广东省东莞市七校2023届高三数学上学期12月联考试卷（Word版附解析）

东莞市七校2022-2023学年高三上学期12月联考

数学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

1.设集合，则AB=（    ）

A.  B.  C.  D.

2.已知复数，为的共轭复数，则（    ）

A.  B. 2 C.  D.

3.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4.在中，已知为上一点，若，则（    ）

A． B． C． D．

5.2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B，C ，D这4个场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为（    ）

A．240 B．120 C．60 D．48

6.若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

7.已知，，，则（    ）

A.           B.             C.            D.  

8. 若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（    ）

A.  B.   C.   D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9.已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A．是等差数列      B．          C．公差          D．

10.分别是正方体的棱的中点，则（    ）

A. 平面                       B.

C. 直线与直线相交                    D. 与平面所成的角大小是

11.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（     ）

A．在上单调递增 B．是的一个对称中心

C．是奇函数                        D．在区间上的值域为

12.对于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 在上单调递增，在上单调递减

B. 若方程有个不等的实根，则

C. 当时，

D. 设，若对，，使得成立，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．

13.已知，则_____.

14.已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍，则这个球的半径是_______.

15.已知函数是偶函数，则________．

16. 古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知，为圆的内接四边形的两条对角线，且，若，则实数的最小值为          ．

四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）

已知数列的前项和为，且.

（1）证明：数列为等比数列.

（2）若，求数列的前项和.

18. （本小题满分12分）

在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务．学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查．共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．

（1）根据以上数据完成以下列联表：

根据小概率值的独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？

（2）从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望．

附参考公式及参考数据：

，其中．

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面 底面，，且，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为，且．求：

(1)      A；       

(2)      的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知点P（2，）为椭圆C：）上一点，A，B分别为C的左、右顶点，且△PAB的面积为5．

（1）求C的标准方程；

（2）过点Q（1，0）的直线l与C相交于点G，H（点G在x轴上方），AG，BH与y轴分别交于点M，N，记，分别为△AOM，△AON（点O为坐标原点）的面积，证明为定值．

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，函数存在两个零点，求证：.

东莞市七校2022-2023学年高三上学期12月联考

数学参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.因为集合，所以.故选：D

2.由题：，，，所以.

3.解析：，故选B

4.因为，所以.

5.分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为.

6.双曲线：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为，

可得圆心到直线的距离为：，所以，，，又，即.故选：D．

7.依题意，，显然函数在上单调递增，而，即，又在R上单调递增，于是得，即，所以有.故选：B

8. 由求导得：，于是得，函数图象在点处的切线方程为，整理得：，从而得，，令，则，当时，，当时，，于是得在上单调递减，在上单调递增，则，所以的最小值为.故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9. AB         10.  ABD        11.  AB       12. BD

9.当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，CD错误；

10.对A，因为正方体中且，故四边形为平行四边形，故.又由中位线性质可得，且平面，平面，故平面.故平面，故A正确；

对B，由A同理可得，，故成立，故B正确；

对C，易得所在的平面为，显然不在平面内，故直线与直线异面，故C错误；对D，由B，与平面所成的角即与平面所成的角，即，易得为，故D正确；故选：ABD

11.因为，所以，因为函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，所以为偶函数，故C错误；对于A：当时，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确；对于B：，故是的一个对称中心，故B正确；对于D：因为，所以，所以，所以，故D错误；故选：AB

12.函数的定义域为，，当或时，，当时，，在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确；当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方，显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确；

因，则有，即，于是得，C不正确；

当时，的值域为，当时，的值域为，因对，，使得成立，从而得，即得，D正确.故选：BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡的相应位置上．

13.  ：          14.；           15. ；           16. 

13.解析：由的展开式的通项为，令，得，所以；

方法二，令得

14.设球的半径为，则根据球的表面积公式和体积公式，可得，，化简得.

15.由题意知：是偶函数，则，

即：,即：

即：，解得：.故答案为：.

16. 根据圆内接四边形的性质可知; ,

所以，即，

在中，,故，

由题意可知： ,

则，所以，

故，

当且仅当时等号取得，又，所以，

则 ，则实数的最小值为， 故答案为：

四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

17. （本小题满分10分）

  解：（1）证明：因为，所以当时，，可得；……………1分

当时，由可得，…………………………………………………2分

所以，所以. ……………………………………………………4分

是首项为，公比为的等比数列. …………………………………………………5分

（2）由（1）知，……………………………………………………………7分

所以，…………………………………………………………………8分

  …………10分

18. （本小题满分12分）解：由题得

………………………2分

假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：

    ………………………………………………5分

因此，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关. …………………………………………………6分

（2）喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，3，    …………………………………………7分

则有：；；；.

                                                     …………………………………………10分

所以喜爱运动的人数为的分布列为：

………………………………………11分

故数学期望    …………………………………12分

21. （本小题满分12分）证明：（1）设与交于，连接．

因为为正方形的对角线，所以为中点，且，

因为是的中点，所以，  因为，所以 …………………………2分

因为平面底面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，所以     ……………………………………4分

因为平面，，所以平面 ；…………………………………5分

（2）因为，为的中点，所以 

因为平面底面，平面平面，所以 平面，……………6分

因为，所以，

以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方形的边长为4，则，故

则，，，，，

所以 ，……………………………………………………………8分

设平面的一个法向量，因为，

所以 ，令，则，所以，………………9分

取平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，

，  …………………………………………………………11分

所以，

所以平面与平面夹角的正弦值为 .………………………………………………12分

22. （本小题满分12分）解：（1）因为， 

所以,   …………………………………………………………………………2分

因为，

，…………………………………………4分

因为.   ……………………………………………………………………6分

（2）由正弦定理，   ………………………………………8分

   …………………………………………………………9分

，     ………………………………………………………11分

因为，所以，所以，

所以，所以的取值范围是.  ………………………………………12分

21.（本小题满分12分）解：（1）因为△PAB面积为5，点P（2，）为椭圆C：上一点，

所以有；…………………………………………………4分

（2）由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为，……………………………………5分

与椭圆方程联立为：，………………………………6分

设，

因为，所以，，  ………………………………………7分

直线AG的方程为：，令，得，即，

同理可得：，  ………………………………………………………………………………9分

，…………………………………………10分

因为，所以有，

于是有，因此为定值.…………12分

解法二：当直线的斜率不存在时，方程为，此时，，直线AG的方程为：，令得，直线BH的方程为：，令得，  …………………………………………………………………………7分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，且，，

由方程组得：

，  …………………………………………………………………8分

直线AG的方程为：，令得

直线BH的方程为：，令得  ……………………………………9分

  …………………………10分

又，即

，即………………11分

，因此为定值.…………………12分

22.（本小题满分12分）解（1）由题设，， ………………………………1分

①当，即时，，在R上单调递增；……………………………………2分

②当，即时，令，得

当，，单调递减；

当，，单调递增.      …………………………………………4分

综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.   ……………………………………………………………………………5分

（2）当时，，又，得：，

∴两式相减得，又，可得     ……………6分

法一：要证，只需证，两边同除以得：，令，故只需证即可.

令，，     ……………………………………………9分

令，则，

∴当时，，故在上单调递减，即，

∴在上单调递增，故，故原命题得证.………………………………12分

法二：令，，，即，两式相减得，

要证，即只需证，即证，即，即，令，只需证即可.

令，则

当时，，故在上单调递增，

∴，故原命题得证，原不等式成立.………………………………………………12分