初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形练习

这是一份初中苏科版第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形练习，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 9.4.1 矩形（巩固练习）
一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ）

A． B． C． D．
2．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
3．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，矩形ABCD的周长为10，对角线AC为，则图中阴影部分的面积为(   )

A．6 B．5 C．3 D．10
5．如图，在四边形中，已知，，且，，则（    ）

A． B．3 C． D．
6．如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长交于点，则和的面积之比为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，对矩形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则等于（　　）

A．52° B．64° C．54° D．63°
8．如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于，若，则点到的距离等于（    ）

A．1 B．2 C． D．
9．两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（    ）

A．15 B． C． D．
10．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______．

12．如图，矩形中，E为的中点，F在上，平分，若，，则线段的长为 _____．

13．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是___________．

14．如图，在中，，，点在上，于点，为的中点.当时，的面积是______．

15．如图，在平面直角坐标系中有一长方形，其中，若将沿所在的直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是___.

16．如图，在长方形ABCD中，点P为AD上一个动点，沿PB将△ABP折叠得到ΔEBP，点A的对称点为点E，射线BE交长方形ABCD的边于点F，若AB＝4，AD＝6，直线BE过AD的中点F时，AP的长为__________ ．

17．如图，四边形中，，，，点是对角线上的一个动点，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，，连接和，则的最小值为_____．

18．如图甲，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为，，．若满足，则称点为关于点的勾股点．如图乙， E是矩形内一点，且点是关于点 的勾股点，连接．已知 ，，，则的长为 _____．

三、解答题
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝1．
(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2) 求平行四边形ABCD的面积．







20．如图，已知在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，、别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当为何值时，四边形为矩形？
(2)当为何值时，？
(3)当为何值时，？









21．如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．







22．在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，交AB于点G．
(1)点D如图所示．
① 请依题意在下图中补全图形；
② 猜想DE与CG的数量关系，并证明；
(2)连接DG，GE，若AB=2，直接写出四边形CDGE面积的最小值．




23．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．
第二：再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕和线段．

(1) 请问图中、和有什么关系？证明你的结论．
(2) 在第（1）题图中，延长交于G，过G点作于点H，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，求的长．






24．（1）情境观察
小朱是个数学爱好者，她在数学活动课上将长方形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△，如图1所示．将△的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A()、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC'= °．

（2）问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）拓展延伸
如图4，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，连接EF，小朱发现△AEF和△ABC的面积竟然相等，请你证明小朱的结论．
















参考答案
1．A
【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．
解：在四边形中，对角线相交于点O，，
四边形是平行四边形，
A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；
B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点拨】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，三个角为90°分别进行分析即可．
解：∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为矩形，
故A选项不符合题意；
∵，，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为矩形，
故B选项不符合题意；
∵，，
∴,，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为菱形，
故C选项符合题意；
∵，，
∴,，，
∴，，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD为矩形，
故D选项不符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
3．B
【分析】由题意根据矩形的性质及AE平分∠BAD分别判定BE=BA及△OAB为等边三角形，进一步推出∠BOE=∠BEO，然后求得∠OBE=30°，则可在△BOE中求得∠BOE的度数．
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=45°，AD∥BC，OA=OB，
∴∠AEB=∠EAD=45°，
∴BE=BA．
∵∠CAE=15°，∠BAE=45°，
∴∠BAC=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO=BA，
∴BO=BE，
∴∠BOE=∠BEO，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°．
故选：B．
【点拨】本题考查矩形的性质和等边三角形和等腰三角形的判定及三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
4．C
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，证明四边形AEBG和四边形BGCF为矩形，得出图中阴影部分的面积为Rt△ABC的面积，求出Rt△ABC的面积即可．
解：过点B作BG⊥AC于点G，如图，

∴
∵四边形AEFC是矩形，
∴
∴四边形AEBG和四边形BGCF为矩形，
∴
∴
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∴①
又
∴②，
由①②得或
∴
∴图中阴影部分的面积为3
故选：C
【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造矩形是解答本题的关键．
5．B
【分析】连接，取的中点，连接，勾股定理求得，进而证明是等边三角形，结合题意，根据角平分线的性质得出即可．
解：如图，连接，取的中点，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是的角平分线，
又∵，
∴
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意，由折叠的性质可知，，，；根据点是的中点可知，再结合角平分线的性质可知，即可证明，由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式即可求得和的面积之比．
解：根据题意，由折叠的性质可知，
，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即和的面积之比为．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．C
【分析】由尺规作图痕迹可知，所作分别为的平分线和线段的垂直平分线，再结合矩形的性质以及三角形内角和定理可得出答案．
解：如图，

由尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，
，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查尺规作图、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质以及角平分线和线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
8．C
【分析】作于点，则，先证明，得，再推导出，则，而，得，即可根据勾股定理求得，于是得到问题的答案．
解：作于点，则，

是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点到的距离等于，
故选：C．
【点拨】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
9．B
【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
解：过点作，过点作，如图所示



∴四边形为矩形
即
，，点为中点
，
即为等边三角形


在直角中，

，


为等腰直角三角形

即
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键．
10．C
【分析】如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．
解：如图作点关于的对称点，连接，．

在中，
，，
．，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
11．20°##20度
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=40°，可得∠E度数．
解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，
故答案为：20°．

【点拨】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
12．
【分析】延长、交于点，根据题意利用证明，得出，，再根据等腰三角形的判定求出，设，根据长的两种求法建立方程求解，则可求出，再根据勾股定理求出，然后求出，则可在中，根据勾股定理求出长，从而求出长．
解：如图，延长、交于点，

是的中点，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
是的角平分线．
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得，
，
，
，
在中，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到．
13．
【分析】首先根据勾股定理，可求得的长，再根据折叠的性质及平行线的性质，可证得，据此即可求得结果．
解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，证得是解决本题的关键．
14．
【分析】由直角三角形的性质得出，，，证出，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案．
解：∵，，点为的中点，，
∴，，，
∴，，，
∵，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴的面积是．
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
15．
【分析】设，连，与交于G，作，由面积法可求得的长，在和中，由勾股定理知：，解得x的值，再求得y的值即可．
解：连接，与交于G，作，
∵，
∴是等腰三角形，是边上的高，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设，则有：，
即：，
解得，
∴，
∴．

【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．
【分析】根据已知条件得到，根据勾股定理可得到，由翻折可知，设，则，，根据勾股定理即可得解．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
翻折可知，
设，则，，
在中，，
即，
∴，即的长为；
故答案为．
【点拨】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．
17．
【分析】连接、，可得四边形是矩形，得到，同理可得，证明，得到，进而证明，得到，从而得到，可知当时，有最小值，即可得到的最小值．
解：连接、，

，，
，
四边形是矩形，
，
同理可证，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
当最小时，有最小值，
根据垂线段最短可知，当时，有最小值，
，，，
，
，
，
的最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形额判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，作辅助线找到全等三角形是解题关键．
18．
【分析】根据矩形的性质，勾股定理和三角形面积公式解答即可．
解：∵点是关于点的勾股点，
，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
如图，作的高线，和的高线，

，，
，
，
，
，
， ，
由勾股定理可得：，
解得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质，关键是掌握矩形的性质和勾股定理．
19．(1)见分析 (2)矩形ABCD的面积＝
【分析】（1）根据等边三角形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据勾股定理得出BC，进而利用矩形的面积公式解答即可．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
又∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2AB＝2，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝，
矩形ABCD的面积＝AB·BC＝．
【点拨】本题考查矩形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和矩形的判定解答．
20．(1)6.5 (2)6 (3)6或7
【分析】（1）根据矩形的判定定理，当时，列出方程求解即可；
（2）当时，四边形是平行四边形，依据这个等式列出方程求解即可；
（3）分四边形是平行四边形和等腰梯形两种情况讨论，列出方程求解即可．
解：（1）∵动点以的速度运动，动点以的速度运动，
∴，，
∴，
当时，，
此时且，
由，即可得出四边形为矩形，
∴当为时，四边形为矩形．
（2）由题意，，，
当时，；
此时，且，
则四边形是平行四边形，即可得出，
∴当为6时，．
（3）由（2）知，当为6时，四边形是平行四边形，
此时，，
若四边形是等腰梯形，则也有，
如图所示，分别过P点和D点作，，垂足分别为E、F，
由，
可得，
可知，，
∴，
∴，
综上，当为6或7时，．

【点拨】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰梯形等知识，解题关键是正确理解题意，列出方程．
21．（1）见分析；（2）120°．
【分析】（1）先说明四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，进而得到AC=BD，即可说明四边形ABC D是矩形；
（2）如图，连接OE与BD交于F，由直角三角形斜边中线的性质可得EO=AO，即△AEO是等边三角形，再根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求出答案．
解：（1）∵OC＝AO，OD＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图：连接OE与BD交于F
∵四边形AOBE是平行四边形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．

【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键．
22．(1)①作图见分析；②DE=CG，证明见分析； (2)
【分析】（1）①按照题意作图即可；②如图1过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH，∠A=∠B=45°，∠ADH=90°，∠A=∠DHA=45°，DA=DH= CE，四边形DHEC是平行四边形，∠DCE=90°，四边形DHEC是矩形，矩形对角线相等且互相平分可知，DE=CH，OD=OC，∠ODC=∠OCD，证明∠CDE=∠BCG=∠ACH，△ACH≌△BCG，进而可说明DE=CG．
（2）如图2，由（1）可知DE=CG，CG⊥DE，S四边形CDGE•DE•CG•CG2；可知面积最小即CG的值最短；根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短，由AG=GB，∠ACB=90°，可知CGAB=1，进而可求四边形面积的最小值．
(1)解：①图形如图1所示．
②结论：DE=CG．
证明：如图1中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH交DE于O，连接EH．

∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°
∵AD⊥DH
∴∠ADH=90°
∴∠A=∠DHA=45°
∴DA=DH
∵AD=CE
∴DH=CE
∵∠ADH=∠ACB=90°
∴DH∥BC
∴四边形DHEC是平行四边形
∵∠DCE=90°
∴四边形DHEC是矩形
∴DE=CH，OD=OC=OE=OH
∴∠ODC=∠OCD
∵CG⊥DE
∴∠CDE+∠DCG=90°，∠DCG+∠BCG=90°
∴∠CDE=∠BCG=∠ACH
在△ACH和△BCG中
∵
∴△ACH≌△BCG（ASA）
∴CH=CG
∴DE=CG．
(2)解：如图2

由（1）可知DE=CG，CG⊥DE
∴S四边形CDGE•DE•CG•CG2
根据垂线段最短可知，当CG⊥AB时，CG的值最短
∵CA=CB，CG⊥AB
∴AG=GB
∴CGAB=1
∴四边形CDGE的面积的最小值为．
【点拨】本题考查了垂线段，矩形的判定与性质，三角形全等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．
23．(1)，理由见分析 (2)
【分析】（1）连接，先证明为等边三角形，从而，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出的度数，即可得到；
（2）先根据黄金矩形求出，再根据得到，然后根据30度角的性质和勾股定理求出，然后作答即可．
（1）解：如图，连接，

由折叠可得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∴；
∴；
（2）如图：

∵是矩形纸片，，
∴，
∵黄金矩形以为宽，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
∴．
【点拨】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，30度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出是解题的关键．
24．（1）AD或；90；（2）EP=FQ，理由见分析；（3）见分析
【分析】（1）根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△，利用矩形性质即可得出与BC相等的线段以及∠的度数；
（2）根据全等三角形的判定得出△ABG△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质可以推知△ABC与△AEF的面积相等．
解：（1）根据将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△，
∴与BC相等的线段是 AD或，
∵∠=∠C，∠C+∠CAB=90°，
∴∠+∠CAB=90°，
∴∠=90°；
故答案为：AD或A′D，90；
（2）EP=FQ，理由如下：
∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，
∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
∴，
∴△ABG△EAP（AAS），
∴AG=EP，
同理△FQA△AGC（AAS），
∴AG=FQ，
∴EP=FQ；
（3）相等．理由如下：
过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．

由（2）知EP=FQ．
在△EPH与△FQH中，
∵，
∴△EPH△FQH（AAS），
∴HE=HF，
由（2）知，△ABG△EAP，△FQA△AGC，
则，．
∵△EPH△FQH，则，
∴


，
即．
∴△ABC与△AEF的面积相等．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出△ABG△EAP、△FQA△AGC，△EPH△FQH是解题关键．