初中数学5 三角函数的应用精品课堂检测

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第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高
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1. 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
2.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；
3.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
知识精讲

知识点01锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
　　要点诠释：
　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【知识拓展1】利用同角三角函数关系求值
计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB计算.
解：原式；
原式.
故答案为：（1）；（2）2.
【点拨】本题考查了三角函数值的计算.
【即学即练1】已知∠A为锐角且sinA=，则4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。
【答案】
【分析】先求出的度数，再求出的值，最后代入计算即可.
解：为锐角，且


.
【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
【即学即练2】.如图，在中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当，，时，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB=CD，，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
解：（1）证明，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴BE=DF，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，，
∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，
∴BE=DF=4，AE=CF=3，
，，
∴，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴，得到EF=，或EF=（舍去），
∴BD=4+4+=，
即BD=．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
【即学即练3】求值：
(1)； 已知，求的值．
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．
（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．
解：（1）原式（）2﹣11=0；
（2）∵tanA=2，∴=2，∴sinA=2cosA，∴原式===．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【知识拓展2】求证同角三角函数关系式
已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律________．
【答案】
【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．
解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，
规律为：.
故答案为.
【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.
【即学即练1】已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________
【答案】a2+b2=c2+d2
【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系．
解：由①得asinθ+bcosθ=c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，
由②得acosθ-bsinθ=-d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，
③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，
∴a2+b2=c2+d2．
【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin2θ+bcos2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．
【即学即练2】.①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．
【答案】1 1
【解析】如图，设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为，
则sinA= ，cosA=，tanA=，cotA=，，
∴（1）sin2A+cos2A=；
（2）tanA•cotA=.

点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.
【知识拓展3】互余两角的三角函数的关系
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三个三角函数值．
【分析】根据已知角A的正弦设BC＝3k ,得出AB＝5k ,由勾股定理求出AC＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.
解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得：AC＝4k，
则cosA＝，
tanA＝，
sinB＝，
cosB＝，tanB＝.

【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.
【即学即练1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，求cosA的值．
【答案】cosA＝.
【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．
解：：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∴cosA＝sinB＝.
故答案为：.
【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．
【即学即练2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．

【答案】；；；；
【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．
解：:如图

因为Rt△ABC中，∠C=90°，，
所以，
设BC＝3k(k＞0)，
则AB＝4k．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
所以，
，
，
，
．
【知识拓展4】三角函数综合
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cos ∠ABE的值．

【答案】（1）5；（2）.
解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.
【即学即练1】如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．

【答案】渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．
解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：

∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cos30°=x；
∴AD=30+x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解得：x=50（负值舍去），
【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
【即学即练2】.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【答案】（1）6﹣8；（2）．
【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；（2）根据题意求得AE和DE的长，由AD=AE﹣DE即可求得AD的长．
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，
解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
考点：解直角三角形．
【即学即练3】.如图，在中，.
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．

【答案】（1）作图见解析；（2）.
【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.
解：（1）如图所示：

（2），
∵，
∴ ,∴ ，
∴，.
知识点02 利用三角函数测高
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
　　解这类问题的一般过程是：
　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
　　拓展：
　　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
　　　　　　　　　　　　
　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

特别说明：
　　1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
　　2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.
　　　　　　
　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【知识拓展5】直接求三角形的高
数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）

【答案】55米
【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别表示，再列方程求解即可．
解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，
在Rt中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt中，∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt中，∠CBH＝28°，
∴tan∠CBH＝，
即：＝tan28°
解这个方程得：x≈45.1，
经检验：x≈45.1符合题意．
∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）
答：灯塔的高为55米．

【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．
【即学即练1】.如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：）

【答案】CD的高度是16米．
【分析】设建筑物CD的高度为xm，在Rt△CBD中，由于∠CBD=58°，用含x的代数式表示BC，在Rt△ACD中，利用22°的锐角三角函数求出x，即可得到答案．
解：设建筑物CD的高度为xm；
由

由


解得：
答：CD的高度是16米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．
【即学即练2】.如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB）的高度：将一根5米高的标杆（CD）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛距地面（EF）1.6米，求旗杆的高度AB．

【答案】35.6
【分析】过点E作CG⊥AH于点H，交CD于点G得出△EGC∽△EHA，进而求出AH的长，进而求出AB的长．
解：过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G．

由题意可得 四边形EFDG、GDHB都是矩形，AB∥CD∥EF．
∴△AECG∽△EAH．
∴．
由题意可得
EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD-GD=CD-EF=5-1.6=3.4．
∴．
∴AH=34米．
∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．
答：旗杆高ED为35.6米．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG∽△EAH是解题关键．
【即学即练3】. “永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B点后，在B点测得顶端D的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD．（结果保留根号）

【答案】
【分析】根据题意得出DC=BC，进而利用tan30°=求出答案．解：试题分析：
解：由题意可得：AB=46m，∠DBC=45°，
则DC=BC，
故tan30°=
解得：DC=
答：永定楼的高度CD为m．
【知识拓展6】由两个直角三角形求高
在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在，两处用高度为的测角仪（和）测得大树顶部的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离为，已知点，，，，，在同一竖直平面内，且，求大树的高度．（结果保留根号）

【答案】
【分析】连接，交于点，在Rt△CDG和Rt△CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF＝CG+GF．
解：如答图，连接，交于点，
由题可知四边形，四边形，四边形是矩形，
，．
在中，，
，
在中，，
，
，
．
解，得．
．
答：大树的高度为．

【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
【即学即练1】.如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图．已知BC＝1米，∠MBC＝37°．从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B的仰角∠AEB＝53°，且DE＝2.4米．
（1）求点C到墙壁AM的距离；
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）

【答案】（1）点C到墙壁AM的距离为米；（2）匾额悬挂的高度是4米．
【分析】（1）过C作CF⊥AM于F， 由结合 从而可得答案；
（2）过C作CH⊥AD于H，又 则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH． 在Rt△BCF中，先求解 再在Rt△BAE中，∠BEA=53°，求解 再表示 或列方程，解方程可得答案．
解：（1）过C作CF⊥AM于F，

在Rt△BCF中，
由

所以：点C到墙壁AM的距离为米．
（2）过C作CH⊥AD于H，又
则四边形AHCF是矩形，所以AF=CH，CF=AH．

在Rt△BCF中，
由

在Rt△BAE中，∠BEA=53°，

由

在Rt△CDH中，∠CDH=45°，
∴
∴
∵
∴

答：匾额悬挂的高度是4米．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【即学即练2】.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．

【答案】米
【分析】此题根据题意作，利用和 分别求出PB，AP即可求出AB的长．
解：过点作于点，

在中，，，，，

在中，，，

米．
【点拨】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．
【即学即练3】.如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】铁塔AB的高约为11米．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，

在Rt△BND中，
∵∠DBN=20°，BD=10，
∴DN=BDsin∠DBN≈10×0.34=3.4，
BN=BDcos∠DBN≈10×0.94=9.4，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，
∴四边形BNCE为矩形，
∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=9.4，
∴AB=9.4+1.6=11（米）．
答：铁塔AB的高约为11米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
【知识拓展7】由多个直角三角形求高
小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？

【答案】树高为米
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示：

在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2m，m，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴CE:ED=1:2，且CE=2m，
∴DE=4m，
∴米，
再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，
米，
故答案为：树高米．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB的影长．
【即学即练1】.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）

【答案】（15+5）米
【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AB=x，AG=x-5，则， ，根据DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.
解：过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i＝1：，∴DF：FC＝1：，CD＝10，
∴DF＝5，CF＝5，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB＝x，则AG＝x﹣5，
在Rt△ABE中， ，
在Rt△ADG中，，
由DG＝FC+CE+BE得，
（x﹣5）＝5+10+x，
解得，x＝15+5，
答：AB的高度为（15+5）米．

【点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．
【即学即练2】..如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈，cos53°≈0.60）

【答案】
【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH==，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=5米；
∴AH=5米，
∴BG=HE=AH+AE=（5+21）米，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=（5+21）米．
Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，
∴DE=AE=28米，
∴CD=CG+GE﹣DE=26+5﹣28=（5﹣2）m.
答：宣传牌CD高为（）米．

【点拨】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
【即学即练3】.如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈3.16）

（1）观景台的高度CE为　 　米（结果保留准确值）；
（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．
【答案】（1）10；（2）瀑布的落差约为411米．
【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．
（2）作CF⊥AB于F，构造矩形CEBF．由矩形的性质和解直角△ADB得到DE的长度，最后通过解直角△ACF求得答案．
解：（1）∵tan∠CDE＝
∴CD＝3CE．
又CD＝100米，
∴100＝
∴CE＝10 ．
故答案是：10．
（2）作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形．
∴CE＝BF＝10，CF＝BE．
在直角△ADB中，∠DB＝45°．设AB＝BD＝x米．
∵＝ ，
∴DE＝30．
在直角△ACF中，∠ACF＝37°，tan∠ACF
解得x≈411．
答：瀑布的落差约为411米．

【点拨】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
【知识拓展8】其他运用
2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离.

【答案】
分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700，DE=AE=700，则BE=300，所以DF=300，BF=700，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．
解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，

在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，
DE=AE=700，
∴BE=AB-AE=1000-700=300，
∴DF=300，BF=700，
在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，
∴BC=700+100=800．答：选手飞行的水平距离BC为800m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
【即学即练1】.如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度(精确到0.1 m)．

【答案】电线杆PQ的高约是9.5 m.
解：试题分析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．

在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2米．
考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.
【即学即练2】.图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜吨，铁吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在处测得圣像顶的仰角为，在点处测得圣像顶的仰角为．已知于点于点米，米，求圣像的高度． (结果保留整数．参考数据：，，)
【答案】圣像的高度约为米
【分析】设圣像的高度约为米，根据已知中的值用表示的长，根据进而可求出BC的长，从而利用中列出关于的方程，解得的值，即为圣象的高度．
解：设米，
∵，
∴四边形为矩形，∴，
在中，，
∴，∴，
∵米，
∴米，
在中，，
，
∴，
解得，
答：圣像的高度约为米．
【点拨】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于的方程，求解方程即可得解．
【即学即练3】.如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点与点在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底处测得楼顶的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点处，此时在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，）

（1）求点到点的水平距离的长；
（2）求楼的高度．
【答案】（1）米；（2）楼的高度为米．
【分析】（1）由的坡度，可得 设 则 由勾股定理可得 再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过作于 先证明四边形是矩形，可得 设 证明 可得 由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
解：（1） 的坡度，

设 则



（2）如图，过作于

四边形是矩形，

设



由


解得：
经检验：符合题意，

所以：建筑物的高为：米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键

能力拓展

1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）(参考数据：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66)．


【答案】112.3cm
【解析】解：作OD⊥AB于点D，

∵OA=OB，∴AD=BD。
∵OC∥AB，∴∠OAB=∠AOC =59°。
在Rt△AOD中，AD=OA•cos59°，∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×108×0.52≈112.3。
答：支架两个着地点之间的距离AB约为112.3cm。
2.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

【答案】207米
【解析】解：如图作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠BCD=45°，∠ACD=65°，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，设AC=x，则AD=xsin65°，BD=CD=xcos65°，
∴100+xcos65°=xsin65°．
∴x=≈207（米），
∴湖心岛上迎宾槐C处与凉亭A处之间的距离约为207米．


3.某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：
小明：我站在此处看树顶仰角为。
小华：我站在此处看树顶仰角为。
小明：我们的身高都是1.6m.
小华：我们相距20m。
请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度。
（参考数据：，，结果精确到0.1）

【答案】28.9米
【解析】解：如图所示，延长BC交DA于E。
设AE的长为x m，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∠AEB=90°，
∴∠CAE=45°， AE=CE=x。
在Rt△ABE中，∠B=30°，AE=x，
∴，即：。
∵BE－CE=BC，BC=20， ∴，解得x=10+10。
∴AD=AE＋DE=10+10+1.6≈28.9（m）。
答：这棵汉柏树的高度约为28.9米。




分层提分

题组A 基础过关练
1. 水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．


【答案】见解析
【解析】（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，
sin∠B=，
∴在矩形AFGD中，AF=16×=8，DG=8米
∴S△DCE=×CE×DG=×8×8=32
需要填方：150×32=4800（立方米）；
（2）在直角三角形DGC中，DC=16米，
∴GC==24米，
∴GE=GC+CE=32米，
坡度i===．

2. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）

A．50米 B．100米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．
解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．
设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x
∴x=米．
故选D．
3.小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差．如图，他利用测角仪站在C处测得∠ACB=68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC=34°，求落差AB．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）

【答案】74m
【解析】∵ACB=68°，∠D=34°，∠ACB是△ACD的外角，
∴∠CAD=∠ACB﹣∠D=68°﹣34°=34°。∴∠CAD=∠D。∴AC=CD=80。
在Rt△ABC中，AB=AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）。
答：落差AB为74m。

题组B 能力提升练
1.某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC=45°，坡长AB=2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC=30°．
（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．

【解析】（1）已知AB=2m，∠ABC=45°，
∴AC=BC=AB•sin45°=2×=，
答：舞台的高为米；
（2）已知∠ADC=30°．
∴AD=2AC=2．
CD=AD•cos30°=2×=＜3
答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．
2.如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度．（≈1.7）

【答案】61.1米
【解析】解：作AE⊥DC于点E，
∴∠AED=90°。
∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形。∴AE=BC， AB=EC。
设DC=x，∵AB=26，∴DE=x﹣26。
在Rt△AED中，tan30°=，即。
解得：x≈61.1。
答：乙楼高为61.1米。

3.如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为，求该古塔BD的高度(，结果保留一位小数) ．

【答案】627.3m
【解析】先根据题意得出：∠BAD、∠BCD的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．

题组C 培优拔尖练
1.某厂家新开发一种摩托车如图所示，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A与地面距离1 m．
（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少？
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2 s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km／h的速度驾驶该车，突然遇到危险情况，立即刹车直到摩托车停止，在这过程中刹车距离是 m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：，，，）
M N
B
C
A
N


【答案】见解析
【解析】（1）CN= BN=
∴BC=1.4米
（2）速度化为m/s ,最小安全距离×0.2+=8米>7米
∴该车大灯设计不能满足最小安全距离的要求.
2.如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．
（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）

【解析】解：（1）作CD⊥AB于点D，
在直角三角形ADC中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD．
在直角三角形CDB中，∵∠CBD=30°，∴=tan30°，∴BD=CD．
∵AD+BD=CD+CD=200，
∴CD=100（﹣1）；
（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，
∴海盗到达D处用的时间为100（﹣1）÷50=2（﹣1），
∴警舰的速度应为[200﹣100（﹣1）]÷2（﹣1）=50海里/时．

3.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；
（3）量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）
（1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）
（2）写出你的设计方案。

【解析】分析：（1）根据题意要求，可作出示意图；
（2）根据（1）中，所给的测量工具，可先测得∠MCE=α，山顶M的仰角∠MDE=β．根据测点A、B之间的距离AB=m构造两个直角三角形，可得设计方法．
解：（1）如图所示；

（2）①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．