模块综合测评（word练习）-【优化指导】新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合精品综合训练题，共19页。

(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，若a，b，c共面，则x等于( )
A．－1 B．1
C．1或－1 D．1或0
B [∵向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，a，b，c共面，
∴a＝mb＋nc，∴(1，x，2)＝(n，m，2m)，解得n＝1，m＝x，2＝2m，
∴x＝1.]
2．若向量a＝(1，λ，1)，b＝(2，－1，－2)，且a与b夹角的余弦值为 eq \f(\r(2),6) ，则λ等于( )
A．－ eq \r(2) B． eq \r(2)
C．－ eq \r(2) 或 eq \r(2) D．2
A [∵向量a＝(1，λ，1)，b＝(2，－1，－2)，a与b夹角的余弦值为 eq \f(\r(2),6) ，
∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－λ,\r(2＋λ2)·\r(9)) ＝ eq \f(\r(2),6) ，解得λ＝－ eq \r(2) .]
3．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，则该三角形的欧拉线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．x－2y－5＝0
C．2x＋y－10＝0 D．2x－y－10＝0
A [△ABC的顶点为A(0，0)，B(5，0)，C(2，4)，
∴重心G( eq \f(7,3) ， eq \f(4,3) ).
设△ABC的外心为W( eq \f(5,2) ，a)，
则|WA|＝|WC|，
即 eq \r(（\f(5,2)）2＋a2) ＝ eq \r(（\f(5,2)－2）2＋（a－4）2) ，
解得a＝ eq \f(5,4) .可得W( eq \f(5,2) ， eq \f(5,4) )，
则该三角形的欧拉线方程为y－ eq \f(4,3) ＝ eq \f(\f(4,3)－\f(5,4),\f(7,3)－\f(5,2)) (x－ eq \f(7,3) )，即x＋2y－5＝0.]
4．已知双曲线C1： eq \f(x2,m2＋1) － eq \f(y2,4－2m) ＝1，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点F.若A，B是抛物线C2上两点，|AF|＋|BF|＝8，则AB中点的横坐标为( )
A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D．3
B [双曲线C1： eq \f(x2,m2＋1) － eq \f(y2,4－2m) ＝1，m＜2，
可得2c＝2 eq \r(m2－2m＋5) ≥4，当双曲线C1的焦距取得最小值时，m＝1，∴c＝2.又其右焦点恰为抛物线C2：y2＝2px(p＞0)的焦点F，
∴抛物线的焦点F为(2，0)，所以抛物线方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝8，∴x1＋x2＝4，
∴线段AB中点的横坐标为2.]
5．已知两不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为n1＝(2，－3，1)， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，0，－2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，1，1)，则( )
A．平面α∥平面ABC
B．平面α⊥平面ABC
C．平面α、平面ABC相交但不垂直
D．以上均有可能
A [由n1· eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2×1＋(－3)×0＋1×(－2)＝0，得n1⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) ；
由n1· eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2×1＋(－3)×1＋1×1＝0，得n1⊥ eq \(AC,\s\up6(→)) . 所以n1⊥平面ABC，所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线，则平面α∥平面ABC.]
6．已知P为抛物线x2＝12y上一个动点，Q为圆(x－4)2＋y2＝1上的一个动点，则点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D [抛物线x2＝12y的焦点为F(0，3)，(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4，0)，半径为1.
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，如图，故问题转化为求P, Q，F三点共线时点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值．
由于焦点到圆心的距离是 eq \r(32＋42) ＝5，故点P到点Q的距离与点P到x轴距离之和的最小值为5－3－1＝1. ]
7．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝，骨架把圆柱底面8等份，当灯笼的底面半径为0.3 m时，则图中直线A8B2与A2A6所在异面直线所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(6),12) B． eq \f(\r(6),6) C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(6),3)
B [设A1A5∩A3A7＝O，B1B5∩B3B7＝C，
以O为原点，OA3为x轴，OA5为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系．
当灯笼的底面半径为0.3 m时，灯笼的高为0.6 m，则
A8(－ eq \f(3,10\r(2)) ，－ eq \f(3,10\r(2)) ，0)，
B2( eq \f(3,10\r(2)) ，－ eq \f(3,10\r(2)) ， eq \f(3,5) )，
A2( eq \f(3,10\r(2)) ，－ eq \f(3,10\r(2)) ，0)，
A6(－ eq \f(3,10\r(2)) ， eq \f(3,10\r(2)) ，0)，
∴直线A8B2与A2A6所在异面直线所成角的余弦值为 eq \f(\r(6),6) .]
8．点A，B为椭圆E： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)长轴的端点，C，D为椭圆E短轴的端点，动点M满足 eq \f(|MA|,|MB|) ＝2，记动点M的轨迹为曲线Γ，若曲线Γ上两点M1，M2满足△M1AB面积的最大值为8，△M2CD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为( )
A． eq \f(\r(2),3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(2),2)
C [由题意，不妨令A(－a，0)，B(a，0)，C(0，b)，D(0，－b).
设M(x，y)，
由 eq \f(|MA|,|MB|) ＝2，得
eq \f(\r(（x＋a）2＋y2),\r(（x－a）2＋y2)) ＝2，
整理得x2＋y2－ eq \f(10ax,3) ＋a2＝0，
即(x－ eq \f(5a,3) )2＋y2＝ eq \f(16a2,9) ，它表示以E( eq \f(5a,3) ，0)为圆心，以 eq \f(4a,3) 为半径的圆．由图可知，当M1( eq \f(5a,3) ，± eq \f(4a,3) )时，△M1AB的面积取得最大值 eq \f(1,2) ×2a× eq \f(4a,3) ＝8，∴a＝ eq \r(6) .
当M位于如图M2( eq \f(1,3) a，0)时，△M2CD的面积取得最小值 eq \f(1,2) ×2b× eq \f(1,3) a＝1，∴b＝ eq \f(\r(6),2) ，∴c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \f(3\r(2),2) ，∴e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
ABC [两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点坐标代入2ax＋2by＝a2＋b2，得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减，得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，C正确．]
10．(多选题)(2020·河北承德第一中学高二月考)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．当a>b时，e1>e2 B．当aC．当a>b时，e1e2
CD [依题意得e1＝ eq \f(\r(a2＋b2),a) ＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2) ，e2＝ eq \f(\r(（a＋m）2＋（b＋m）2),a＋m) ＝ eq \r(1＋（\f(b＋m,a＋m)）2) ，
∵ eq \f(b,a) － eq \f(b＋m,a＋m) ＝ eq \f(ab＋bm－ab－am,a（a＋m）) ＝ eq \f(m（b－a）,a（a＋m）) ，由于m>0，a>0，b>0，
∴当a>b时 eq \f(b,a) < eq \f(b＋m,a＋m) ，( eq \f(b,a) )2<( eq \f(b＋m,a＋m) )2，即e1当a eq \f(b＋m,a＋m) ，( eq \f(b,a) )2>( eq \f(b＋m,a＋m) )2，即e1>e2，
∴当a>b时e1e2，故选C、D.]
11．在如图所示的棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的是( )
A.若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到点A的距离为 eq \r(2) ，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆
C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆
D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线
ABD [A.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，
所以BB1⊥AC，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，
BD1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BD1，
同理AB1⊥BD1，AB1∩AC＝A，所以BD1⊥平面AB1C，
而点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，且PA⊥BD1，
所以点P的轨迹就是直线B1C，故A正确；
B．点P的轨迹是以A为球心，半径为 eq \r(2) 的球面与平面BCC1B1的交线，
即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，
球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))\s\up12(2)－1) ＝1，
所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；
C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，
即平面BCC1B1内的点P满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PC)) ＝1＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC)) ，
即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；
D.如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，
则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD于点N，连接PN，
PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，
如图建立平面直角坐标系，设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y)) ，
|PM|＝y，则|PN|2＝1＋y2，|PE|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x)) eq \s\up12(2) ，
即1＋y2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x)) eq \s\up12(2) ，整理为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)) eq \s\up12(2) －y2＝1，
则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选A、B、D.]
12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为 eq \r(3) 且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
ABC [如图，F( eq \f(p,2) ，0)，直线l的斜率为 eq \r(3) ，则直线方程为y＝ eq \r(3) (x－ eq \f(p,2) )，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)（x－\f(p,2)），)) 得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝ eq \f(3,2) p，xB＝ eq \f(1,6) p.
由|AF|＝ eq \f(3,2) p＋ eq \f(p,2) ＝2p＝4，得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝ eq \f(1,6) p＝ eq \f(1,3) ，则|BF|＝ eq \f(1,3) ＋1＝ eq \f(4,3) ，
|BD|＝ eq \f(|BF|,cs 60°) ＝ eq \f(\f(4,3),\f(1,2)) ＝ eq \f(8,3) ，
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝ eq \f(8,3) ＋ eq \f(4,3) ＝4，则F为AD的中点．
∴结论正确的是A，B，C. ]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．)
13．直线(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0(λ∈R)被圆x2＋y2＝25截得的弦长的最小值是________．
8 [圆O：x2＋y2＝25的圆心O(0，0)，半径为5，直线l：(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0，即 λ(x＋2y－6)＋(x－y＋3)＝0.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－6＝0，,x－y＋3＝0，)) 求得x＝0，y＝3，故直线l经过定点A(0，3).
要使直线l被圆O截得的弦长最短，需OA和直线l垂直，|OA|＝3，
∴最短的弦长为2 eq \r(52－32) ＝8.]
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－ eq \r(3) ，则线段PF的长为________．
6 [由抛物线方程为y2＝6x，
所以焦点坐标F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)) ，准线方程为x＝－ eq \f(3,2) ，
因为直线AF的斜率为－ eq \r(3) ，
所以直线AF的方程为
y＝－ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))) ，画图象如图．
当x＝－ eq \f(3,2) 时，y＝3 eq \r(3) ，
所以A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3))) ，
因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3 eq \r(3) ，
可得点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3))) ，
根据抛物线的定义可知
|PF|＝|PA|＝ eq \f(9,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＝6.]
15．(多空题)已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为 eq \f(\r(3),3) ，则该椭圆的标准方程是________________________________________________；
直线y＝x－ eq \r(2) 与该椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________．
eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 eq \f(12,5) [椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的焦距为2，所以c＝1.又离心率为 eq \f(\r(3),3) ，则a＝ eq \r(3) ，所以b＝ eq \r(2) ，所以该椭圆的标准方程是 eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1.把直线方程代入椭圆方程，得5x2－6 eq \r(2) x＝0，可得x＝0或x＝ eq \f(6\r(2),5) .
不妨令A(0，－ eq \r(2) )，B( eq \f(6\r(2),5) ， eq \f(\r(2),5) )，
所以|AB|＝ eq \r(（\f(6\r(2),5)）2＋（\f(\r(2),5)＋\r(2)）2) ＝ eq \f(12,5) .]
16．已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则 eq \f(b2,a＋1) 的最大值为________．
4 [由△PQF2的周长为16，得△ABF2的周长为32.因为AB是双曲线的通径，所以|AB|＝ eq \f(2b2,a) .因为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝ eq \f(2b2,a) ，
可得 eq \f(4b2,a) ＝32－4a，所以b2＝a(8－a)，可得a∈(0，8)，
则 eq \f(b2,a＋1) ＝ eq \f(8a－a2,a＋1) ＝－(a＋1＋ eq \f(9,a＋1) －10)≤4，
当且仅当a＋1＝ eq \f(9,a＋1) ，即a＝2时等号成立．]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知△ABC的顶点A(－1，4)，B(－2，－1)，M(0，1)是BC的中点．
(1)求直线AC的方程；
(2)求AC边上的高所在直线的方程．
解 (1)设C(x，y)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＋x＝0，,－1＋y＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，)) ∴点C的坐标为(2，3)，
∴直线AC的方程为 eq \f(y－4,3－4) ＝ eq \f(x＋1,2＋1) ，
即x＋3y－11＝0.
(2)∵A(－1，4)，C(2，3)，
∴kAC＝ eq \f(3－4,2＋1) ＝－ eq \f(1,3) ，
∴AC边上的高所在直线的斜率k＝3，
∴AC边上的高所在直线的方程为y＋1＝3(x＋2)，
即3x－y＋5＝0.
18．(12分)(2020·山东济宁高二期末)在①离心率e＝ eq \f(1,2) ，②椭圆C过点(1， eq \f(3,2) )，③△PF1F2面积的最大值为 eq \r(3) ，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．
设椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为2 eq \r(3) ，________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证： eq \f(|PQ|,|NF1|) 为定值．
(1)解 选①，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2,2b＝2\r(3),\f(c,a)＝\f(1,2))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝\r(3))) ，
所以所求椭圆C的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1；
选②，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1,2b＝2\r(3))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝\r(3))) ，所以所求椭圆C的方程 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1；
选③，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2c×b＝\r(3),2b＝2\r(3))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝\r(3))) ，所以所求椭圆C的方程 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1.
(2)证明 (ⅰ)当k＝0时， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) ＝2a＝4， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF1)) ＝c＝1，
所以 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF1))) ＝ eq \f(2a,c) ＝4.
(ⅱ)当k≠0时，由题意可得：F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0)) .
设直线PF1的方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)) ，设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1)) ，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2)) ，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)),\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1)) 整理得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋4k2)) x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
显然Δ>0，且x1＋x2＝－ eq \f(8k2,3＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4k2－12,3＋4k2) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) ＝ eq \r(1＋k2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2))\s\up12(2)－4x1x2)
＝ eq \r(1＋k2) eq \r(（－\f(8k2,3＋4k2)）2－4·\f(4k2－12,3＋4k2)) ＝ eq \f(12＋12k2,3＋4k2) ，
所以y1＋y2＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋1)) ＋k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋1)) ＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋x2)) ＋2k＝ eq \f(－8k3,3＋4k2) ＋2k＝ eq \f(6k,3＋4k2) ，
所以线段PQ的中点M(－ eq \f(4k2,3＋4k2) ， eq \f(3k,3＋4k2) )，
则线段PQ的中垂线方程为y－ eq \f(3k,3＋4k2) ＝－ eq \f(1,k) (x＋ eq \f(4k2,3＋4k2) ).
令y＝0，可得x＝－ eq \f(k2,3＋4k2) ，即N(－ eq \f(k2,3＋4k2) ，0)，又F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0)) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF1)) ＝－ eq \f(k2,3＋4k2) ＋1＝ eq \f(3k2＋3,3＋4k2) ，所以 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF1))) ＝ eq \f(\f(12＋12k2,3＋4k2),\f(3k2＋3,3＋4k2)) ＝4，即 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NF1))) ＝4.综上 eq \f(|PQ|,|NF1|) ＝4.
19．(12分)已知圆C的圆心在x轴上，在y轴上截得的弦长为6，且过点P(1，4).
(1)求圆C的方程；
(2)过点Q(－1，2)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．
解 (1)设圆心C(a，0).
因为圆心到y轴的距离为|a|，|PC|＝r，圆在y轴上截得弦长为6，
由几何关系得32＋a2＝(a－1)2＋(0－4)2，解得a＝4，
所以圆心C(4，0)，半径|PC|＝5，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝25.
(2)方法一 有|CQ|＝ eq \r(29) ，半径为5，
由几何关系得|QM|＝|QN|＝ eq \r(29－25) ＝2，
可得以Q为圆心，|QM|为半径的圆Q的方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝4.①
又圆C的方程为(x－4)2＋y2＝25， ②
①－②，得直线MN的方程为5x－2y＋5＝0.
方法二 由已知得过点Q的直线x＝－1为圆C的切线，易得切点M(－1，0).
由几何关系知QC⊥MN，
则由kQC＝－ eq \f(2,5) ，kQC·kMN＝－1，得kMN＝ eq \f(5,2) .
由点斜式得直线MN的方程为y－0＝ eq \f(5,2) (x＋1)，即5x－2y＋5＝0.
20．(12分)(2020·山东威海高二期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点到点(2，0)的最短距离为 eq \r(3) .
(1)求C的方程；
(2)若过点M(2，1)的直线l交C于E、F两点，且2 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) (O为坐标原点)，求直线l的方程．
解 (1)设抛物线上的点到(2，0)的距离为d，
d2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋2px＝x2＋(2p－4)x＋4(x≥0)，
当2－p≤0时，即当p≥2时，d2取得最小值为4，不符合题意；
当2－p>0时，即当0所以有4－(2－p)2＝3，p＝1或3，所以p＝1.
所以C的方程为y2＝2x.
(2)解法一：当l的斜率不存在时，直线l⊥x轴，此时点E、F关于x轴对称，则线段EF的中点在x轴上，不合乎题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2),
设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
l与C的方程联立得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2x,y－1＝k（x－2）)) ，消x得，ky2－2y＋2－4k＝0，①
所以有y1＋y2＝ eq \f(2,k) ，
因为2 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) ，即 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) )，所以M为EF的中点，
所以 eq \f(y1＋y2,2) ，所以 eq \f(1,k) ＝1，k＝1，此时方程①为y2－2y－2＝0，Δ>0，
所以直线l的方程为y＝x－1；
解法二：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，所以有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2x1,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2x2)) ，
两式相减得，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2(x2－x1)，变形为 eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝ eq \f(2,y2＋y1) ，
因为2 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) ，即 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(OE,\s\up6(→)) ＋ eq \(OF,\s\up6(→)) )，所以M为EF的中点，
所以 eq \f(y1＋y2,2) ＝1， eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝ eq \f(2,y2＋y1) ＝1,
即直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x－1.
21．(12分)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．
(1)求证：AM∥平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；
(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值．
(1)证明 以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，M(0，1，1).
则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝(0，1，1)， eq \(SD,\s\up6(→)) ＝(1，0，－2)，
eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(－1，－2，0).
设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(SD,\s\up6(→))·n＝0，,\(CD,\s\up6(→))·n＝0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2z＝0，,－x－2y＝0.))
令z＝1，则x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1，1).
∵ eq \(AM,\s\up6(→)) ·n＝0，∴ eq \(AM,\s\up6(→)) ⊥n.又AM⊄平面SCD，
∴AM∥平面SCD.
(2)解 易知平面SAB的一个法向量为n1＝(1，0，0).设平面SCD与平面SAB所成的二面角为φ，则|cs φ|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n,|n1||n|))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(（1，0，0）·（2，－1，1）,1×\r(6)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,1×\r(6)))) ＝ eq \f(\r(6),3) ，即cs φ＝ eq \f(\r(6),3) .
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为 eq \f(\r(6),3) .
(3)解 设N(x，2x－2，0)(x∈[1，2])，
则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(x，2x－3，－1).
又平面SAB的一个法向量为n1＝(1，0，0)，
∴sin θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(（x，2x－3，－1）·（1，0，0）,\r(x2＋（2x－3）2＋（－1）2)·1)))
＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x,\r(5x2－12x＋10)))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1( \f(1,\r(5－12·\f(1,x)＋10·\f(1,x2)))))
＝ eq \f(1,\r(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))\s\up12(2)－12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋5)) ＝ eq \f(1,\r(10\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(3,5)))\s\up12(2)＋\f(7,5))) .
当 eq \f(1,x) ＝ eq \f(3,5) ，即x＝ eq \f(5,3) 时，(sin θ)max＝ eq \f(\r(35),7) .
22．(12分)已知圆O：x2＋y2＝ eq \f(4,3) ，椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的短轴长等于圆O半径的 eq \r(6) 倍，C的离心率为 eq \f(\r(2),2) .
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：△AOB为直角三角形．
(1)解 因为圆O的半径为 eq \f(2\r(3),3) ，
所以C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的短轴长为 eq \r(6) × eq \f(2\r(3),3) ＝2 eq \r(2) ，
即2b＝2 eq \r(2) ，解得b＝ eq \r(2) .
因为C的离心率为 eq \f(\r(2),2) ，所以 eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(2),2) .①
因为a2－c2＝b2，所以a2－c2＝2.②
联立①②，解得a2＝4，
所以C的方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,2) ＝1.
(2)证明 证法一 ①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝± eq \f(2\r(3),3) .
当x＝ eq \f(2\r(3),3) 时，A( eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(2\r(3),3) )，B( eq \f(2\r(3),3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) － eq \f(4,3) ＝0.
当x＝－ eq \f(2\r(3),3) 时，
A(－ eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(2\r(3),3) )，B(－ eq \f(2\r(3),3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,3) － eq \f(4,3) ＝0.
综上，OA⊥OB.
所以△AOB为直角三角形．
②当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为直线l与圆相切，所以 eq \f(2\r(3),3) ＝ eq \f(|m|,\r(k2＋1)) ，
即3m2－4k2－4＝0.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，)) 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－ eq \f(4km,1＋2k2) ，x1x2＝ eq \f(2m2－4,1＋2k2) .
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝ eq \f(（1＋k2）（2m2－4）－4k2m2＋m2（1＋2k2）,1＋2k2)
＝ eq \f(3m2－4k2－4,1＋2k2) ＝0，
所以OA⊥OB.所以△AOB为直角三角形．
综上所述，△AOB为直角三角形．
证法二 ①当直线方程为y＝ eq \f(2\r(3),3) 时，
A(－ eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(2\r(3),3) )，B( eq \f(2\r(3),3) ， eq \f(2\r(3),3) )，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(4,3) ＋ eq \f(4,3) ＝0，
所以OA⊥OB.所以△AOB为直角三角形．
②当直线方程为y＝－ eq \f(2\r(3),3) 时，
A( eq \f(2\r(3),3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，B(－ eq \f(2\r(3),3) ，－ eq \f(2\r(3),3) )，
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(4,3) ＋ eq \f(4,3) ＝0，
所以OA⊥OB.所以△AOB为直角三角形．
③当直线l不与x轴平行时，设其方程为x＝ty＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
因为直线l与圆相切，所以 eq \f(2\r(3),3) ＝ eq \f(|m|,\r(t2＋1)) ，即3m2－4t2－4＝0.
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，)) 得(t2＋2)y2＋2tmy＋m2－4＝0.
所以y1＋y2＝－ eq \f(2tm,t2＋2) ，y1y2＝ eq \f(m2－4,t2＋2) .
所以 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝y1y2＋x1x2＝y1y2＋(ty1＋m)(ty2＋m)
＝(1＋t2)y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2
＝ eq \f(（1＋t2）（m2－4）－2t2m2＋m2（t2＋2）,t2＋2) ＝ eq \f(3m2－4t2－4,t2＋2) ＝0，
所以OA⊥OB，所以△AOB为直角三角形．
综上所述，△AOB为直角三角形．