
【分析】(1) 由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由、分别是、的中点可证得BE＝DF，根据SAS，即可证△ABE≌△ADF得AE＝AF，从而得证．
(2) 连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D，
∵、分别是、的中点,
∴，，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，
∵点E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，
∴AC⊥EF，AG＝3CG，
设AC＝a，BD＝b，
∴，即ab＝16，
∴．
故答案为：3
【点拨】此题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．
20．(1)四边形ADCF是菱形，理由见分析． (2)BF=，理由见分析． (3)BF=
【分析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，证明△AEF≌△DEB，则AF=BD，则AF=CD．又由于AFCD，因此四边形ADCF是平行四边形，又因AD=CD，因此四边形ADCF是菱形．
(2)由正方形的性质可得FC=CD=AD，由(1)知AD=DB，则FC=CD=DB，则CB=2FC．根据勾股定理可得BF=CF，又因为CF=AD=2AE，因此BF=．
(3)连接FD交AC于O点，作FG垂直于BA的延长线于D点，先证明四边形OFGA是矩形，则FG=OA==3，GA=OF=OD．由中位线的性质得OD==4，则GA=4，GB=12，根据勾股定理可求得BF的长．
解：（1）∵△ABC中，∠CAB=90º，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）

如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90º．
∵∠CAB=90º，
∴∠CAG=90º．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90º，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
【点拨】本题是一道有关四边形的综合性题目，考查了直角三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)，，理由见分析；(2)是等腰直角三角形，理由见分析
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论．
（1）解：，理由如下：
∵点P，N是，的中点，
∴，，，
∵点P，M是，的中点，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：由旋转知，，
在和中，
，
∴，，
∴，，
利用三角形的中位线得，，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得， ，
∴，
同（1）的方法得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．(1) (2) (3)
【分析】(1)根据，C点坐标为，确定，确定点，设直线的函数表达式为，代入A、B两点的坐标计算即可．
（2）设直线的函数表达式为，代入A、C两点的坐标，确定解析式，设，连接，根据坐标可计算，结合确定，再运用分割法得到，计算即可．
（3）在上取一点E，使得，连接，结合得到是中位线，得到，得到，结合，可证明，继而得到，过点Q作于点G，利用等腰直角三角形的性质，运用勾股定理，求算的长，结合点的位置，写出坐标即可．
解：（1）因为，C点坐标为，
所以，
所以点，
设直线的函数表达式为，代入A、B两点的坐标，得：
，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）设直线的函数表达式为，代入A、C两点的坐标，得：
，
解得，
所以直线的函数表达式为．
设，连接，

因为A点，C点坐标为，点，
所以，
所以，
因为
所以，
因为，
所以，
解得，
所以．
（3）如图，因为，D点为线段的中点，
所以，，，
在上取一点E，使得，连接，
因为，
所以是中位线，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
过点Q作于点G，
则，
设，则，
根据勾股定理，得，
所以，
解得，
所以，

因为点Q在第二象限，
所以．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段与坐标的关系，三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积分割法计算，熟练掌握待定系数法，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
23．(1)见分析;(2) 当满足条件时，四边形是菱形，理由见分析；（3）①四边形是矩形，理由见分析；②
【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，OA，同理：EH∥OC，，得出EH=GF，EH∥GF，即可得出结论；
（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出四边形GEHF是菱形；
（3）①由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，得出GH=AB，证出GH=EF，即可得出四边形GEHF是矩形；
②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，则AM∥GN，证出GN是△ADM的中位线，得出，证出∠BAM=30°，由直角三角形的性质得出，，得出，求出△EFG的面积=，即可得出结果．
解：（1）证明：连接，如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴的中点在上，
∵分别是对角线上的四等分点，
∴分别为、的中点，
∵是的中点，
∴为的中位线，
∴GF∥OA，OA，
同理：EH∥OC，
∴EH=GF，EH∥GF，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当满足条件时，四边形是菱形；理由如下：
连接，如图所示：

则AG=BH，AG∥BH，
∴四边形是平行四边形，
∴AB∥GH，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故答案为；
（3）解：①四边形是矩形；理由如下：
由（2）得：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
②作于，于，如图所示：

则AM∥GN，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
∴四边形的面积的面积.
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．(1) (2)见分析 (3)
【分析】（1）过点D作于点H．由三角形外角的性质易求．根据题意可求，即得出．设，则，根据勾股定理可求出．从而可列出关于x的方程，解出x，即可求出的长；
（2）连接，过点A作于点Q．易得出，根据勾股定理可得出．结合题意又可得出．设．根据等腰三角形的性质可得，即点D为中点．结合题意利用三角形中位线定理可得，，从而可证，最后根据勾股定理可求出；
（3）在（2）的基础上，过点作交的延长线于点T，由旋转的性质可知，，即易证四边形是矩形，得出，，进而可求出，，，最后根据勾股定理求出和的长，作比即可．
解：（1）如图，过点D作于点H．         
∵，，，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴．
∴，
解得：，
∴；

（2）如图，连接，过点A作于点Q．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设．
∵，，
∴，即点D为中点．
∵点P为的中点，即，
∴，，
∴，
∴，，
∴；

（3）如图，在（2）的基础上，过点作交的延长线于点T，
由旋转的性质可知，，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴．

【点拨】本题考查三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．