初中数学北师大版九年级下册5 二次函数与一元二次方程精品课后作业题

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第8讲 二次函数与一元二次方程

目标导航

1. 会用图像法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3. 经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
知识精讲

知识点
一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
　　求二次函数(a≠0)的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式

二次函数
一元二次方程

图像
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0


抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根


△＝0


抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根


△＜0


抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）


　特别说明：
　二次函数图像与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1)当二次函数的图像与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图像与x轴没有交点时，，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点；
当方程组无解时两函数图像没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
特别说明：
求两函数图像交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
二、利用二次函数图像求一元二次方程的近似解
　　用图像法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图像，由图像确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
特别说明：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图像法）：
　(1)直接作出函数的图像，则图像与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图像交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图像，图像交点的横坐标即为方程的根.
三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴

即 （△＞0）
四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式

抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0

或

△＝0

（或）
无解
△＜0

全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
特别说明：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【知识拓展1】 当a＜0时，方ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在（　　）
A. x轴上方 B. x轴上方 C. y轴右侧 D. y轴左侧
【知识拓展2】 已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。
(1)求C1的顶点坐标；
(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
(3)若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2，求实数n的取值范围。




【知识拓展3】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是 ；
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；
(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 。
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。







【知识拓展4】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k（k为常数）．
（1）若抛物线经过点(1，k2)，求k的值．
（2）若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围．
（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．











能力拓展


1．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．









【变式1】 已知二次函数的图像以为顶点，且过点．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图像与轴的交点坐标．





【变式2】已知二次函数的图像以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图像向右平移，当图像经过原点时，A、B两点随图像移至A′、B′，求△O A′B′的面积．



【变式3】 如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．





2．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图像，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．


【变式1】（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；
（2）如图，二次函数的图像与一次函数的图像交于点及点

①求二次函数的解析式及B的坐标
②根据图像，直按写出满足的x的取值范围






【变式2】 已知函数.
（1）该函数图像与x轴有几个交点？请作图验证；
（2）试说明一元二次方程的根与函数的图像的关系，并把方程的根在图像上表示出来；
（3）x为何值时，函数y的值为9？





【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图像，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．










3、已知二次函数y＝x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图像，利用图像回答下列问题：
①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？






【变式1】可以用如下方法估计方程的解：
当x=2时，=-2<0，
当x=-5时，=5>0，
所以方程有一个根在-5和2之间．
（1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围．







【变式2】二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣

…
根据表格中的信息，完成下列各题：
（1）当x=3时，y=________ ；
（2）当x=_____时，y有最________ 值为________； 
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图像上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1________ y2 ；
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是________．
【变式3】画出二次函数y＝x2－2x的图像，利用图像回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?



4、如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图像与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图像的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图像经过该二次函数图像上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．


【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　 ．





【变式2】已知函数
（1）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图像.

（2）使成立的的值有 个.
（3）使成立的的值恰好有个，则的取值范围为 ；
（4）使成立的的值恰好有个，则的取值范围为 ；







【变式3】如图，二次函数y= ax2 + bx +c经过点A(-1，0)， B(3，0)， C(0，-3).

(1)求该二次函数的解析式.
(2)利用图像的特点填空.
①当x= ___ 时方程ax2 + bx+c=-3.
当x= ___时方程ax2 +bx+c=-4.
②不等式ax2 + bx + c> 0的解集为
不等式-4



5、二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；
（4）若方程没有实数根，求取值范围．

【变式1】已知二次函数的图像经过点
求二次函数的解析式；
求二次函数的顶点坐标；
当时，求的取值范围（直接写出答案）．





【变式2】 如图，二次函数的图像与轴交于点，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点．
（1）求二次函数和点的坐标；
（2）根据图像，写出满足的的取值范围．









【变式3】二次函数的图像如图，根据图像回答下列问题：

（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出不等式的解集；
（4）如果方程无实数根，求的取值范围．




6．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且二次函数图像的顶点坐标为，点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．

（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．


【变式1】 如图，二次函数图像与x轴的交点为A，与直线交于点B（4，3）
（1）求此二次函数的顶点坐标和点A的坐标；
（2）根据函数的图像，直接写出当函数值＞时，自变量x的取值范围．



【变式2】已知二次函数的图像经过点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图像，并利用图像解决下列问题：
①直接写出方程的解．
②当满足什么条件时，．





【变式3】 如图，抛物线成直线交于两点．

（1）分别求出的值；
（2）求的最大值；
（3）求点A的坐标，并根据图像判断，当x取何值时，？





7．已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线与坐标轴的三个交点所构成的三角形的面积．










【变式1】 抛物线与轴的交点为点、．
（1）求点、的坐标；
（2）观察图像，直接写出时，的取值范围．

【变式2】如图，抛物线交轴于，两点，点在点左侧，点的坐标为，，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点．

（1）若点的坐标为，求的长．
（2）当时，求的值．








【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像的顶点是，与轴交于两点，与轴交于，点的坐标是．
（1）求二次函数图像的顶点坐标并直接写出直线的函数关系式．
（2）作一条平行于轴的直线交二次函数的图像于点，与直线于点．若点的横坐标分别为，且，求的取值范围．


8．已知二次函数，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x



0
1
2
3
4

y

5
0



0
m

二次函数图像的开口方向____，顶点坐标是____，m的值为____；
点、在函数图像上，____填、、；
当时，x的取值范围是____；
关于x的一元二次方程的解为____．




【变式1】 在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A（-2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，连接AC，PA，PC，若S△PAC=，求点P的坐标；




【变式2】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　　；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．








【变式3】 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图像与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）．
（1）求b，c的值．
（2）将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G．若DE＝GF，求m的值．


9．已知，抛物线，
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．




【变式1】 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0)
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积．



【变式2】已知关于的二次函数．
（1）试判断该函数的图像与轴的交点的个数；
（2）当时，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离．




【变式3】 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；
（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　 ．


分层提分

题组A 基础过关练
1.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线 交点的 坐标。
2.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=−x2+1Ox.
(1)经过多长时间，炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少?
(2)经过多长时间，炮弹落在地上爆炸?




3.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题：若m、n(m A. m 题组B 能力提升练
1.当m取何值时，抛物线y=x2与直线y=x＋m
（1）有公共点；
（2）没有公共点．









2.已知关于x的方程x2−(2k−3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0，x2<0；
(3)若抛物线y=x2−(2k−3)x+k2+1与x轴交于A. B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA⋅OB−3，求k的值。




3.平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.
（1）当m=-2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P(0，m-1)作直线l⊥y轴，二次函数图像的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图像的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值.











题组C 培优拔尖练
1.求二次函数y=2x2+2mx+m2-m-1的图象与x轴两交点间的最大距离.





2.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=−2x+100.(利润=售价−制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?















3.阅读材料，解答问题。利用图象法解一元二次不等式：x2−2x−3>0.
解：设y=x2−2x−3，则y是x的二次函数.∵a=1>0，∴抛物线开口向上。
又∵当y=0时,x2−2x−3=0,解得x1=−1,x2=3.
∴由此得抛物线y=x2−2x−3的大致图象如图所示。
观察函数图象可知：当x<−1或x>3时，y>0.
∴x2−2x−3>0的解集是：x<−1或x>3.

(1)观察图象,直接写出一元二次不等式：x2−2x−3<0的解集是______；
(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式：x2−1>0.(大致图象画在答题卡上)