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2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷
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这是一份2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）1月14日，长沙市的气温﹣5℃～﹣1℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温，单位℃）是（ ）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
3．（3分）在数轴上，与原点距离为2的点表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2、﹣2 D．不能确定
4．（3分）2018年，长沙市经济社会保持平稳健康发展，根据长沙市统计局发布的数据显示，2018年全市地区生产总值达到了1.1万亿元，同⽐去年增长793亿元，793亿元这个数用科学记数法表示为（ ）
A．7.93×1010元 B．793×108元
C．7.9310元 D．7.93×1011元
5．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
6．（3分）下列各组中的两项属于同类项的是（ ）
A．x2y与﹣xy2 B．pq与qp
C．﹣8a2b与5a2c D．19abc与﹣28a
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2x B．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2 D．x2+5x
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（﹣）x＝1 D．（+）x＝1
10．（3分）如图OC⊥AB于O点，∠1＝∠2，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题（本⼤题共8⼩小题，每⼩题3分，满分24分）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）比较大小： ．
13．（3分）如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7+6x+3y的值是 ．
14．（3分）若方程2x+1＝3和的解相同，则a的值是 ．
15．（3分）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB＝35°，则∠AOD＝ °．
16．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是 ．
17．（3分）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
18．（3分）将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对阵时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对阵四次可以得到 条折痕，如果对折七次，可以得到 条折痕．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题8分，21题6分，第22、23、24题每⼩题8分，第25、26题每⼩题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）3﹣×[1﹣（﹣5）2]+；
（2）﹣62×（）．
20．（8分）解方程：
（1）4（4x﹣1）＝3（x+1）；
（2）．
21．（6分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣2．
22．（8分）如图：已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
23．（8分）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，求∠1和∠2的度数．
24．（8分）考考你的应用能力
周末，七年级一班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）．
（1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算？
（2）若教师没有到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位教师没有到吗？
25．（10分）阅读与理解
同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你会用吗？请阅读下列解题过程：
＝＝．
＝＝＝．
这实际上就是分母有理化的过程！请回答下列问题：
（1）观察上⾯的解答过程，请写出＝ ；
（2）利⽤上面的解法，请化简……+；
（3）解关于x的方程：+……+＝1．
26．（10分）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部，且OB、OC都在直线OA的右侧时，请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由．
2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣的相反数等于：﹣（﹣）＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）1月14日，长沙市的气温﹣5℃～﹣1℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温，单位℃）是（ ）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
【分析】利用最高温度减去最低温度即可求解．
【解答】解：（﹣1）﹣（﹣5）＝﹣1+5＝4（℃）．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
3．（3分）在数轴上，与原点距离为2的点表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2、﹣2 D．不能确定
【分析】由数轴可知到原点的距离等于2的数有两个，即2或﹣2，据此可解．
【解答】解：如果一个数到原点的距离等于2，那么这个数是2或﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，到原点的距离，属于基本概念，比较简单．
4．（3分）2018年，长沙市经济社会保持平稳健康发展，根据长沙市统计局发布的数据显示，2018年全市地区生产总值达到了1.1万亿元，同⽐去年增长793亿元，793亿元这个数用科学记数法表示为（ ）
A．7.93×1010元 B．793×108元
C．7.9310元 D．7.93×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：793亿＝793 0000 0000＝7.93×1010，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，
∴an＝2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+2．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an＝2n+2”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
6．（3分）下列各组中的两项属于同类项的是（ ）
A．x2y与﹣xy2 B．pq与qp
C．﹣8a2b与5a2c D．19abc与﹣28a
【分析】根据同类项的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、x2y与﹣xy2中所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故A错误；
B、pq与qp中所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故B正确；
C、﹣8a2b与5a2c中所含字母不同，不是同类项，故C错误；
D、19abc与﹣28a中所含字母不同，不是同类项，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是同类项的定义，解答此类题目时要注意判断同类项的依据：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2x B．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2 D．x2+5x
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+3）（x+2），空白处小长方形的面积为：2x，所以阴影部分的面积为（x+3）（x+2）﹣2x，故正确；
B、阴影部分可分为应该长为x+3，宽为x和一个长为x+2，宽为3的长方形，他们的面积分别为x（x+3）和3×2＝6，所以阴影部分的面积为x（x+3）+6，故正确；
C、阴影部分可分为一个长为x+2，宽为3的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：3（x+2）+x2，故正确；
D、x2+5x，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中．
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
9．（3分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（﹣）x＝1 D．（+）x＝1
【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式．
【解答】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为：
（+）x＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．
10．（3分）如图OC⊥AB于O点，∠1＝∠2，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据题意，互余的角的和为直角，∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角．
【解答】解：由题意∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，
又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角．
则有4对，
故选：C．
【点评】本题考查了余角问题，本题从∠1＝∠2展开提问，∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，再有互为余角，再由∠1＝∠2求得2对而得．
二、填空题（本⼤题共8⼩小题，每⼩题3分，满分24分）
11．（3分）的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】先计算|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，然后根据负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较．
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
∴﹣＜﹣．
故答案为＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
13．（3分）如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7+6x+3y的值是 16 ．
【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得：2x+y＝3，
则原式＝7+3（2x+y）＝7+9＝16，
故答案为：16
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）若方程2x+1＝3和的解相同，则a的值是 7 ．
【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：由2x+1＝3得x＝1，
把x＝1代入中得：2﹣＝0，
解得：a＝7．
故填：7．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
15．（3分）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB＝35°，则∠AOD＝ 110 °．
【分析】首先根据角平分线定义可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵射线OC平分∠DOB．
∴∠BOD＝2∠BOC，
∵∠COB＝35°，
∴∠DOB＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
故答案是：110．
【点评】此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
16．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是 145° ．
【分析】由△AOB与△COD为直角三角形得到∠AOB＝∠COD＝90°，则∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，然后利用角与角之间的和差关系即可得到∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝35°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+55°＝145°．
故答案为：145°．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
17．（3分）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ③④ ．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
【分析】根据两点之间线段最短，过两点只有且只有一条直线，可得答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设，“两点之间，线段最短”，故③正确；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确；
故答案为：③④．
【点评】本题考查了线段的性质，利用直线的性及线段的性质是解题关键．
18．（3分）将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对阵时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对阵四次可以得到 15 条折痕，如果对折七次，可以得到 27﹣1 条折痕．
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；
再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
所以第七次对折，把纸分成27部分，27﹣1条折痕；
故答案为：15；27﹣1．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题8分，21题6分，第22、23、24题每⼩题8分，第25、26题每⼩题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）3﹣×[1﹣（﹣5）2]+；
（2）﹣62×（）．
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣×（1﹣25）+3
＝1+6+3
＝10；
（2）原式＝﹣36×（﹣）+（﹣36）×（﹣）+（﹣36）×
＝18+14﹣30
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解方程：
（1）4（4x﹣1）＝3（x+1）；
（2）．
【分析】（1）通过去括号，移项，合并同类项，化系数为1进行解答；
（2）先去分母，然后通过移项，合并同类项，化系数为1进行解答．
【解答】解：（1）16x﹣4＝3x+3，
16x﹣3x＝4+3，
13x＝7，
x＝；
（2）3x﹣6（x﹣1）+60＝2（x+3），
3x﹣6x+6+60＝2x+6，
3x﹣6x﹣2x＝6﹣6﹣60，
﹣5x＝﹣60，
x＝12．
【点评】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握一元一次方程的解法，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
21．（6分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，再代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【解答】解：原式＝﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b＝（﹣1﹣1+2）a2b+（3﹣4）ab2＝﹣ab2，
当a＝1，b＝﹣2时，
原式＝﹣1×（﹣2）2＝﹣4．
【点评】解题关键是先化简，再代入求值．注意运算顺序及符号的处理．
22．（8分）如图：已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
【分析】根据线段的中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝8cm，BD＝3cm，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣3＝5（cm），
∵C为AB的中点，
∴AC＝AB＝4cm，
∴DC＝AD﹣AC＝5﹣4＝1（cm），
即线段DC的长是1cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键．
23．（8分）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，求∠1和∠2的度数．
【分析】设∠2的度数是x°，根据图示可得∠1+∠2＝180°，再根据∠1比∠2的3倍少20°，可得x+3x﹣20°＝180°，进而解答即可．
【解答】解：设∠2的度数是x°，
由题意，得x+3x﹣20°＝180°，
解得x＝50．
则3x﹣20°＝130°
答：∠1的度数是130°，∠2的度数是50°．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．（8分）考考你的应用能力
周末，七年级一班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）．
（1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算？
（2）若教师没有到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位教师没有到吗？
【分析】（1）根据有教师14人和全班48名同学和成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票），可计算出两种方式从而看看哪种票合算．
（2）设有x位老师没到，根据团体票统一按成人票的7折计算，第二种购票方式共需336元，可求解．
【解答】解：（1）14×8+48×5＝352（元）．
（14+48）×8×0.7＝347.2（元）．
第一种方式的费用为352元；第二种方式的费用为347.2元．
因此，选用第二种方式较合算．
（2）设有x位老师没到，则
（14﹣x+48）×8×0.7＝336，
x＝2．
故有2位教师没有到．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问求出不同方式花钱情况求出哪种合算，第二中设出未到的人数，根据花去的钱数作为等量关系列方程求解．
25．（10分）阅读与理解
同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你会用吗？请阅读下列解题过程：
＝＝．
＝＝＝．
这实际上就是分母有理化的过程！请回答下列问题：
（1）观察上⾯的解答过程，请写出＝ + ；
（2）利⽤上面的解法，请化简……+；
（3）解关于x的方程：+……+＝1．
【分析】（1）利用分母有理化计算即可；
（2）先分母有理化得到原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，然后合并即可；
（3）先分母有理化得到（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+…+（﹣）x＝1，然后把方程作边合并后解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝+；
故答案为+；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+…+（﹣）x＝1，
（﹣）x＝1，
所以x＝＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（10分）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部，且OB、OC都在直线OA的右侧时，请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，根据∠DOE的大小作出判断即可．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°；
（2）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
＝∠AOB
＝45°．
（3）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图②，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE
＝∠AOC﹣∠COB
＝（∠AOC﹣∠COB）
＝∠AOB
＝45°．
故∠DOE的大小不变，等于45°．
【点评】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
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2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）1月14日，长沙市的气温﹣5℃～﹣1℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温，单位℃）是（ ）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
3．（3分）在数轴上，与原点距离为2的点表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2、﹣2 D．不能确定
4．（3分）2018年，长沙市经济社会保持平稳健康发展，根据长沙市统计局发布的数据显示，2018年全市地区生产总值达到了1.1万亿元，同⽐去年增长793亿元，793亿元这个数用科学记数法表示为（ ）
A．7.93×1010元 B．793×108元
C．7.9310元 D．7.93×1011元
5．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
6．（3分）下列各组中的两项属于同类项的是（ ）
A．x2y与﹣xy2 B．pq与qp
C．﹣8a2b与5a2c D．19abc与﹣28a
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2x B．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2 D．x2+5x
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（﹣）x＝1 D．（+）x＝1
10．（3分）如图OC⊥AB于O点，∠1＝∠2，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
二、填空题（本⼤题共8⼩小题，每⼩题3分，满分24分）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）比较大小： ．
13．（3分）如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7+6x+3y的值是 ．
14．（3分）若方程2x+1＝3和的解相同，则a的值是 ．
15．（3分）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB＝35°，则∠AOD＝ °．
16．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是 ．
17．（3分）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
18．（3分）将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对阵时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对阵四次可以得到 条折痕，如果对折七次，可以得到 条折痕．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题8分，21题6分，第22、23、24题每⼩题8分，第25、26题每⼩题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）3﹣×[1﹣（﹣5）2]+；
（2）﹣62×（）．
20．（8分）解方程：
（1）4（4x﹣1）＝3（x+1）；
（2）．
21．（6分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣2．
22．（8分）如图：已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
23．（8分）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，求∠1和∠2的度数．
24．（8分）考考你的应用能力
周末，七年级一班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）．
（1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算？
（2）若教师没有到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位教师没有到吗？
25．（10分）阅读与理解
同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你会用吗？请阅读下列解题过程：
＝＝．
＝＝＝．
这实际上就是分母有理化的过程！请回答下列问题：
（1）观察上⾯的解答过程，请写出＝ ；
（2）利⽤上面的解法，请化简……+；
（3）解关于x的方程：+……+＝1．
26．（10分）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部，且OB、OC都在直线OA的右侧时，请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由．
2019-2020学年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中双语学校七年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：根据相反数的含义，可得
﹣的相反数等于：﹣（﹣）＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）1月14日，长沙市的气温﹣5℃～﹣1℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温，单位℃）是（ ）
A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6
【分析】利用最高温度减去最低温度即可求解．
【解答】解：（﹣1）﹣（﹣5）＝﹣1+5＝4（℃）．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
3．（3分）在数轴上，与原点距离为2的点表示的数为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2、﹣2 D．不能确定
【分析】由数轴可知到原点的距离等于2的数有两个，即2或﹣2，据此可解．
【解答】解：如果一个数到原点的距离等于2，那么这个数是2或﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，到原点的距离，属于基本概念，比较简单．
4．（3分）2018年，长沙市经济社会保持平稳健康发展，根据长沙市统计局发布的数据显示，2018年全市地区生产总值达到了1.1万亿元，同⽐去年增长793亿元，793亿元这个数用科学记数法表示为（ ）
A．7.93×1010元 B．793×108元
C．7.9310元 D．7.93×1011元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：793亿＝793 0000 0000＝7.93×1010，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2 B．∁nH2n C．∁nH2n﹣2 D．∁nHn+3
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an＝2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，
∴an＝2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+2．
故选：A．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an＝2n+2”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
6．（3分）下列各组中的两项属于同类项的是（ ）
A．x2y与﹣xy2 B．pq与qp
C．﹣8a2b与5a2c D．19abc与﹣28a
【分析】根据同类项的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、x2y与﹣xy2中所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故A错误；
B、pq与qp中所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故B正确；
C、﹣8a2b与5a2c中所含字母不同，不是同类项，故C错误；
D、19abc与﹣28a中所含字母不同，不是同类项，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是同类项的定义，解答此类题目时要注意判断同类项的依据：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
7．（3分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2x B．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2 D．x2+5x
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+3）（x+2），空白处小长方形的面积为：2x，所以阴影部分的面积为（x+3）（x+2）﹣2x，故正确；
B、阴影部分可分为应该长为x+3，宽为x和一个长为x+2，宽为3的长方形，他们的面积分别为x（x+3）和3×2＝6，所以阴影部分的面积为x（x+3）+6，故正确；
C、阴影部分可分为一个长为x+2，宽为3的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：3（x+2）+x2，故正确；
D、x2+5x，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中．
8．（3分）下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
9．（3分）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭和大雁分别从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（﹣）x＝1 D．（+）x＝1
【分析】直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式．
【解答】解：设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为：
（+）x＝1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．
10．（3分）如图OC⊥AB于O点，∠1＝∠2，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据题意，互余的角的和为直角，∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角．
【解答】解：由题意∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，
又因为∠1＝∠2，则相互交换又多了两对互余角．
则有4对，
故选：C．
【点评】本题考查了余角问题，本题从∠1＝∠2展开提问，∠1与∠COD互为余角，∠2与∠EOB互为余角，再有互为余角，再由∠1＝∠2求得2对而得．
二、填空题（本⼤题共8⼩小题，每⼩题3分，满分24分）
11．（3分）的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】先计算|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，然后根据负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较．
【解答】解：∵|﹣|＝＝，|﹣|＝＝，
∴﹣＜﹣．
故答案为＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
13．（3分）如果代数式2x+y的值是3，那么代数式7+6x+3y的值是 16 ．
【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：由题意得：2x+y＝3，
则原式＝7+3（2x+y）＝7+9＝16，
故答案为：16
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（3分）若方程2x+1＝3和的解相同，则a的值是 7 ．
【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：由2x+1＝3得x＝1，
把x＝1代入中得：2﹣＝0，
解得：a＝7．
故填：7．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
15．（3分）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB＝35°，则∠AOD＝ 110 °．
【分析】首先根据角平分线定义可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵射线OC平分∠DOB．
∴∠BOD＝2∠BOC，
∵∠COB＝35°，
∴∠DOB＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
故答案是：110．
【点评】此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
16．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是 145° ．
【分析】由△AOB与△COD为直角三角形得到∠AOB＝∠COD＝90°，则∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，然后利用角与角之间的和差关系即可得到∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝35°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+55°＝145°．
故答案为：145°．
【点评】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．
17．（3分）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ③④ ．
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
【分析】根据两点之间线段最短，过两点只有且只有一条直线，可得答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误；
②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误；
③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设，“两点之间，线段最短”，故③正确；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确；
故答案为：③④．
【点评】本题考查了线段的性质，利用直线的性及线段的性质是解题关键．
18．（3分）将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对阵时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对阵四次可以得到 15 条折痕，如果对折七次，可以得到 27﹣1 条折痕．
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；
再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
所以第七次对折，把纸分成27部分，27﹣1条折痕；
故答案为：15；27﹣1．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题8分，21题6分，第22、23、24题每⼩题8分，第25、26题每⼩题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）﹣（﹣1）3﹣×[1﹣（﹣5）2]+；
（2）﹣62×（）．
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣×（1﹣25）+3
＝1+6+3
＝10；
（2）原式＝﹣36×（﹣）+（﹣36）×（﹣）+（﹣36）×
＝18+14﹣30
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（8分）解方程：
（1）4（4x﹣1）＝3（x+1）；
（2）．
【分析】（1）通过去括号，移项，合并同类项，化系数为1进行解答；
（2）先去分母，然后通过移项，合并同类项，化系数为1进行解答．
【解答】解：（1）16x﹣4＝3x+3，
16x﹣3x＝4+3，
13x＝7，
x＝；
（2）3x﹣6（x﹣1）+60＝2（x+3），
3x﹣6x+6+60＝2x+6，
3x﹣6x﹣2x＝6﹣6﹣60，
﹣5x＝﹣60，
x＝12．
【点评】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握一元一次方程的解法，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
21．（6分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】首先根据整式的加减运算法则将原式化简，再代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．
【解答】解：原式＝﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b＝（﹣1﹣1+2）a2b+（3﹣4）ab2＝﹣ab2，
当a＝1，b＝﹣2时，
原式＝﹣1×（﹣2）2＝﹣4．
【点评】解题关键是先化简，再代入求值．注意运算顺序及符号的处理．
22．（8分）如图：已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
【分析】根据线段的中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝8cm，BD＝3cm，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣3＝5（cm），
∵C为AB的中点，
∴AC＝AB＝4cm，
∴DC＝AD﹣AC＝5﹣4＝1（cm），
即线段DC的长是1cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键．
23．（8分）如图，点O在直线AB上，OC为射线，∠1比∠2的3倍少20°，求∠1和∠2的度数．
【分析】设∠2的度数是x°，根据图示可得∠1+∠2＝180°，再根据∠1比∠2的3倍少20°，可得x+3x﹣20°＝180°，进而解答即可．
【解答】解：设∠2的度数是x°，
由题意，得x+3x﹣20°＝180°，
解得x＝50．
则3x﹣20°＝130°
答：∠1的度数是130°，∠2的度数是50°．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．（8分）考考你的应用能力
周末，七年级一班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）．
（1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算？
（2）若教师没有到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位教师没有到吗？
【分析】（1）根据有教师14人和全班48名同学和成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票），可计算出两种方式从而看看哪种票合算．
（2）设有x位老师没到，根据团体票统一按成人票的7折计算，第二种购票方式共需336元，可求解．
【解答】解：（1）14×8+48×5＝352（元）．
（14+48）×8×0.7＝347.2（元）．
第一种方式的费用为352元；第二种方式的费用为347.2元．
因此，选用第二种方式较合算．
（2）设有x位老师没到，则
（14﹣x+48）×8×0.7＝336，
x＝2．
故有2位教师没有到．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问求出不同方式花钱情况求出哪种合算，第二中设出未到的人数，根据花去的钱数作为等量关系列方程求解．
25．（10分）阅读与理解
同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，你会用吗？请阅读下列解题过程：
＝＝．
＝＝＝．
这实际上就是分母有理化的过程！请回答下列问题：
（1）观察上⾯的解答过程，请写出＝ + ；
（2）利⽤上面的解法，请化简……+；
（3）解关于x的方程：+……+＝1．
【分析】（1）利用分母有理化计算即可；
（2）先分母有理化得到原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，然后合并即可；
（3）先分母有理化得到（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+…+（﹣）x＝1，然后把方程作边合并后解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝+；
故答案为+；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9；
（3）（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+…+（﹣）x＝1，
（﹣）x＝1，
所以x＝＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
26．（10分）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）在图①中，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠DOE的度数；
（3）当射线OC绕点O旋转到∠AOB外部，且OB、OC都在直线OA的右侧时，请在图②中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，∠DOE的大小是否发生变化？说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，根据∠DOE的大小作出判断即可．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°；
（2）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
＝∠AOB
＝45°．
（3）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图②，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE
＝∠AOC﹣∠COB
＝（∠AOC﹣∠COB）
＝∠AOB
＝45°．
故∠DOE的大小不变，等于45°．
【点评】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
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