高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀ppt课件

[对应学生用书P96]

1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

C　[因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝＝－4.又||＝，

所以AC边上的高BD的长为＝5.]

2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　)

A．1      B．      C．      D．

C　[以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(1，1，)，F(2，1，)，

所以|FE|＝ ＝.]

3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　)

A．a    B．a    C．a    D．

A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).

∴点A1到BC1的距离＝＝a.]

4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　)

A．      B．      C．      D．

B　[建立如图所示的坐标系，

A1(0，1，0)，B(0，－1，1)，C(，0，1)，A(0，1，1)，＝(0，－2，1)，＝(，－1，1)，

设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z)，

取z＝1，则a＝(－，，1)，所以点A到平面A1BC的距离d＝＝＝.]

5．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　)

A．     B．

C．     D．

D　[如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0).

所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，).

所以＝．又直线AD1与MN不重合，

所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1，

所以MN∥平面ACD1.

设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1).

又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝＝.

故直线MN与平面ACD1间的距离为.]

6．(多选题)如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　)

A．     B．

C．3     D．2

ABCD　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，

所以＝(－3，－3，3).

因为＝＝(－1，－1，1)，

所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1).

所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝，

|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，

|PB|＝，|PD1|＝＝2.

故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2.]

7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)

A．     B．

C．     D．1

B　[过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，

则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z).

解得所以＝(－，，)，

所以点B到直线A1C的距离||＝.]

8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________.

　[以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1).

＝ ＝.]

9．(多空题)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________， 点D到平面EFD1B1的距离为________.

　　[建立如图所示的空间直角坐标系．

则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，B1(1，1，0)，F(0，，1)，E(，1，1).

即△DA1C1为等边三角形，

所以点D到A1C1的距离为三角形的高 ×sin 60°＝.

则可求得平面EFD1B1的一个法向量为n＝(－1，1，－).

又＝(0，0，1)，

故点D到平面EFD1B1的距离为d＝]

10．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

(1)求BF的长；

(2)求点C到平面AEC1F的距离．

解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各相关点的坐标为D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).

∵四边形AEC1F为平行四边形，

∴＝，即(－2，0，z)＝(－2，0，2).

∴z＝2.∴F(0，0，2).∴＝(－2，－4，2).

∴||＝2，即BF的长为2.

(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y，1).

由得

即∴

则n1＝.

＝.

11．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

B　[以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则＝(2，0，0)，＝(1，0，2)，

∴cos 〈，〉＝＝＝，

∴sin 〈，〉＝.∴点A到直线BE的距离

d＝|AB|sin 〈，〉＝.]

12．四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为(　　)

A．2      B．1      C．      D．3

C　[因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．

因为底面ABCD是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，所以OA＝2，OB＝2.

则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3).

设平面O1BC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，

所以若z＝2，则x＝－，y＝3，

所以n1＝(－，3，2).

设点E到平面O1BC的距离为d，

所以点E到平面O1BC的距离等于.]

13．已知在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，在CD上截取CE＝4，将△BCE沿BE折起成△BC1E，使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD，则点C1到AB的距离为________．

2　[如图所示，建立空间直角坐标系．

则A(0，0，0)，B(6，0，0)，C1(4，2，2)，D(0，4，0)，

于是＝(－6，0，0)，

＝(－2，2，2).

上的单位向量是n0＝(－1，0，0)，

所以点C1到AB的距离为

所以d＝＝2.]

14．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝AB＝2，求点C到直线AB1的距离．

解　取AC的中点D，建立如图空间直角坐标系，

则A(0，－1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以＝(，1，2)，＝(0，－2，0).

直线AB1的一个单位方向向量s＝(，，)，所以点C到直线AB1的距离

d＝ ＝ ＝.

15．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DE＝B1F＝1.

(1)求证：BE⊥平面ACF；

(2)求点E到平面ACF的距离．

(1)证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)，E(0，0，1)，F(2，2，4).

∴＝(－2，2，0)，＝(0，2，4)，＝(－2，－2，1)，＝(－2，0，1).

∴·＝0，·＝0.

∴BE⊥AC，BE⊥AF.又AC∩AF＝A，且AC，AF⊂平面ACF，

∴BE⊥平面ACF.

(2)解　由(1)知，为平面ACF的一个法向量，

∴点E到平面ACF的距离d＝＝.

故点E到平面ACF的距离为.

16．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

解　建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，

E(1，，0)，F(，1，0).

(1)设DH⊥平面PEF，垂足为H，则＝x＋y＋z＝(x＋y，x＋y，z)，其中x＋y＋z＝1.

∵＝(1，，－1)，＝(，1，－1)，

∴·＝x＋y＋(x＋y)－z

＝x＋y－z＝0.同理，x＋y－z＝0.

又x＋y＋z＝1，由此解得x＝y＝，z＝.

∴＝(，，)＝(2，2，3).

∴||＝.

即点D到平面PEF的距离为.

(2)设AH′⊥平面PEF，垂足为H′，则∥.

设＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，

则＝＋＝(0，－，0)＋(2λ，2λ，3λ)

＝(2λ，2λ－，3λ).

∴·＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝.

∴＝(，，)＝(2，2，3).

∴||＝.

而直线AC∥平面PEF，

∴直线AC到平面PEF的距离为.