初中数学1 圆精品练习题

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第9讲 圆的相关概念及基本性质
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知识精讲

知识点01 圆的定义
1）圆：
描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心
集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。
2）基本概念

①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径）
②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦）
③直径：经过圆心的弦（如AB）
④弧：圆上任意两点间的部分（如AC）
⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆
⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等）
3）确定一个圆的两要素（圆心、半径）
4）圆的任一半径长度都相等
5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度
6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等；
7）C=2r S=
注：①直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆。通常将大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧；
③等弧必须以“等圆或同圆”为前提，等弧是全等的（能完全重合），不仅指弧长相等，弧度也相等。
【知识拓展】（2021·山西晋中市·）如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【即学即练1】（2021·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确；
③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误．
【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
【即学即练2】（2021·安徽定远县第一初级中学初三月考）下列说法中,正确的是(　　)
A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C．长度相等的弧是等弧 D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
【解析】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选：B.
【即学即练3】（2021·江苏中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）

A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】C
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，

∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选C．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
【即学即练4】（2021·广东）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．

【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，

∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系
1）圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角
2）规定旋转一周为360°，即圆周角为360°
3）①C=2r ②半圆弧长=12C ③弧长= （n为圆心角）
4）等圆（半径相同）或同圆中，圆心角相等，则对应弧长、弦长相等；
5）前提条件：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②对应的弦长相等；③对应的弧长相等。这3个条件中，已知其中任1条件，必可推导出另外2条件（知一推二）。

注：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
【知识拓展】（2021·广东九年级期中）如果在中的两条弦和的弦心距分别为和，且，那么两弦和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】根据弦心距的概念可求得AE和CF的长度,比较两者大小，后结合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，进而可比较和的大小关系，即可求解.
【详解】如图，由勾股定理可得AE=CF=.

因为OE>OF，OA＝OC(两者都是圆的半径) 所以AE