初中数学第二章 实数6 实数单元测试同步训练题

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题2.15第2章实数单元测试（培优提升卷）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•衡阳）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．

【解析】16的算术平方根为4，即，故不符合题意；

根据公式可得，故符合题意；

、无法运用加法运算化简，故，故不符合题意；

，故不符合题意；

故选：．

2．（2021•长兴县模拟）下列对数2021描述正确的是　　

A．2021不是实数 B．2021的倒数是 

C．2021的相反数是 D．2021的绝对值是本身

【分析】直接利用相反数、绝对值、倒数、实数的定义分析得出答案．

【解析】、2021是实数，故此选项错误；

、2021的倒数是：，故此选项错误；

、2021的相反数是，故此选项错误；

、2021的绝对值是本身，故此选项正确；

故选：．

3．（2020•碑林区校级一模）在，，0，中最小的实数　　

A． B． C． D．0

【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．

【解析】，

最小的实数是，

故选：．

4．（2018秋•资中县期中）若，则的值是　　

A．1 B．7 C． D．

【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性确定和的值，然后代入计算．

【解析】，

，，

解得，，

所以．

故选：．

5．（2018秋•安岳县期末）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是　　

A．2 B． C．4 D．1

【分析】根据平方根的性质即可求出答案．

【解析】由题意可知：，

解得：，

所以这个数是4，

故选：．

6．（2021•合川区模拟）估算在哪两个整数之间　　

A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8

【分析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算的范围即可．

【解析】，

，

，

，

即在6和7两个整数之间．

故选：．

7．（2020•梅州模拟）式子成立的条件是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式有意义得出，求出不等式的解集即可．

【解析】要使二次根式成立，必须，

解得：，

故选：．

8．（2019秋•静安区期末）已知，，那么的值为　　

A． B． C． D．

【分析】将、直接代入，利用平方差公式求值即可．

【解析】，，

，

故选：．

9．（2020•石家庄模拟）已知实数，互为倒数，且，则的值为　　

A．1 B．2 C．0 D．

【分析】，互为倒数，则；，则，求出代入所求的代数式即可求解．

【解析】，互为倒数，

，

，

，

当时，；

当时，；

．

故选：．

10．（2020秋•下城区期末）对于实数，，定义运算“△”满足：△．若2△△2，则　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用运算公式代入计算得出答案．

【解析】△，且2△△2，

，

，

故．

故选：．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•玄武区一模）9的平方根是　　，8的立方根是　　．

【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的立方根是正数．

【解析】，

；

，

的立方根是2．

故答案为：；2．

12．（2021•阳东区模拟），则　　．

【分析】根据算术平方根和绝对值的性质，列方程：，，可得和的值，代入计算即可．

【解析】，

，．

，．

．

故答案为：．

13．（2021春•公安县期末）计算的结果是　　．

【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．

【解析】原式

．

故答案为：．

14．（2019•海淀区校级模拟）写出一个同时符合下列条件的数：　　．

（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．

【分析】根据无理数的定义求解即可．

【解析】写出一个同时符合下列条件的数，

故答案为：．

15．（2021•天津一模）计算的结果等于　　．

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解析】原式

，

故答案为：．

16．（2019秋•东台市期末）在，3.14，0，0.101 001 000 ， 中，无理数有　2　个．

【分析】根据无理数的定义求解即可．

【解析】在，3.14，0，0.101 001 000 ， 中，，0.101 001 000 是无理数，无理数有2个．

故答案为：2．

17．（2021春•岳麓区校级期中）如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点表示的数是　或．　．

【分析】根据半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达点，再由圆的周长公式得出周长为，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．

【解析】由半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达点，得

点与1之间的距离是．

由两点间的距离是大数减小数，得

当点在1的左边时表示的数是，当点在1的右边时表示的数是．

故答案为：或．

18．（2021春•上思县期末）将1，，，按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，如表示的数是（即第5排从左向右第4个数），那么所表示的数是 　1　．

【分析】所给一系列数是4个数一循环，看是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．

【解析】前2020排共有的个数是：，

表示的数是第个数，

，

第2021排的第1011个数为1．

故答案为：1．

三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•姑苏区期中）求下列式子中的值

（1）．

（2）．

【分析】（1）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据平方根的定义可得答案；

（2）根据开平方，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．

【解析】（1）两边都除以5，得，

开方，得；

（2）开方，得，

解得或．

20．（2020春•蕲春县期中）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）首先根据二次根式和立方根的性质进行化简，再计算加减即可；

（2）首先根据二次根式和立方根和绝对值的性质进行化简，再计算乘法，后算加减即可．

【解析】（1）原式；

（2）原式

．

21．（2020秋•九龙县期末）计算．

（1）；

  （2）．

【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．

（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解析】（1）原式．

（2）原式

．

22．（2020春•大悟县期中）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据负整数指数的意义和平方差公式计算；

（2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．

【解析】（1）原式

；

（2）原式

．

23．（2021春•延长县期末）有一个长、宽之比为的长方形过道，其面积为．

（1）求这个长方形过道的长和宽；

（2）用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长（结果保留根号）．

【分析】（1）根据长、宽的比设出长为，宽为，根据面积列出关于的方程，利用平方根的概念求解可得；

（2）其边长为正方形地砖面积的算术平方根，据此求解可得．

【解析】（1）设长方形的长为，则宽为，

根据题意，得：，

即，

或（舍去）；

答：长方形的长为，宽为；

（2）这种地板砖的边长为．

24．（2020春•沙坪坝区校级期中）阅读材料

学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．

小明的方法：，设，

，，，

解得，，．

问题：

（1）请你依照小明的方法，估算的近似值．

（2）已知非负整数、、，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含、的代数式表示）．

【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可；

（2）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可；

【解析】（1），

设，

，

，

．

解得，

；

（2）设，

，

，

，

解得，

．

25．（2019春•琼中县期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和．

（1）求和的值；

（2）化简：．

【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于的方程，解出即可得到的值，代入求得的值．

（2）根据（1）中求得的的值去绝对值即可．

【解析】（1）由题意，得，

解得．

；

（2）原式

．

26．（2020春•太湖县期末）阅读下面的材料并解决问题．

；

；

；

（1）观察上式并填空：　　；

（2）观察上述规律并猜想：当是正整数时，　　；（用含的式子表示，不用说明理由）．

（3）请利用（2）的结论计算：．

【分析】（1）分子、分母都乘以，再进一步计算可得；

（2）分子、分母都乘以，再进一步计算可得；

（3）括号内利用所得规律裂项相消，再乘以求解可得．

【解析】（1），

故答案为：；

（2），

故答案为：；

（3）原式，

．