初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形巩固练习

这是一份初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形巩固练习，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

9.4.1 矩形（基础练习）
一、单选题
1．下列命题是假命题的是（   ）
A．矩形的对角线相等 B．矩形的对边相等
C．矩形的对角线互相平分 D．矩形的对角线互相垂直
2．如图，在矩形中，，E是的中点，于点F，则的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
3．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ）
A．任意四边形 B．对角线相等的四边形
C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形
4．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个矩形，则这个四边形满足条件的是（    ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．三个角都是直角
5．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ）

A． B． C． D．
6．如图所示，增加下列一个条件可以使平行四边形ABCD成为矩形的是（     ）

A． B．
C． D．
7．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ．

A．16 B．4 C．8 D．16
8．已知如图，， ， ，，则的面积为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．6
9．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，中，，以为边的正方形面积为12，中线的长度为2，则的长度为_____ ．

12．在一张矩形纸片中，，M，N分别为，的中点，现将这张纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为________．

13．正方形的边长为4，点为边上一动点，以为边作矩形，且边过点．

①当点移动到中点时，矩形的面积是_____________．
②在点从点移动到点的过程中，矩形的面积_____________．（填序号）
①先变大后变小            
②先变小后变大    
③一直变大                 
④保持不变
14．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为__．

15．如图1，已知长方形纸带，，．将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置．再沿折叠成图2.点、分别落在、的位置，已知，则_______．

16．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．

17．如图，在直角三角形ABC中，，，点是的中点，点是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，是上的一个动点，则的最小值为___________．

18．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，则BF＝_____．

三、解答题
19．如图，分别是高，M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)若，求度数（用含α的式子表示）．










20．如图，平行四边形中，点是与的交点，过点的直线与，的延长线分别交于点，．
(1) 求证：；
(2) 连接，，则与满足什么条件时四边形是矩形？请说明理由．








21．如图1，矩形ABCD，E为边AB上的点，将△BCE沿CE折叠，点B恰好落在AC上点B处．
(1) 若AB＝8，BC＝6，求BE的长度；
(2) 如图2，过点D作EC的垂线，垂足为点G，分别交BC、AC于点F、H，连接EF，若EF＝AE，求证：为定值．






22．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
(2) 若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．




23．如图，为上一点，为的中点．
(1) 求证：；
(2) 若，探究与之间的数量关系．






24．如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF．
(1) 求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2) 如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF．





参考答案
1．D
【解析】略
2．C
【分析】延长交于点M，可证得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
解：如图，延长交于点M，

∵E是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
故选：C
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
3．D
【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：，；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
4．C
【分析】作如下图所示，根据矩形的性质和三角形中位线定理即可求解．
解：作如下图，

由E、F、G、H分别是的中点，
根据三角形中位线定理得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即对角线互相垂直，
故选C．
【点拨】本题考查了矩形的性质和三角形的中位线定理，解决本题的关键是构造三角形利用三角形中位线定理进行解答．
5．D
【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果．
解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示，

∵AD平分∠CAO，
∴DO=DE，
∵点B的坐标为，
∴OA=4，OC=3，
∴，
∴，
∴，
∴OD=，
∴D点坐标为（0，），
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键．
6．C
【分析】根据矩形的判定定理解答．
解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，
可知C项正确；
A选项，平行四边形对角相等，无法据此判断平行四边形是矩形；
B选项，AC⊥BD，可判断平行四边形ABCD是菱形无法判断其为矩形；
D选项，AB=BC，据此可判断平行四边形ABCD是菱形无法判断其为矩形；
故A、B、D不符合题意，
故选：C．
【点拨】此题考查了矩形的判定定理，熟记平行四边形与矩形的关系是解题的关键．
7．D
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=OD，
∵△ABO是等边三角形，AC=8cm，
∴AO=OB=AB=4cm，
∴AC=BD，
∴四边形是ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=，
∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)，
故答案为：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．
8．C
【分析】过点D作 于G，过点E作 ，交 的延长线于点F，先证明（AAS），从而得，再证明四边形为矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
解：过点D作 于G，过点E作，交的延长线于点F

又∵
∴
∴
∴在和中
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
的面积为：；
故选C．
【点拨】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
9．D
【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．
解：连接，交于H，

∵，点E为的中点，
∴，
又∵，
∴，
由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），
∴，
则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
10．D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，再证得，进而证得①②正确，根据勾股定理可证得③④正确．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故①②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故③正确；
∵，
∴，
∵
∴，
故④正确；
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定可性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，证得是解题的关键．
11．2
【分析】根据题意可得：，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得：，则根据勾股定理可得：．
解：∵为边的正方形面积为12，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵斜边的中线的长度为2，
∴，
∴根据勾股定理可得：，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及勾股定理，掌握直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
12．4
【分析】先过点F作于点H，得矩形，根据三角函数求出的值，再根据勾股定理，求出各边的值，即可求出答案．
解：如图，过点F作于点H，得矩形．

∵M为的中点，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，
∴．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．
13．          ④
【分析】连接，则的面积是矩形的面积的一半，故矩形的面积保持不变，由此进行计算分析．
解：连接，则．
矩形的面积保持不变，面积为．
故答案为：，④．

【点拨】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是将矩形的面积转化为与的面积的关系．
14．##106度
【分析】连接，由作法得垂直平分，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，再由三角形外角的性质，即可求解．
解：连接，如图，

由作法得垂直平分，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
15．
【分析】设，先根据，列方程可得的值，根据旋转可得结论．
解：设，
由旋转得：， ，
，
，
，
在Rt中，，
，解得，
由旋转得：，
，
，
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同时也考查了三角形的内角和及折叠的性质．
16．10
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．
解：根据折叠的性质得.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
在中，，
解之得：，
∴，
∴．
故答案为:10．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．
17．
【分析】连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解．
解：连接，，如图，

∵点是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，是上的一个动点，
∴，
∴，
∵，，点是的中点，
∴．
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
18．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得．所以∠CAD=∠ACB=90°．又∠ACE=90°，可证明四边形ACED是矩形，得出AD=CE=2，AF=EF，AE=CD．证明△ABE是等边三角形，再根据勾股定理即可求出BF的长．
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠ACE=∠DEC=∠CAD=90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=2，AF=EF，AE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∴AB=AE，
∴CE=BE=2,BE=4
又∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴AF=EF=2，∠BFE=90°，
．
故答案为：
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
19．(1)见分析 (2)
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）先利用三角形内角和定理可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形外角的性质可得，最后利用平角定义进行计算即可解答．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵点N是的中点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴



，
∴的度数为．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线，列代数式，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)证明见详解． (2)，理由见详解．
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明即可．
（2）利用矩形的性质解题即可．
解：（1）证明：∵平行四边形
∴且，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：当时四边形是矩形，
证明：由（1）得：，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．

【点拨】本题主要考查平行四边形的性质的应用及矩形的判定，能够熟练运用平行四边形的性质证明全等是解题关键．
21．(1)3 (2)证明见分析，
【分析】（1）Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求得AC＝10，由翻折的性质，BC＝B'C＝6，则AB'＝4，设EB＝EB'＝x，则AE＝8-x，Rt△AEB'中，42+x2＝（8-x）2，求出x即可求BE＝3．
（2）过E作EM⊥AC于M，可证明，则∠EFB＝∠EAM，设∠ECB＝∠ECA＝x，则有∠BAC＝∠EFB＝90°-2x，∠GFC＝90°-∠FCG＝90°-x，∠EFG＝180°-∠BFE﹣∠GFC＝3x，即可求得．
解：（1）∵矩形ABCD，
∴△ABC为直角三角形，
Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
由翻折的性质，BC＝B'C＝6，
∴AB'＝4，
设EB＝EB'＝x，则AE＝8﹣x，
Rt△AEB'中，42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BE＝3．
（2）过E作EM⊥AC于M，

∵EM＝BE，EF＝AE，∠AME＝∠B＝90°，
∴Rt△AME≌Rt△FBE（HL），
∴∠EFB＝∠EAM，
设∠ECB＝∠ECA＝x，
∴∠BAC＝∠EFB＝90°-2x，
∴∠GFC＝90°-∠FCG＝90°-x，
∴∠EFG＝180°-∠BFE﹣∠GFC＝3x，
∴．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；全等三角形的性质；勾股定理，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．(1)见分析 (2)①见分析；②75°
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论；
（2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论；
②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形     
∴BD＝2OB       
∵AC＝2OB
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形
（2）①证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO          
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝45°     
∴∠DEA＝45

∴DA＝DE        
又∵∠OAE＝15°
∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°     
∴DA＝DO＝AO
∴DA＝DO＝DE        
②解： ，

，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
23．(1)见分析 (2)
【分析】（1）延长交于点，根据，可得到，从而得到，再由为的中点，可证得，即可求证；
（2）根据题意得到，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解．
解：（1）证明：延长交于点．

，
，
，
，
为的中点，
，
，
．
，
．  
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
．
，  
，
．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键．
24．(1)见分析 (2)四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF．
【分析】（1）证△AOE≌△COF（ASA），得OE=OF，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证∠DEB=90°，再由矩形的判定得平行四边形DEBF是矩形，然后由矩形的性质即可得出结论．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，，OB=OD．
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF，理由如下：
由（1）得：四边形DEBF是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形，
∴BD=EF．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．