2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）开学数学试卷

这是一份2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）开学数学试卷，共28页。
2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）开学数学试卷
一.选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在▱ABCD中，∠A＝45°，则其对角∠C为（　　）
A．135° B．35° C．55° D．45°
2．（3分）下列各组数据不是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10
3．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）

A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于（　　）

A．20 B．15 C．10 D．5
5．（3分）若一组数据﹣3，﹣2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，这组数据的中位数是（　　）
A．0 B．1 C．1.5 D．2
6．（3分）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD长（　　）

A．3 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（　　）

A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
8．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　）

A．45° B．30° C．60° D．55°
10．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．5
11．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
12．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C． D．8
二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是　 　分．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是　 　．
15．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF＝　 　cm．

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是　 　．

17．（3分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为　 　．

18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，若AD＝4，则CB的长等于　 　．

三.解答题（本题共8小题）
19．（6分）计算：+×（﹣）++（3﹣π）0
20．（6分）已知a＝﹣，b＝+，求值：
（1）+；
（2）a2b+ab2．
21．（8分）小冬与小夏是某中学篮球队的队员，在最近五场球赛中的得分如表所示：

第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
小冬
10
13
9
8
10
小夏
12
2
13
21
2
（1）根据上表所给的数据，填写下表：

平均数
中位数
众数
方差
小冬
10
　 　
10
2.8
小夏
10
12
　 　
32.4
（2）根据以上信息，若教练选择小冬参加下一场比赛，教练的理由是什么？
（3）若小冬的下一场球赛得分是16分，则在小冬得分的四个统计量中（平均数、中位数、众数与方差）哪些不变，哪些发生了改变，改变后是变大还是变小？（S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
22．（8分）如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求∠APB的度数；
（2）如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．

23．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．

24．（9分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．

25．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9cm．动点P从点B出发，沿BC向点C运动（到达C点停止），动点Q从点A出发，沿AB向点B运动（到达B点停止），如果动点P以1cm/s，Q以2cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝　 　s时，BP＝BQ；
（2）连接PQ．
①当t＝4时，求线段PQ的长；
②在运动过程中，△BPQ的形状不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由．

26．（10分）【探究与证明】
在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点（不与点A、C重合），连BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连GH、CH．
（1）若G在AC上（如图1），则：①图中与△ABG全等的三角形是　 　．
②线段AG、CG、GH之间的数量关系是　 　．
（2）若G在AC的延长线上（如图2），那么线段AG、CG、BG之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；
【应用】（3）如图3，G在正方形ABCD的对角线CA的延长线上，以BG为边作正方形BGMN，若AG＝2，AD＝4，请直接写出正方形BGMN的面积．


2019-2020学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在▱ABCD中，∠A＝45°，则其对角∠C为（　　）
A．135° B．35° C．55° D．45°
【分析】由▱ABCD中，∠A＝45°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
【解答】解：∵▱ABCD中，∠A＝45°，
∴∠C＝∠A＝45°．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等的性质是解此题的关键．
2．（3分）下列各组数据不是勾股数的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+32≠42 ，不能构成直角三角形，所以不是勾股数，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，所以是勾股数，故不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．（3分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）

A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
【分析】根据一个角是90°的平行四边形是矩形进行选择即可．
【解答】解：A、AB＝BC，邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形，符合题意；
C、对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟记矩形和菱形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于（　　）

A．20 B．15 C．10 D．5
【分析】根据题意可得出∠B＝60°，结合菱形的性质可得BA＝BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出△ABC的周长．
【解答】解：∵∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
又∵ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长＝3AB＝15．
故选：B．
【点评】此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．
5．（3分）若一组数据﹣3，﹣2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，这组数据的中位数是（　　）
A．0 B．1 C．1.5 D．2
【分析】根据平均数的定义先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【解答】解：∵数据﹣3，﹣2，0，1，x，6，9，12的平均数为3，
∴（﹣3﹣2+0+1+x+6+9+12）＝3，
解得：x＝1．
将这组数据从小到大重新排列后为﹣3，﹣2，0，1，1，6，9，12；
这组数据的中位数是＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是中位数和平均数的定义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．
6．（3分）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD长（　　）

A．3 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等边三角形的性质可得CD＝CB，再根据等边对等角的性质求出∠BDC＝∠DBC＝30°，然后求出∠BDE＝90°，再根据勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴CB＝CD，
∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
又∵∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，
∴BD＝＝＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，求出△BDE是直角三角形是解题的关键．
7．（3分）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（　　）

A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形
【分析】可画出图形，令相等的线段重合，拼出可能出现的图形，然后再根据已知三角形的性质，对拼成的图形进行具体的判定．
【解答】解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，
（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；
（2）为菱形，有两个角为60°；
（3）为等腰梯形．

故选：D．
【点评】这是一道生活联系实际的问题，不仅要用到三角形中位线的性质、菱形、等腰梯形、矩形的性质，还锻炼了学生的动手能力．解答此类题目时应先画出图形，再根据已知条件判断各边的关系．
8．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．
【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∴在Rt△ABD中，
BD＝＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　）

A．45° B．30° C．60° D．55°
【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．
【解答】解：设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．
10．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4 B．3 C．4.5 D．5
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：A、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
B、若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
12．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C． D．8
【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE＝BQ+QE＝＝5，
∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．
故选：B．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
二.填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是　89.3　分．
【分析】因为数学期末成绩由课堂、作业和考试三部分组成，并按1：3：6的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案．
【解答】解：小明的数学期末成绩是＝89.3（分），
故答案为：89.3．
【点评】本题主要考查了加权平均数的概念．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，3）到原点O的距离是　5　．
【分析】根据勾股定理可求点P（﹣4，3）到原点的距离．
【解答】解：点P（﹣4，3）到原点的距离为＝5．
故答案为：5．
【点评】考查了勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．（3分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF＝　　cm．

【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO＝30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
【解答】解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴AO＝AB＝×2＝1，
由勾股定理得：BO＝DO＝，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝（+）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是　16　．

【分析】通过证明△AEB≌△AFD，将求四边形AECF的面积转化为求正方形的面积．
【解答】解：∵∠EAB+∠BAF＝∠FAD+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
又因为四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABE＝90°，AB＝AD，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
即可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积．
所以答案是16．
【点评】本题在于证明△AEB≌△AFD从而把所要求的面积转化为正方形的面积，属中档题．
17．（3分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为　29　．

【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
【解答】解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4×ab+3＝16，
2ab＝13，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，
故答案为：29．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝30°，若AD＝4，则CB的长等于　12　．

【分析】过点C作CE∥AD交AB于E，根据三角形内角和定理得到∠ECB＝90°，根据直角三角形的性质得到BE＝2CE，根据平行四边形的性质求出CE，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于E，
则∠CEB＝∠A＝60°，
∴∠ECB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ECB中，∠B＝30°，
∴BE＝2CE，
∵CE∥AD，AB∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴CE＝AD＝4，
∴BE＝2CE＝8，
由勾股定理得，BC＝＝＝12，
故答案为：12．

【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三.解答题（本题共8小题）
19．（6分）计算：+×（﹣）++（3﹣π）0
【分析】先计算乘法、化简二次根式、零指数幂，然后计算加减法．
【解答】解：原式＝﹣+|1﹣|+1
＝2﹣3+﹣1+1
＝0．
【点评】本题主要考查了分母有理化，零指数幂，属于基础计算题．
20．（6分）已知a＝﹣，b＝+，求值：
（1）+；
（2）a2b+ab2．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab，把原式化简，把a+b、ab代入计算即可；
（2）把原式提公因式进行变形，把a+b、ab代入计算即可．
【解答】解：∵a＝﹣，b＝+，
∴a+b＝（﹣）+（+）＝2，ab＝（﹣）（+）＝2，
（1）+
＝
＝
＝
＝
＝12；
（2）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝2×2
＝4．
【点评】本题考查的是二次根式的加法和乘法、完全平方公式，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
21．（8分）小冬与小夏是某中学篮球队的队员，在最近五场球赛中的得分如表所示：

第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
小冬
10
13
9
8
10
小夏
12
2
13
21
2
（1）根据上表所给的数据，填写下表：

平均数
中位数
众数
方差
小冬
10
　10　
10
2.8
小夏
10
12
　2　
32.4
（2）根据以上信息，若教练选择小冬参加下一场比赛，教练的理由是什么？
（3）若小冬的下一场球赛得分是16分，则在小冬得分的四个统计量中（平均数、中位数、众数与方差）哪些不变，哪些发生了改变，改变后是变大还是变小？（S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
【分析】（1）将各场比赛的得分按从小到大或从大到小的顺序排列，即可找到中位数；根据众数的定义求出众数．
（2）根据方差的意义即可做出选择；
（3）根据平均数、中位数、众数与方差的意义解答．
【解答】解：（1）小冬各场得分由大到小排列为：13，10，10，9，8；于是中位数为10；
小夏各场得分中，出现次数最多的是2，所以众数是2．
故答案为：10，2；

（2）教练选择小冬参加下一场比赛的理由：小冬与小夏平均得分相同，小冬的方差小于小夏，即小冬的得分稳定，能正常发挥．

（3）再比一场，小冬的得分情况从大到小排列为16，13，10，10，9，8；
平均数：（16+13+10+10+9+8）＝11；
中位数：10；
众数：10；
方差：S2＝[（16﹣11）2+（13﹣11）2+（10﹣11）2+（10﹣11）2+（9﹣11）2+（8﹣11）2≈7.33．
可见，中位数、众数不变，平均数变大，方差变大．
【点评】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．
①平均数表示一组数据的平均程度；
②中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；
③众数是一组数据中出现次数最多的数；
④方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
22．（8分）如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求∠APB的度数；
（2）如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．

【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，求出DC＝10＝AB，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD
∴∠DAB+∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，
在△APB中，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；

（2）∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA
∴∠DAP＝∠DPA
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5cm
同理：PC＝CB＝5cm
即AB＝DC＝DP+PC＝10cm，
在Rt△APB中，AB＝10cm，AP＝8cm，
∴BP＝＝6（cm）
∴△APB的周长是6+8+10＝24（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
23．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFDC是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．

【分析】（1）先证明四边形FECD为平行四边形，再证出CD＝CE，得出四边形FECD为菱形，由∠C＝90°，即可得出四边形FECD为正方形；
（2）先由三角函数求出正方形FECD的边长CD＝CE，得出BC，进而得出BD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，
∴四边形FEDC为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CD＝CE，
∴四边形FEDC是菱形，
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FEDC是正方形；
（2）∵四边形FEDC是正方形，
∴∠CDE＝45°，
∵，
∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，
∴BD＝．
【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、平行四边形和菱形的判定、解直角三角形；熟练掌握矩形和正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
24．（9分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接DE和BF，过点A作AG⊥BC交CB的延长线于G．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当点B是CG中点时，求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】（1）由已知条件易证BE＝DF，进而可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD，可证四边形ADBG是平行四边形，可得DE＝BE＝，由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，由此可证四边形BEDF是菱形．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB＝CD，
∵E，F分别是AB和CD的中点
∴，
∴BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴BG＝BC，
∴AD＝BG，
又AD∥BC，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∵AG⊥BC，
∴∠G＝90°，
∴∠ADB＝∠G＝90°
又∵E是AB中点
∴DE＝BE＝，
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
25．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9cm．动点P从点B出发，沿BC向点C运动（到达C点停止），动点Q从点A出发，沿AB向点B运动（到达B点停止），如果动点P以1cm/s，Q以2cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝　6　s时，BP＝BQ；
（2）连接PQ．
①当t＝4时，求线段PQ的长；
②在运动过程中，△BPQ的形状不断发生变化，它能否构成直角三角形？如果能，则求出此时t的值，如果不能，请说明理由．

【分析】（1）由BP＝BQ，列出方程可求解；
（2）①过点Q作QH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求BQ，BH的长，QH的长，由勾股定理可求解；
②分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9cm，
∴AB＝2BC＝18cm，
∵动点P以1cm/s，Q以2cm/s的速度同时出发，
∴BP＝t（cm），AQ＝2t（cm），
∵BP＝BQ，
∴t＝18﹣2t，
∴t＝6，
故答案为：6；
（2）①如图1，过点Q作QH⊥BC于H，

∵t＝4，
∴BP＝4（cm），AQ＝8（cm），
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9cm，
∴AB＝18（cm），∠B＝60°，
∴BQ＝10（cm），
∵QH⊥BC，
∴∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ＝5（cm），HQ＝BH＝5（cm），
∴PH＝1（cm），
∴PQ＝＝＝2（cm）；
②由题意可得BP＝tcm，AQ＝2tcm，
∴BQ＝（18﹣2t）（cm），
如图2，当∠BPQ＝90°时，

∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，
∴18﹣2t＝2t，
∴t＝4.5；
如图3，当∠PQB＝90°时，

∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴2BQ＝BP，
∴2（18﹣2t）＝t，
∴t＝7.2，
综上所述：当t＝4.5或7.2时，△BPQ是直角三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
26．（10分）【探究与证明】
在正方形ABCD中，G是射线AC上一动点（不与点A、C重合），连BG，作BH⊥BG，且使BH＝BG，连GH、CH．
（1）若G在AC上（如图1），则：①图中与△ABG全等的三角形是　△CBH　．
②线段AG、CG、GH之间的数量关系是　AG2+CG2＝GH2　．
（2）若G在AC的延长线上（如图2），那么线段AG、CG、BG之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；
【应用】（3）如图3，G在正方形ABCD的对角线CA的延长线上，以BG为边作正方形BGMN，若AG＝2，AD＝4，请直接写出正方形BGMN的面积．

【分析】探究与证明（1）①由题意可得AB＝BC，BG＝BH，∠ABG＝∠CBH 可证△ABG≌△BCH
②由△ABG≌△BCH可得AG＝CH，∠ACH＝90° 可得AG、CG、GH之间的数量关系．
（2）连接CH，可证△ABG≌△BCH，可得△CHG是直角三角形，则AG2+CG2＝GH2，且HG2＝BG2+BH2＝2BG2，可得线段AG、CG、BG之间．
应用：（3）连接BD交AC于O，由正方形ABCD可得AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝2，则根据正方形GBMN的面积＝BG2＝GO2+BO2．可求正方形GBMN的面积．
【解答】解：探究与证明：（1）①△CBH，②AG2+CG2＝GH 2
理由如下：
∵ABCD是正方形
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°
又∵GB⊥BH
∴∠ABG＝∠CBH且BG＝BH，AB＝BC
∴△ABG≌△BCH
∴∠BAC＝∠BCH＝45°，AG＝CH
∴∠GCH＝90°
在Rt△GCH中，CH2+CG2＝GH 2
∴AG2+CG2＝GH 2
（2）

如图2，连CH
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC＝90°，AB＝BC
∵∠GBH＝90°
∴∠ABC+∠GBC＝∠GBH+∠GBC
即：∠ABG＝∠CBH
又∵BH＝BG
∴△ABG≌△CBH
∴AG＝CH，∠BCH＝∠BAC＝45°
∴∠ACH＝∠ACB+∠BCH＝45°+45°＝90°
∴AG⊥CH
∴CH2+CG2＝GH 2
∴AG2+CG2＝GH2
∵HG2＝BG2+BH2＝2BG2
∴AG2+CG2＝2BG2
应用：（3）如图连接BD交AC于O

∵四边形ABCD 是正方形，AD＝4
∴AC＝4，BO＝AO＝DO＝CO＝2，AC⊥BD
∴BG2＝GO2+BO2
∵S正方形GBNM＝BG2＝GO2+BO2＝（2+2）2+（2）2＝20+8
【点评】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题关键．
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