初中第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形精品练习题

这是一份初中第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形精品练习题，文件包含第2讲解直角三角形-九年级数学上册同步精品讲义北师大版解析版docx、第2讲解直角三角形-九年级数学上册同步精品讲义北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
第2讲 解直角三角形
目标导航

解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要注意强调书写格式问题；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
知识精讲

知识点
一、解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　　③边角之间的关系：
　　　，，，
　　　，，.
　　④，h为斜边上的高.
要点诠释：
　　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
　　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
二、解直角三角形的常见类型及解法

已知条件
解法步骤
Rt△ABC

两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，

一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
要点诠释：
　　1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　　2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

【知识拓展1】如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为α，则tanα的值为（ ）。

A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．
解：如图；

在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；
根据勾股定理，得：AB= =8米；
∴tanθ=；
故选C．
【知识拓展2】王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）

A、50m B、100m C、150m D、100m
【答案】D
【解析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．
解答：解：AD=AB•sin60°=50；
BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．
∴AC==100．
故选D．
【知识拓展3】如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积是（ ）

A.4 B.4 C.4 D.6
【答案】A
【解析】作辅作线，构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后四边形ABCD的面积．
分别延长CD，BA交于点E．

∵∠DAB=135°，
∴∠EAD=∠C=∠E=45°，
∴BE=BC=2，AD=ED=2，
∴四边形ABCD的面积=S△EBC-S△ADE=BC•BE-AD•DE=6-2=4
故选D.
【知识拓展4】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）

【解析】解：α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα=
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，
CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，
∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．
答：这栋楼房约为277.1m．
【即学即练1】如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡度为：1，坡长AB=20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后延伸到F处，使新的背水坡BF的坡度为1:1，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）.

【答案】13
【解析】过B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，
则∠BAE＝60°，∴AE＝BE＝10，BE＝30，tan∠BFE＝＝1，∴BE＝EF＝30，∴AF＝EF－AE＝30－10≈13 m
【即学即练2】如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°,此时B处距离码头O有多远？
（参考数据：，，）
【答案】13.5
【解析】设B处距离码头O有xkm，在Rt△CAO中，∠CAO＝45°.∵.
∴，在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，
∵，∴，∵，
∴，∴，
因此，B处距离码头O大约13.5km.
【即学即练3】如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC＝21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位）.参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.

【答案】20.5
【解析】如图，根据题意，DE＝1.56，EC＝21，∠ACE＝90°，∠DEC＝90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠DFC＝90°，∠ADF＝47°，∠BDF＝42°，可得四边形DECF为矩形，∴DF＝EC＝21，FC＝DE＝1.56，在Rt△DFA中，tan∠ADF＝，∴AF＝DF·tan47°≈21×1.07＝22.47，在Rt△DFB中，tan∠BDF＝，∴BF＝DF·tan42°≈21×0.90＝18.90，于是，AB＝AF－BF≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC＝BF＋FC≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5.
答：旗杆AB的高度约为3.6m，建筑物BC的高度约为20.5m.
【即学即练4】施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离
AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米.
(1)求坡角∠D的度数.(结果精确到1°)
（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？
(参考数据：，，，)

【解析】（1），∴.
(2) 米，共需台阶级.
能力拓展

类型一、解直角三角形
1． 在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；
（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．
【答案】（1）∠B＝30°，a＝12，b＝4；（2）∠A＝∠B＝45°，b＝3
【分析】（1）先求出∠B的度数，再结合三角函数可以求出a、b的值；（2）先由勾股定理求出b的值，然后求出∠A、∠B的度数即可．
解：
（1）∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵c=8，
∴a=c·sin60°=8×=12，
b=c·cos60°=8×=4；
（2）∵a＝3，c＝6，
∴b=3，
∴b=a，
∴∠A=∠B=45°．
【点拨】熟练掌握锐角三角函数的应用．
【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【答案】b＝2，∠B＝30°，∠A＝60°．
【分析】利用勾股定理可求出b＝2，结合c＝4可得出b＝c，进而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，∠A＝60°．
【点拨】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，利用勾股定理求出b值，找出b＝c是解题的关键．
【变式2】.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G．
（1）求证：DQ=PQ；
（2）当tan∠APD=时，求：①CQ的长；②BG的长．

【答案】（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠APD=∠QDP．等量代换得到∠QPD=∠QDP，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①过Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根据勾股定理得到PD= ，DQ= ，于是得到结论；②根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
解：（1）证明：∵四边形ABDF是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠APD=∠QDP．
∵∠APD=∠QPD，
∴∠QPD=∠QDP，
∴DQ=PQ；
（2）解：①过Q作QE⊥PD于E，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∵tan∠APD=，AD=2，
∴AP=1.5，
∴PD==，
∵DQ=PQ，
∴DE=PE=，
∵∠APD=∠QPD，
∴tan∠APD==tan∠QPD=，
∴QE=，
∴DQ==，
∴CQ=DQ-CD=；
②∵AB=2，AP=1.5，
∴PB=，
∵CQ∥PB，
∴△CQG∽△BPG，
∴=，
∴=，
∴BG=．
故答案为：（1）见解析；（2）①CQ=；②BG=．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式3】图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）

【答案】92.5
【分析】过点作于点，延长交地面于点，利用即可进行求解.
解：过点作于点，延长交地面于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把手离地面的高度为.

【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解.
类型二、解非直角三角形
2． 某校综合实践小组要对一幢建筑物的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿斜坡向上走到达处，（即）测得该建筑物顶端的仰角为.已知斜坡的坡度，请你计算建筑物的高度（即的长，结果保留根号）.

【答案】建筑物的高度为.
【分析】过点作，根据坡度的定义求出AB，BD,AD，再利用三角函数的定义列出方程求解.
解：过点作，垂足为.过点作，垂足为.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，.
∵，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，.
根据题意，，，
在中，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，.
又∵，
∴，解得，
∴.
答：建筑物的高度为.

【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义.
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．

【答案】(1) 150°；(2)
【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．
解：（1）连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
DB=4，
∵42+82=（4）2，
∴DB2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=60°+90°=150°；
（2）过B作BE⊥AD，
∵∠A=60°，AB=4，
∴BE=AB•sin60°=4×=2，
∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×2+×4×8=4+16．

【变式2】.如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.

【答案】2+2
【解析】本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.
试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC=×4=2，
∴AD=，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2+2．
【变式3】如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF（EF=DC），可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km，∠A=45°，∠B=30°，桥DC和AB平行．
（1）求桥DC与直线AB的距离；
（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（以上两问中的结果均精确到0.1km，参考数据：≈1.14，≈1.73）

【答案】（1）桥DC与直线AB的距离是6.0km；（2）现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【分析】(1)过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；(2)过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD， CB的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.
解：（1）作CH⊥AB于点H，如图所示，

∵BC=12km，∠B=30°，
∴km，BH=km，
即桥DC与直线AB的距离是6.0km；
（2）作DM⊥AB于点M，如图所示，

∵桥DC和AB平行，CH=6km，
∴DM=CH=6km，
∵∠DMA=90°，∠B=45°，MH=EF=DC，
∴AD=km，AM=DM=6km，
∴现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：（AD+DC+BC）﹣（AM+MH+BH）=AD+DC+BC﹣AM﹣MH﹣BH=AD+BC﹣AM﹣BH=km，
即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km．
【点拨】做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.
类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
3． 如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）

【答案】大楼CE的高度是26m．
【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.
解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．

在直角△ABF中，sin∠BAF＝，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×＝5（m）．
在直角△CDB中，tan∠CBD＝，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）．
则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）．
答：大楼CE的高度是26m．
【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义与性质.
【变式1】问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上：________.
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a，a，a(a＞0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为，，(m＞0，n＞0，且m≠n)，试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．
【答案】（1）；（2）3a2；（3）7mn
【分析】（1）的面积；
（2）是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边；是直角边长为，的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边.同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积.
解：(1)；
故答案为；
(2)如图1，在边长为a的正方形网格中，△ABC即为所求作三角形，S△ABC＝2a×4a－×2a×2a－×2a×a－×4a×a＝3a2　
(3)如图2，在每个小长方形的长为m、宽为n的网格中，△ABC即为所求作三角形，其中AB＝、AC＝、BC＝，S△ABC＝4m×4n－×m×4n－×3m×2n－×4m×2n＝7mn.

【点拨】此题主要考查了勾股定理应用、利用了数形综合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键.关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答.
【变式2】.数学课外实践活动中，小林在校园内选择°了道路上的A、B两点处，利用测角仪对教学楼的楼顶D处进行了测量，如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=60°,AB=10米，求楼顶D处到道路AC的距离约为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：，)

【答案】楼顶D处到道路AC的距离约为23.7米.
【解析】【分析】作辅助线,在Rt△BDE中利用三角函数值求出DE的长即可解题
解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，

设，则，∴EB=x-10,
在Rt△BDE中，DE=tan60°==,
解方程并检验得：DE=x=15+5,
答：楼顶处到道路的距离约为23.7米.
【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用,属于简单题,选用简单的角表示DE是解题关键.
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．

【答案】BD的长是5．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan∠ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.
解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，

∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝﹣a，
∵AC＝3，AB＝，∠C＝90°，
∴BC=，
∴，
∴a=，
经检验，a=是上面方程的解.
∴DE=，BE=2
Rt△BED中，由勾股定理得：
BD2＝BE2+DE2=，
∴BD＝5.
【点拨】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用

分层提分

题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2021·浙江浙江·九年级期末）矩形纸片按如图1的方式分割成三个直角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，令，，根据，得到，用两种方法求出AE，可得等式，化简可得．
【详解】解：设，令，，
，
∴，
，
在图2中，

DE=BG=BC-CG=BC-CF，即在图1中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，分式的混合运算，解直角三角形，解题的关键是用两种方法表示出AE的长．
2．（2021·安徽义安·二模）定义：在的中，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即．则的值为（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令∠A=45°，作BH⊥AC，垂足为H，分别用BH表示BC和AB，再根据邻弦的定义即可得出答案
【详解】解：令∠A=45°如图，作BH⊥AC，垂足为H， 在Rt△BHC中，∠C=30°，
∴BC=2BH，

在Rt△BHA中，，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查的是直角三角形的边角关系、邻弦的定义、锐角三角函数的定义，掌握邻弦的定义、锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，一个钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由最左侧摆至最右侧时，钟摆旋转的角度为40°，此时摆幅（两端的距离）可以表示为（ ）

A．2m•sin20°米 B．2m•tan20°米 C．m•sin40°米 D．m•tan 40°米
【答案】A
【分析】根据题意可得△OAB为等腰三角形，因此作OC⊥AB于C点，然后利用三角形函数表示AC，根据“三线合一”的性质即可得到AB的长度，从而得出结论．
【详解】解：由题意可得，△OAB为等腰三角形，此时摆幅即为线段AB的长度，
如图所示，作OC⊥AB于C点，
则由“三线合一”知，∠AOC=∠BOC=20°，AC=BC，
∴在Rt△AOC中，AC=OA•sin20°= m•sin20°米，
∴AB=2AC=2m•sin20°米，
故选：A．

【点睛】本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数的定义，准确构建直角三角形是解题关键．
二、填空题
4．（2021·浙江杭州·九年级期末）用一副如图1所示的七巧板，拼出如图2所示中间有一个空自正方形的“风车图”，则图2中________．

【答案】3
【分析】连接并延长交于点，设，则，证明垂直平分，可得，，在同一条直线上，根据勾股定理可得，由，可得，然后利用勾股定理和锐角三角函数即可求出结果．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，

设，
则，
，，
垂直平分，
，
，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，七巧板，正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
5．（2021·全国·九年级课时练习）在中，，
（1）已知： ，则__，___，________；
（2）已知： ，则_______，_______；
（3）已知： ，则______，_______，________；
（4）已知： ，则_______．
【答案】45° 45° 6 8 12 60° 45°
【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分别求出sinA，sinB即可得到答案；
（2）根据，，先求出b，然后求出a即可；
（3）根据，，即可得到，，，由此求解即可；
（4）根据，得到，即，即可求解.
【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，，
∴，，，
∴∠A=45°，∠B=45°，
故答案为：45°，45°，；
（2）∵，，
∴，
∴，
故答案为：6，8；
（3）∵，，
∴，，，∠A=60°
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12，，60°；
（4）∵，
∴，
∴，
∴∠A=45°，
故答案为：45°.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题
6．（2021·全国·九年级课时练习）如图，燕尾槽的横截面是梯形，其中，燕尾角，外口宽，燕尾槽深度是，求它的里口宽（结果精确到; sin55°=0.82,cos55°=0.57,tan55°=1.43）．

【答案】
【分析】过A作AE⊥BC与点E，则BC=AD+2BE，在直角△ABE中，根据三角函数即可求得BE的长，从而求解．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
在直角△ABE中，tan∠ABE= ，
∴BE= = ≈49.0mm，
∴BC=AD+2BE=180+2×49.0=278mm．
答：里口宽BC是278mm．

【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰梯形的性质以及等腰梯形的计算，可以通过作高线转化为直角三角形的计算．
7．（2021·北京四中模拟预测）如图所示，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，点E为边BC上动点（不含端点），点B关于直线AE的对称点为点F，点G为DF中点，连接AG．
（1）依题意，补全图形；
（2）点E运动过程中，是否可能EF∥AG？若可能，求BE长；若不可能，请说明理由；
（3）连接CG，点E运动过程中，直接写出CG的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）不可能，见解析；（3）
【分析】（1）根据题意画出图形即可．
（2）如图1中，结论：不可能．连接BD．只要证明平行时，点E与B重合，不符合题意即可．
（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．解直角三角形求出CT，GT，根据CG≥CT﹣GT，求出CG的最小值即可．
【详解】解：（1）图形如图1所示：

（2）如图1中，结论：不可能．
理由：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵点B关于直线AE的对称点为点F，
∴AF＝AB＝AD，∠AFE＝∠ABE＝60°，
∵点G为DF中点，
∴FG＝DG，
∴AG⊥DF，
若EFAG，则EF⊥DF，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠ADF＝30°，
∴∠ADB＝∠ADF，此时点F与B重合，不符合题意，
∴不可能存在EFAG．
（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，DA＝DC，
∴△ACD是等边三角形，
∵AT＝TD，
∴CT⊥AD，
∴CT＝CD•sin60°＝，
∵AG⊥DF，
∴∠AGD＝90°，
∵AT＝TD，
∴TG＝AD＝1，
∵CG≥CT﹣GT，
∴CG≥﹣1，
∴CG的最小值为﹣1．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系等；解题的关键是准确作出辅助线．
8．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：．

（1）如图1，若，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可；
（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长
【详解】（1）如图，过C作于点D

,





即

（2），，,


在中，设，则

在中，
即:
解得：（不符题意，舍）

【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
9．（2021·全国·九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
整理可得：，
同理可得：．

利用上述结论解答下列问题：
（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】解：（1）在中，，
∴，
∵，即，
∴为直角三角形，，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
化简得，
解得，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值．
10．（2021·全国·九年级课时练习）在Rt中，．
（1）已知，c，写出解Rt的过程；
（2）已知，a，写出解Rt的过程；
（3）已知a，c，写出解Rt的过程．
【答案】（1），，；（2），，；（3），由求出，
【分析】（1）由直角三角形的性质得出；由三角函数定义得出，；
（2）由直角三角形的性质得出；由三角函数定义得出，；
（3）由勾股定理得出，由三角函数定义求出的度数，得出．
【详解】解：（1），
；
，，
，；
（2），
；
，，
，；
（3），
，
，
求出的度数，
则．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角函数．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2021·河北路北·三模）如图，线段的长度为10，点为线段上一动点（不与点，重合），分别以CD、为一边在上方作矩形，，使，，连接，，并取，的中点，分别记为、，连接．下面结论正确的是（ ）
①；
②当点落在上时，；
③连接，则；

A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【分析】由矩形的性质，得到，然后有，利用解直角三角形，即可得到的度数；分别求出，，，，然后求出两个矩形的面积，即可进行判断；连接BD，DF，由三角形的中位线定理，即可进行判断．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在直角三角形ADC中，，
，
∴；故①正确；
当点落在上时，如图

则点C、M、A、N，四点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
；
∴；故②正确；
连接，BD，FD，如图

由矩形的性质，
点M是BD的中点，点N是DF的中点，
在△BDF中，MN是中位线，
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行分析题意．
2．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（ ）

A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，利用特殊角的三角函数值可求得，，再根据三角形①的面积是3可得，最后再利用特殊角的三角函数值可求得，进而可求得答案．
【详解】解：如图，根据题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，

设AB＝x，
∵在中，，，
∴，，
∴，，
∵三角形①的面积是3，
∴，
整理得：，
∵在中，，
∴，
∴，
∴



，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的相关知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
二、填空题
3．（2021·河北路北·三模）在五边形纸片中，，，将五边形纸片沿折叠，点落在点处；在上取一点，将，分别沿，折叠，点A，恰好落在点处，如图1．
（1）______；
（2）______；
（3）如图2，当四边形是菱形，且，，三点共线时，______．

【答案】120 240
【分析】（1）根据折叠性质即可得答案；
（2）根据折叠性质可得∠BCD=∠BPD，∠QED=∠QPD，根据周角的定义即可得答案；
（3）如图，连接PC，交BC于O，根据菱形的性质可得PC⊥BC，OB=OD，由，，三点共线可得QO⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BQ=DQ，根据等腰三角形的性质∠BQP=∠DQP，根据折叠性质可得AB=BP，∠BPQ=∠A=120°，∠AQB=∠BQP，∠DQP=∠DQE，可得∠BQD=90°，根据平角定义可得∠BPO=60°，利用∠BPO的三角函数可求出OB的长，可得BD的长，根据等腰直角三角形的性质即可得答案．
【详解】
（1）∵将沿折叠，点A恰好落在点处，，
∴∠BPQ=∠A=120°．
（2）将五边形纸片沿折叠，点落在点处，将沿折叠，点恰好落在点处，
∴∠BCD=∠BPD，∠QED=∠QPD，
∴∠BPQ+∠QPD=360°-∠BPQ=360°-120°=240°．
（3）如图，连接PC，交BC于O，
∵四边形是菱形，
∴PC⊥BC，OB=OD，
∵，，三点共线，
∴QO⊥BC，
∴BQ=DQ，
∴∠BQP=∠DQP，
∵将，分别沿，折叠，点A，恰好落在点处，
∴AB=BP=2，∠BPQ=∠A=120°，∠AQB=∠BQP，∠DQP=∠DQE，
∴∠BPO=60°，∠BQP+∠DQP=∠AQB+∠DQE，
∴∠BQD=90°，OB=BP·sin60°=，BD=2OB=，
∴△BQD是等腰直角三角形，
∴BQ=BD=．

故答案为：120°；240°；
【点睛】本题考查折叠的性质、菱形的性质、解直角三角形及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
4．（2021·河北兴隆·九年级期中）如图，点是等边边上一点，的两边分别交、于、两点．已知，．

（1）若四边形是菱形，则其面积为__________；
（2）若，则__________．
【答案】 或4
【分析】（1）连接AD、EF，根据菱形的性质推出和都是等边三角形，进一步得到点E是AB的中点，点F是AC的中点，点D是BC的中点及，在中根据勾股定理得出的长度，最终计算出面积即可；
（2）根据等量代换得出，等边得出，从而得到，根据比例关系解得或，分两种情况分别讨论计算即可．
【详解】（1）如图所示，连接AD、EF，

∵是等边三角形，
∴，，
又∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，，
即点E是AB的中点，点F是AC的中点，点D是BC的中点，
∴,
∵，点D为BC的中点，
∴，
，
在中，有勾股定理可得：
，
∴；
（2）∵，
∴ ,
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：或，
当时，，而，
∴，，
由勾股定理可得：
，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，相似三角形的性质和判定等，综合运用以上性质定理是解题的关键．
三、解答题
5．（2021·江苏徐州·二模）如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A＝27°，∠B＝31°，斜拉主跨度AB＝368米．
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（结果精确到0.1）；
（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）

【答案】（1）100.4米；（2）20080元
【分析】（1）设CD＝x（米），在Rt△ADC中表示出AD＝2x，在Rt△BDC中，表示出BD＝x，根据AB＝AD+BD建立关于x的方程，解之求出x的值，从而得出答案；
（2）先求出AC的长度，再乘以单价即可得出答案．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
设CD＝x，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴tan27°＝，
即≈0.5，
∴AD＝2x，
在Rt△BDC中，∠B＝31°，
∵tan31°＝，
即0.6≈，
∴BD＝x，
∵AB＝AD+BD．
∴2x+x＝368，
∴x＝100.4，
∴CD＝100.4（米）；
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝27°，
∴费用：90×AC＝90×≈90×＝20080（元），
答：斜拉链条AC上灯带的总造价是20080元．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的应用、直角三角形的有关性质．
6．（2021·黑龙江建华·三模）综合与实践
动手、发现：（1）数学活动课上，小明进行了下列操作：
“如图①，矩形纸片ABCD中，BD为对角线，将沿BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F”则线段__________，__________；

问题解决：（2）在图①中，若，，请你求出：线段AF的长及的值；
再动手、延伸：（3）小明在（2）的条件下，找到DE上的点G及BD上的点H，将沿GH折叠，使点D落在点A处，GH交AD于点K（如图②），则__________，__________．

【答案】（1）DF，EDF；（2），；（3），
【分析】（1）由折叠的性质得，由平行线的性质得，即可证明是等腰三角形，可得；根据可证；
（2）在中，设，由勾股定理得方程，解方程可得AF，从而可求出的值；
（3）根据翻折变换的性质可知KD＝4，由an∠ABF＝tan∠EDF＝求出GK＝，再由三角形中位线定理得KH=3，从而可得GH；证明可求出的值．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°，AD//BC
∴∠ADB=∠CBD
由折叠得，∠FBD=∠CBD
∴∠FDB=∠FBD
∴BF=DF;
∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴∠E＝∠BAG＝90°，ED＝CD＝AB，∠AFB＝∠DFE，
∴△ABF≌△EDF（ASA）；
故答案为：DF，EDF；
（2）设，∵，
∴，
在中，由勾股定理得
解得
∴；
（3）∵△AGH是△DGH翻折而成，
∴GH垂直平分AD，
∴KD＝AD＝4，
∵△ABF≌△EDF
∴
∴tan∠ABF＝tan∠EDF＝，
∴GK＝KD×＝4×＝，
∵GH垂直平分AD，AB⊥AD，
∴KH是△ABD的中位线，
∴KH＝AB＝×6＝3，
∴GH＝GK+HK＝+3＝．
在Rt△BCD中，BC=8，CD=6
∴
∵
∴，即
由折叠得，
∴
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
7．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC（EC＋FG）．（提示：取AB的中点M，连接EM）
（1）当点E是BC边上任意一点时，如图②；当点E在BC延长线上时，如图③，请直接写出AC，EC，FG的数量关系，并对图②进行证明；
（2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为 　 　．


【答案】（1）当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC=（FG－CE）；
（2）或．
【分析】（1）在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM，先证明△AME≌△ECF ，得到AE=EF，再证明△ABE≌△EGF，得到BE=GF，结合图形中的点E所在的位置，即可得出AC，EC，FG的数量关系；
（2）根据（1）证明过程中得出的结论：AE=EF，分∠BAE =30°或∠AEB=30°两种情况,解直角三角形即可．
【详解】解：（1）当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；当点E在BC延长线上时，AC=（FG－CE）；
证明如下：当点E是BC边上任意一点时，如图②，
在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．

∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°．
∵在正方形ABCD中，∠B =90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∴∠BAE=∠FEG．
∴∠BME=45°．
∴∠AME=180°－∠BME=180°－45°=135°．
∵CF平分∠DCG，GF⊥BC，
∴∠ECF=180°－∠FCG=180°－45°=135°，GF=CG．
∴∠AME = ∠ECF．
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
在△ABE和△EGF中，∠BAE=∠FEG，∠B=∠G ，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF．
∴BE=GF．
∵AB=BC，
∴AB=BC=CE+BE=CE+FG．
∵AC=AB，
∴当点E是BC边上任意一点时，AC=（EC＋FG）；
当点E在BC延长线上时，如图③，在AB的取一点M，使得AM=EC，连接EM．

同理可证得BE=FG．
∴AB=BC = BE－CE= FG－CE．
∵AC=AB，
∴当点E在BC延长线上时， AC=（FG－CE）．
（2）∵正方形ABCD的面积是27，
∴AB=BC=．
根据（1）中AE=EF，∠AEF＝90°，可知AF=AE．
当在△ABE中，∠BAE =30°时，点E在BC边上．
∵cos∠BAE==，
∴AE=6．
∴AF=．
当在△ABE中，∠AEB=30°时，点E在BC延长线上．
∵sin∠BAE==，
∴AE=．
∴AF=．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质在几何中的应用、解直角三角形，考查了分类讨论这一基本数学思想方法．解决这类题目的关键是正确的分情况讨论，数形结合，化繁为简．
8．（2021·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【答案】（9＋4）m
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4）m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
11．（2021·福建省厦门第二中学二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=，D为斜边AB中点，将线段DB绕着点D顺时针旋转得到线段DE，交AC边于点F，连接CE．
（1）当△ADF 为等腰三角形时，求 与之间的数量关系；
（2）若AB=10，，CE=CB，求AF的长．

【答案】（1）或或；（2）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质分AF=DF、AD=DF、AD=AF分别进行求解即可；
（2）连接AE、BE交CD于O点，根据垂直平分线的判定得到CD⊥BE，再证明∠EBC=∠BAC，证明△ABE是直角三角形，再求出BO、CO，从而求出DO、AE的长，再根据△AEF∽△CDF，设AF=x，根据相似三角形列出比例式故可求解．
【详解】（1）△ADF 为等腰三角形，则有以下几种情形：
①当AF=DF时
∴∠ADF=∠A=，
∵线段DB绕着点D顺时针旋转得到线段DE，
∴∠BDE=
∵∠ADF+∠BDE=180°
∴
②当AD=DF时
∠DFA=∠A=
∵线段DB绕着点D顺时针旋转得到线段DE，
∴∠BDE=
∵∠BDE是△ADF的一个外角
∴∠DFA+∠A=∠BDE
∴
故
③当AD=AF时
∠ADF=，
∵线段DB绕着点D顺时针旋转得到线段DE，
∴∠BDE=
∵∠ADF+∠BDF=180°
∴
∴
综上，当△ADF 为等腰三角形时，求 与之间的数量关系或或；
（2）如图，连接AE、BE交CD于O点，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设BC=3a，
∵
∴AC=4a
∵BC2+AC2=AB2，即（3a）2+（4a）2=102，
解得a=2（-2舍去）
∴AC=8，BC=6
∵D点AB中点
∴CD==BD=DE=AD
∵BC=CE
∴CD是BE的垂直平分线，
∴CD⊥BE，
∵AD=CD
∴∠BDO=2∠BAC=2
∴∠DBO=90°-∠BDO=90°-2
∵∠ABC=90°-∠BAC
∴∠DBO+∠OBC=∠ABC=90°-∠BAC
∴∠OBC=90°-∠BAC-∠DBO=90°--（90°-2）=
∴tan∠OBC=
设OC=3b，则BO=4b
∵BO2+OC2=CB2，即（4b）2+（3b）2=62，
解得b=（-舍去）
∴OC=，BO=
∴DO=5- OC=
∵BD=DE=AD
∴△ABE是直角三角形，∠BEA=90°
∴DOAE
∴DO是△ABE的中位线
∴AE=2DO=
∵DOAE
∴△AEF∽△CDF，
设AF=x，则CF=8-x
∵，即
解得x=
∴AF=．

【点睛】此题主要考查解三角形综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及中位线的性质．
10．（2021·上海市万里城实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），点C在y轴的正半轴上，且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝−2x＋4；（2）（，−）或（5，−6）
【分析】（1）根据点A、B的坐标和CO＝4OA可以推知点C的坐标，结合CM是△ABC的中线求得点M的坐标，利用待定系数法确定函数关系式；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y＝0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分：①∠BQM＝90°时，△COM△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标；②∠MBQ＝90°时，△COM △QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵点A的坐标分别为（−1，0），
∴OA＝1．
又∵CO＝4OA，
∴CO＝4，则C（0，4）．
又∵点B的坐标为（5，0），CM是△ABC的中线，
∴M（2，0）．
设直线CM的表达式为y＝kx＋b（k≠0），则
，解得，
则直线CM的表达式为：y＝−2x＋4；
（2）∵OM＝2，OC＝4，
∴CM＝＝2，
∵点B的坐标为（5，0），
∴OB＝5，
∴BM＝OB−OM＝5−2＝3，
如图，①∠BQM＝90°时，△COM△BQM，
∴，即，
解得BQ＝，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD＝BQ•cos∠QBM＝×=，QD＝BQ•sin∠QBM＝×=，
∴OD＝OB−BD＝5−＝，
∴点Q的坐标为（，−）；
②∠MBQ＝90°时，△COM△QBM，
∴，即，解得BQ＝6，
∴点Q的坐标为（5，−6）．
综上所述，点Q的坐标为（，−）或（5，−6）．

【点睛】本题是一次函数和相似三角形综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，关键在于要分情况讨论．
题组C 培优拔尖练
1．（2021·上海虹口·九年级月考）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，CD∥AB，AB＝6，AC＝8．
（1）如图1，CD＝4，联结AD，交边BC于点P，求∠APB的正切值；
（2）如图2，CD＝10，联结BD，BQ⊥BD交AC于点Q，求CQ的长；
（3）如图3，CD＝10，E为BC上一点，F为AC延长线上一点，联结ED、EF，且．设BE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域．

【答案】（1）（2）CQ=5（3）（4