专题09 数列不等式的证明与求解参数-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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专题09 数列不等式的证明与求解参数◆题型一:数列不等式的证明方法解密:对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.【经典例题1】已知等比数列为递增数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．   【经典例题2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．(1)求出，的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．   【经典例题3】已知数列前项和为，若，且成等差数列．(1)求证：数列是等比数列；(2)记数列的前项和为，求证：．   总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.【经典例题4】等差数列前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．      【练习1】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.(1)求和的值；(2)求=(3)证明:     【练习2】已知数列{}的前项和为，，(1)求数列{}的通项公式；(2)设，为数列的前项和.证明：   【练习3】已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且．(1)求数列，的通项公式；(2)对任意的正整数n，有，求证：．      【练习4】已知数列的前n项和为，，，.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，证明：.     ◆题型二:数列不等式求解参数方法解密:对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.(1) 恒成立，则(2) 恒成立，则下面看一下有关恒成立问题的例题: 【经典例题1】已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______． 【经典例题2】已知数列满足，且．若对任意，，不等式恒成立，则正整数的最小值为______． 分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题: 【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若使得成立，则实数k的取值范围是______． 【经典例题4】已知数列前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．    【练习1】设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___． 【练习2】已知数列的前项和为，，当时，.(1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【练习3】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．       【练习4】设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．     【过关检测】1.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.    2.已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．(1)求数列的公比q和通项；(2)设，求满足的n的最大值．     3.记是等差数列的前项和，若.(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的的最小值.      4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．(1)求an、Sn；(2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．        5.已知数列的前n项和为，，，其中.(1)记，求证：是等比数列；(2)设，数列的前n项和为，求证：.       6.已知数列的前项和为.从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.①数列是等比数列，，且，，成等差数列；②数列是递增的等比数列，，；③.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.      7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.     8.已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值.    9.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.    10.已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.(1)求数列、的通项公式；(2)若恒成立，求实数的最小值．         11.已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值.         12.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．