山东省临沂市郯城县实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

山东省临沂市郯城县实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在下面的汽车标志图案中，属于轴对称图形的有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是(        )

A．x  5 B．x  2 C．x  5 D．x  2

3．已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（   ）

A．3 B．4 C．6 D．15

4．下列运算正确的是（      ）

A． B．

C． D．

5．下列因式分解正确的是（     ）

A．a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9）

B．x2﹣x＋＝（x﹣）2

C．x2﹣2x＋4＝（x﹣2）2

D．x2﹣4＝（x＋4）（x﹣4）

6．随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（     ）

A． B．

C． D．

7．多项式与多项式的公因式是（    ）

A． B． C． D．

8．如图所示，在中，，若和分别垂直平分和，垂足分别为E、F．则（    ）

A． B． C． D．

9．已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．已知，则的值为（    ）

A．9 B． C． D．

12．已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　  　）个

A．1 B．2 C．3 D．4

13．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5

14．对于正数x，规定，例如，则的值是（    ）

A．9 B．10 C．9.5 D．10.5

二、填空题

15．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为_____毫米．

16．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=_____．

17．若是一个完全平方式，那么m的值应为______．

18．若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是_____．

19．小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），，，每块砌墙用的砖块厚度为，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离的长为_______．

三、解答题

20．将下列各式分解因式：

(1)

(2)

(3)

21．解下列方程：

(1)

(2)

22．先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．

23．在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．

(1)A，B两种型号口罩的单价各是多少元？

(2)根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过3600元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

24．如图，是的边上一点，， 交于点，．

（1）求证：≌；

（2）若，，求的长．

25．在中，，点D是射线上的一个动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图1，当点D在线段上，且时，那么______度．

(2)设，．

①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明结论；

②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明．

参考答案

1．B

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】沿着中间的直线折叠后，两旁的部分可以完全重合，

沿着中间的直线折叠后，两旁的部分可以完全重合，所以属于轴对称图形的标志有2个．

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，理解轴对称图形的概念是解决本题的关键．

2．C

【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案．

【详解】∵有意义，

∴x-5≠0，

∴x  5．

故选C．

【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．

3．C

【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．

【详解】解：设第三边长为x，

则9﹣4＜x＜9＋4，

解得：5＜x＜13；

∴三角形第三条边的长可能是6；

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系进行解题．

4．A

【分析】根据整式的混合运算法则分别计算即可判断．

【详解】解：A、，故原选项正确；

B、，故原选项错误；

C、，故原选项错误；

D、，故原选项错误；

故选：A．

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．

5．B

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．

【详解】解：A、a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误；

B、x2﹣x＋＝（x﹣）2，故此选项正确；

C、x2﹣2x＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；

D、x2﹣4＝（x＋2）（x﹣2），故此选项错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．

6．D

【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，

根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

7．A

【详解】解：把多项式分别进行因式分解，

多项式，

多项式=，

因此可以求得它们的公因式为（x-1）．

故选A.

8．B

【分析】根据垂直平分线的性质可以得到，，然后根据三角形内角和定理即可解答．

【详解】∵和分别垂直平分和，

∴，，

∴，，

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查垂直平分线与三角形内角和的综合应用，利用垂直平分线的性质得到两对等边和两对等角是解题关键．

9．A

【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．

【详解】解：方程两边同时乘以得：，

∴，

∴，

∴，

∵解为非正数，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．

10．A

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD，

∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，

解得DE＝3，

∴CD＝3．

故选：A．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．

11．C

【分析】根据幂的乘方，可得要求形式，根据同底数幂的除法，可得答案．

【详解】解：∵，

＝

＝，

∴原式＝

＝；

故选：C．

【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握公式，灵活逆向使用公式是解题的关键．

12．D

【分析】根据SAS证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解．

【详解】解：在△AEF和△ABC中，

，

∴△AEF≌△ABC（SAS），

∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，

∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，

∴∠EFA＝∠AFC，

即FA平分∠EFC．

又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，

∴∠BFE＝∠FAC．

故①②③④正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．

13．D

【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．

【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，

∴MB＝MA，

∴BM+MD＝MA+MD，

连接MA、DA，如图，

∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），

∴MA+MD的最小值为AD，

∵AB＝AC，D点为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵

∴

∴BM+MD长度的最小值为5．

故选：D．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．

14．A

【分析】根据，进而进行求解即可．

【详解】解：∵，

，

，

，

∴，

=，

，

，

．

故选：A．

【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键．

15．9×10﹣5

【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：∵1纳米＝0.000001毫米，

∴90纳米＝90×10-6毫米＝9×10-5毫米，

故答案为：9×10-5；

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

16．-6

【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a=2，b=﹣3，即可求解．

【详解】解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），

∴a=2，b=﹣3，

∴ab=2×（-3）=-6

故答案为：-6

【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标的特征，熟练掌握关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．

17．

【分析】由完全平方公式可知，计算求解即可．

【详解】解：∵

∴由完全平方公式可知

∴

解得

故答案为：．

【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．

18．2

【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将a2＋2ab＋b2﹣c2＝10进行因式分解，再整体代入求值即可．

【详解】解：a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，

（a＋b）2﹣c2＝10，

（a＋b＋c）（a＋b﹣c）＝10，

∵a＋b＋c＝5，

∴5（a＋b﹣c）＝10，

∴a＋b﹣c＝2；

故答案为：2．

【点睛】本题考查代数式化简求值、因式分解、完全平方公式和平方差公式，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键．

19．56

【分析】由砖的厚度可得，，利用同角的余角相等可得，再用判定，得到对应边相等，再由即可得出答案．

【详解】解：由题意得，，，，

∵，，

∴，

在和中，

∴

∴

∴．

故答案为：56．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，由同角的余角相等得出全等条件是关键．

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用平方差公式法因式分解即可；

（2）先提公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可；

（3）先提公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可．

【详解】（1）

；

（2）

；

（3）

．

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】两个分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】（1）

去分母得：

解得：，

检验：将代入

∴是原分式方程的解；

（2）

去分母得：

解得：，

检验：将代入，

∴是原分式方程的解．

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

22．，当x=2时，值为

【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再根据分式有意义及除数不为0求出x的取值，再代入计算即可．

【详解】解：原式

由题意得，，

∴，

又∵，

∴x可取-2，2

若x=2时，．

【点睛】本题考查分式的化简求值，及分式有意义的条件及除数不为零，解题关键是熟练掌握分式的混合运算．

23．(1)型口罩单价为4元/个，型口罩单价为2.5元/个

(2)增加购买型口罩的数量最多是400个

【分析】（1）设型口罩单价为元/个，则型口罩单价为元/个，根据用8000元购买型口罩的数量与用5000元购买型口罩的数量相同可得关于x的分式方程，解方程并检验后即得结果；

（2）设增加购买型口罩的数量是个，根据m个A型口罩的费用与个B型口罩的费用之和不超过3600元可得关于m的不等式，求出不等式的解集后结合实际情况即得结果．

【详解】（1）设型口罩单价为元/个，则型口罩单价为元/个，

根据题意，得：，解方程，得，

经检验：是原方程的根，且符合题意，

∴（元），

答：型口罩单价为4元/个，型口罩单价为2.5元/个；

（2）设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是个，

根据题意，得：，

解不等式，得：，

∴的最大值为400，

答：增加购买型口罩的数量最多是400个．

【点睛】本题考查了分式方程和不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键．

24．（1）证明见详解；（2）1．

【分析】（1）根据证明即可；

（2）根据（1）可得，即由，根据求解即可．

【详解】（1）证明：，

，

在和中，

；

（2）由（1）得

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．

25．(1)

(2)①，证明见解析②，证明见解析

【分析】（1）根据题意得，用证明，得，根据三角形内角和定理得，即可得；

（2）①根据题意得，用SAS证明，得，因为，，即可得；②根据题意得，用SAS证明，得，而，，则，即可得．

【详解】（1）∵，，，

∴ ，

在和中，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

则为；

（2）①；理由如下：

∵，

∴；

在与中，

∴，

∴，

∵，

又∵，

∴；

②；理由如下：

如图所示，∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

而，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识．