高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优质教案

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

教学目的：

（1）了解可以由有理数的指数幂无限逼近无理数的指数幂；

（2）培养用于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展教学核心素养.

课型：新授课

教学重点：无理数指数幂的概念；

教学难点：指数幂的运算性质；

教学过程：

一、引入课题

知识点1无理数指数幂

无理数指数幂（，是无理数）是_________.

思考1：一定是实数吗？

提示：根据无理数指数幂的定理是实数.

知识点2实数指数幂的运算性质（，，，）

（1）_________.（2）_______.（3）________.

思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？

提示：

二、基础自测

1．下列说法正确的个数是（）

（1）无理数指数幂有的不是实数．

（2）指数幂中的只能是有理数．

（3）.

A．B．　C．D．

解析：（1）无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；

（2）指数幂中的是任意实数，不正确；

（3），正确，故选B．

2..

3..

三、题型探究

题型一无理数指数幂的运算

例1（1）；

（2）.

解析：（1）原式.

（2）原式.

归纳提升　关于无理数指数幂的运算

（1）底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．

（2）若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．

题型二指数幂运算的综合运算

例2已知，求下列各式的值.

（1）；

（2）；

（3）.

分析：利用完全平方差公式求（1）（2），利用立方差各式求（3）.

解析：（1）边平，，；

（2）边平，有，；

（3）于，

所以有.

归纳提升（1）条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过解出的值代入求值，则非常复杂．

（2）解决此类问题的一般步骤是

四、误区警示

因忽略幂底数的范围而导致错误

例3化简.

错解：.

错因分析：忽略了题中有，即相当于告知，故，这样，.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否由隐含的条件.

正解：由知，故，

∴.

方法点拨：在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求.

五、学科素养

用换元法处理指数幂中的化简与证明问题

例4 已知，且，求证：.

分析：看见三个式子连等，立刻想到赋中间变量，通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.

证明：令，则，，，，，，

所证等式左边，

所证等式右边，

∴.

归纳提升（1）对于“连等式”，常用换元法处理．如本例，我们可令它等于一个常数，然后以为媒介化简，这样使问题容易解决．

（2）换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致，关键时候还要检验．