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初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用课时作业
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用课时作业，文件包含专题13勾股定理的应用老师版docx、专题13勾股定理的应用学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.3勾股定理的应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•达川区校级月考）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．5km B．8km C．10km D．20km
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【解析】由题意可得：AB²=AC2+BC2=122+162=400（km），AB=20km，
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
2．（2020春•文水县期末）疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形
草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
【解析】由题意可知AB²=AC2+BC2=24²+7²=625m，
故居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31m
AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m
故在？的地方应该填写的数字为6，
故选：D．
3．（2021春•长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD²=AE2+DE2=0.9²+1.2²=6.25，
,故选：B．
4．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解析】梯脚与墙角距离的平方：2．52−2．42=0.49，
∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，
∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：B．
5．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
6．（2020秋•未央区期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB²=OA2+OB2=8²+6²=100
AB=10（海里）．
故选：B．
7．（2020秋•罗湖区期中）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．
【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴AB＝15．
∴攀岩墙的高15米．
故选：B．
8．（2020秋•龙泉驿区期中）如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解析】由题意可得：
杯子内的筷子长度为：52+122=13，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．
故选：C．
9．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（ ）尺．
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．
解得：x＝12，
答：折断处离地面的高度为12尺．
故选：C．
10．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB=AD2+BD2=17（cm），
所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 17 米．
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，
则红地毯至少要12+5＝17米长，
故答案为：17．
12．（2021春•越秀区校级期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 24 秒．
【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB=1002−802=60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
13．（2020秋•南宫市月考）小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝ 50 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BAC＝90°，根据角的和差即可得到结论．
【解析】∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴α°＝90°﹣40°＝50°，
∴α＝50，
故答案为：50．
14．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 11cm ，h的最大值 12cm ．
【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．
【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分=122+52=13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故答案为：11cm；12cm．
15．（2020秋•太原期中）《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程 x2+（x+6.8）2＝102 ．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
16．（2020秋•溧水区期中）木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为 6013 dm．
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积求出即可．
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，
∴BC=AB2+AC2=52+122=13（dm），
当AD⊥BC时，AD最短，则12AD×BC=12AB×AC，
则AD=AB×ACBC=5×1213=6013（dm）．
故答案是：6013．
17．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为 12 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
18．（2020秋•泰州期中）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是 11≤h≤12 ．
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围．
【解析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，
此时罐内部分就是圆柱形的高，
罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，
AB=AO2+BO2=122+52=13（cm），
罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），
所以11≤h≤12．
故答案是：11≤h≤12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
因为AC＝50米，BC＝30米，
所以AB2＝502﹣302＝1600．
因为AB＞0，
所以AB＝40米．
即A，B两点间的距离是40米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
20．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】∵点P为BC中点，
∴BP＝CP=12BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，
162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，
∴AP2+DP2＝AD2，
∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
21．（2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200元，则共需要投入多少钱？
【分析】利用勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°即可解决问题．
【解析】连接AC，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC=AB2+BC2=202+152=25（米）．
在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24＝234（平方米）．
∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．
∴200×234＝46800（元）．
答：学校共需投入46800元．
22．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解析】如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC=12OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=1002−802=60（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t=1205=24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．
23．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
24．（2020春•武汉期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.3勾股定理的应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•达川区校级月考）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．5km B．8km C．10km D．20km
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【解析】由题意可得：AB²=AC2+BC2=122+162=400（km），AB=20km，
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
2．（2020春•文水县期末）疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A处到达居住楼B处，直接从边长为24米的正方形
草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B、C两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．
【解析】由题意可知AB²=AC2+BC2=24²+7²=625m，
故居民直接到B时要走AB＝25m，若居民不践踏草地应走AC+BC＝24+7＝31m
AC+BC﹣AB＝31﹣25＝6m
故在？的地方应该填写的数字为6，
故选：D．
3．（2021春•长沙期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米 B．1.5米 C．2.0米 D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD²=AE2+DE2=0.9²+1.2²=6.25，
,故选：B．
4．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．
【解析】梯脚与墙角距离的平方：2．52−2．42=0.49，
∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，
∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．
故选：B．
5．（2020•巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
6．（2020秋•未央区期中）如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
【解析】已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB²=OA2+OB2=8²+6²=100
AB=10（海里）．
故选：B．
7．（2020秋•罗湖区期中）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（ ）
A．10米 B．15米 C．16米 D．17米
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．
【解析】如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，
AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴AB＝15．
∴攀岩墙的高15米．
故选：B．
8．（2020秋•龙泉驿区期中）如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【解析】由题意可得：
杯子内的筷子长度为：52+122=13，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．
故选：C．
9．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，则AC等于（ ）尺．
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+52＝（25﹣x）2．
解得：x＝12，
答：折断处离地面的高度为12尺．
故选：C．
10．（2020春•南岗区校级期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB=AD2+BD2=17（cm），
所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯 17 米．
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，
则红地毯至少要12+5＝17米长，
故答案为：17．
12．（2021春•越秀区校级期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 24 秒．
【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．
【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB=1002−802=60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
13．（2020秋•南宫市月考）小明从A处出发沿北偏东40°的方向走了30米到达B处；小军也从A处出发，沿南偏东α°（0＜α＜90）的方向走了40米到达C处，若B、C两处的距离为50米，则α＝ 50 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠BAC＝90°，根据角的和差即可得到结论．
【解析】∵AB＝30，AC＝40，BC＝50，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴α°＝90°﹣40°＝50°，
∴α＝50，
故答案为：50．
14．（2020秋•成华区校级月考）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值 11cm ，h的最大值 12cm ．
【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．
【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分=122+52=13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12．
故答案为：11cm；12cm．
15．（2020秋•太原期中）《九章算术）“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”其大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？若设门的宽为x尺，根据题意列出的方程 x2+（x+6.8）2＝102 ．（注：1丈＝10尺，1尺＝10寸）
【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【解析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺．
故答案为：x2+（x+6.8）2＝102．
16．（2020秋•溧水区期中）木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为 6013 dm．
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积求出即可．
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，
∴BC=AB2+AC2=52+122=13（dm），
当AD⊥BC时，AD最短，则12AD×BC=12AB×AC，
则AD=AB×ACBC=5×1213=6013（dm）．
故答案是：6013．
17．（2020秋•广陵区校级期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为 12 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解析】依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
18．（2020秋•泰州期中）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为5cm，高为12cm，上底面中心有一个小圆孔，将一根长24cm的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度hcm（罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计），则h的取值范围是 11≤h≤12 ．
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，此时罐内部分就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，此时可以利用勾股定理在Rt△ABO中求出，然后可得罐外部分a长度范围．
【解析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分最短，
此时罐内部分就是圆柱形的高，
罐外部分a＝24﹣12＝12（cm）；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，
AB=AO2+BO2=122+52=13（cm），
罐外部分a＝24﹣13＝11（cm），
所以11≤h≤12．
故答案是：11≤h≤12．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•荥阳市期中）郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．
求：（1）两棵景观树之间的距离；
（2）点B到直线AC的距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）因为△ABC是直角三角形，
所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．
因为AC＝50米，BC＝30米，
所以AB2＝502﹣302＝1600．
因为AB＞0，
所以AB＝40米．
即A，B两点间的距离是40米．
（2）过点B作BD⊥AC于点D．
因为S△ABC=12AB•BC=12AC•BD，
所以AB•BC＝AC•BD．
所以BD=AB⋅BCAC=30×4050=24（米），
即点B到直线AC的距离是24米．
20．（2020秋•太原期中）如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】∵点P为BC中点，
∴BP＝CP=12BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，
162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，
∴AP2+DP2＝AD2，
∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
21．（2020秋•碑林区校级月考）我们学校有一块四边形空地，如图所示，现计划在这块空地上种植草皮，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．若每平方米草皮需要200元，则共需要投入多少钱？
【分析】利用勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°即可解决问题．
【解析】连接AC，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC=AB2+BC2=202+152=25（米）．
在△ADC中，∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12×15×20+12×7×24＝234（平方米）．
∴四边形空地ABCD的面积为234平方米．
∴200×234＝46800（元）．
答：学校共需投入46800元．
22．（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解析】如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴AC=12OA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=1002−802=60（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t=1205=24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．
23．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
24．（2020春•武汉期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
【解析】设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
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