初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似习题

专题27.9 由平行线截得的比例线段（基础篇）（专项练习）

一、单选题

1．已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　）

A．      B．

C．  D．

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，动点P从点C出发沿CB方向以3cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A运动，将△APQ沿直线AB翻折得△AP′Q，若四边形APQP′为菱形，则运动时间为（　　）

A．1s B．  s C． s D． s

3．如图，两条直线被第三条平行所截，，，，则的长为（     ）

A． B． C． D．

4．如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF=2，FG=GC=5，则AC的长是（　　）

A．12 B．13 C． D．

5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．

6．如图：在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，GEBD且交AB于点E，GFAC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（       ）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

7．如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

8．如图，已知，则（       ）

A．4：3 B．8：5 C．6：5 D．3：2

9．如图，在中，，若，则等于（   ）

A． B． C． D．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）

A． B．2 C．2 D．3

二、填空题

11．如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为__________．

12．如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长____．

13．如图，在中，若，AD与BE交于F，则________.

14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，连接两格点，，线段与网格线的交点为点，则______.

15．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将三角形ABC沿直线BC向右平移3cm得到三角形DEF，DE交AC于G，连接AD，则下列结论：①ED⊥DF；②AG＝cm；③CE＝3cm；④点D到线段AC的距离是2cm．其中结论正确结论的序号是_____．

16．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AG∶GF的值是_______．

17．如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．

18．已知中，分别是直线和上的点，若且，则_________．

三、解答题

19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，，，求．

20．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．

求：的值．

21．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．

22．如图，在中，D为AC上一点，E为CB的延长线上一点，连接BD交AB于点F，且，.求证：.

23．在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．

24．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=m，BP=n，求m：n的值．

参考答案

1．B

【分析】

根据平行线分线段成比例定理判断即可．

解：由A得，，则x＝，不符合题意；

由B得，，则x＝，符合题意；

由C得，，则x＝，不符合题意；

由D得，，则x＝，不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．

2．D

【分析】

连接P′P，交AB于O，根据菱形的判定定理得到点O为AQ的中点时，四边形APQP′为菱形，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

解：连接P′P，交AB于O，

当点O为AQ的中点时，四边形APQP′为菱形，

则AO＝OQ＝ ＝4﹣t，

∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，

∴BC＝ ＝10，

∵OP∥AC，

∴ ＝，即 ，

解得，t＝ ，

即当四边形APQP′为菱形，则运动时间为s，

故选D．

【点拨】本题考查翻转变换的性质、菱形的性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握翻转变换的性质、平行线分线段成比例定理．

3．D

【分析】

根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案．

解：，

，

，，，

，

，

．

故选：D．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．

4．B

解：如图，设AC与DF交于M，AC与EH交于N，

∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，

∴四边形EFGH是矩形，△ABE≌△CDG，△AEN≌△CGM，

∴FG=EH=CG=5，EF=GH=2，CH=7，EN=GM，CM=AN，

∵EH=FG，

∴FM=NH，

设GM=EN=x，则HN=FN=5﹣x，

∵GM∥HN，

∴，

∴，

∴x=，

在Rt△CMG中，CM=AN==，

在Rt△CNH中，CN==，

∴AC=AN+CN=+=13，

故选B．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等，能正确地利用勾股定理进行解题是关键．

5．B

解：∵DE∥BC，

∴=2，

∴CE：CA=1：3，，

∵AF：FC=1：2，

∴AF：AC=1：3，

∴AF=EF=EC，

∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，

∴DE=m，DG=m﹣m=m，

∴DG：GE=m：m=1：3，

故选B．

6．C

【分析】

由GEBD、GFAC利用平行线分线段成比例，可得出，，进而可得出，此题得解．

解：∵GEBD、GFAC，

∴，，

∴．

故选：C．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出，是解题的关键．

7．A

【分析】

根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．

解：∵∥，

∴，

∵，，，

∴，

解得：，

∵∥，

∴，

故选：A．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．

8．B

【分析】

过点D作DF∥BE交AC于点F，根据平行线分线段成比例列出比例式进行求解即可．

解：过点D作DF∥BE交AC于点F，如图所示：

∵，

∴，，

∴，

∴，

故选B．

【点拨】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．

9．B

【分析】

由，证明，再证明，设，再求解从而可得答案．

解： ，，

，

设，则，

故选B．

【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键．

10．B

【分析】

首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．

解：连接PP′交BC于O，

∵若四边形QPCP′为菱形，

∴PP′⊥QC，

∴∠POQ=90°，

∵∠ACB=90°，

∴PO∥AC，

∴

∵设点Q运动的时间为t秒，

∴AP=t，QB=t，

∴QC=6-t，

∴CO=3-，

∵AC=CB=6，∠ACB=90°，

∴AB=6，

∴

解得：t=2，

故选B．

【点拨】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质．

11．

【分析】

根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长．

解：∵AB∥CD，

∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3，

∴OA＝．

故答案为．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

12．．

【分析】

根据平行线分线段成比例的性质可以得到解答．

解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

∴＝，

∴DF＝，

故答案为：．

【点拨】本题考查平行线分线段的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质并灵活应用是解题关键．

13．

【分析】

过点D作交AC于点H，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案.

解：过点D作交AC于点H，∴，∴，∵，∴，∴.

【点拨】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.

14．

【分析】

构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到，然后利用勾股定理求出AB，即可得到AC的值．

解：如图，

∵CD∥BE，

∴．

∵AB=，

∴AC=.

故答案为.

【点拨】本题考查了勾股定理及平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

15．①②

【分析】

根据平移变换的性质、平行线分线段成比例定理一一判断即可；

解：∵△DEF是由△ABC平移得到，

∴BE＝CF＝3cm，∠EDF＝∠BAC＝90°，

∴DE⊥DF，故①正确，

∵AB＝3，AC＝4，

∴BC＝5，

∵EG∥AB，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴AG＝ ，故②正确，

∵EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，故③错误，

∵AD∥EC，

∴ ＝ ，

∴ ＝ ，

解得DG＝ cm，故④错误，

故答案为①②．

【点拨】本题考查勾股定理、平移变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

16．6：5

【分析】

作FN∥AD，交AB与N，设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

解：作FN∥AD，交AB与N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴FN∥AD，

∴四边形ANFD是平行四边形，

∵∠D=90°，

∴四边形ANFD是矩形．

设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，

∵AN=BN，MN∥AE，

∴BM=ME，

∴MN=，

∴FM=，

∵AE∥FM，

∴ ．

故答案为6∶5．

【点拨】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．

17．

【分析】

首先证明EF：BC=1：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．

解：，，

，

又，，

≌，

，

：：3，

：：4，

，

故答案为．

【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．4或8

【分析】

通过比例式，可以确定AE的长度，点E是直线AB上的点，没有限定E的位置，只限定AE的长度，以点A为圆心，AE长为半径的圆与直线AB的交点是点E位置，有两个，要分类求即可．

解：如图

∵AB=6，AC=9，AD=3，，

∴AE==2，

当E在AB上,

∴BE=AB-AE=6-2=4,

当E在AB延长线上，

BE=AB+AE=6+2=8,

则BE的长为4或8．

故答案为：4或8．

【点拨】本题考查比例式下的线段问题，用比例求出的线段只限定长度，要考虑线段的位置，要会分类计算是解题关键．

19．

【分析】

根据对应线段成比例，列出比例式，代入即可求解．

解：∵，

∴，

∵DE∥AC，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是把所求比例转化成已知比例．

20．

【分析】

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

解：DF∥BE，

，

，

，

   ，

，

，

，

.，

【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应线段是解题的关键．

21．FN：ND=2：3．

【分析】

过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．

解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，

∴，

∵AF：BF=1：2，

∴=，

∴，

即FE=BC，

∵BC：CD=2：1，

∴CD=BC，

∵FE∥BD，

∴．

即FN：ND=2：3．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．

22．见分析

【分析】

运用平行线分线段成比例定理式，结合已知条件得到，即可解决问题．

解：∵，∴，，∵，∴，∴.

【点拨】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.

23．见分析

【分析】

过点C作CG∥DP交AB于G，根据平行线分线段成比例定理可得，，变形比例式表示DG，得，又BD＝EC，得到，化为等积式即可．

解：过点C作CG∥DP交AB于G，

∴，，

∴，，

∴，

∵BD＝EC，

∴，

∴．

【点拨】此题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是根据题意作出合适的辅助线，利用性质和等量关系求解．

24．（1）见分析；（2）△ACE是直角三角形，理由见分析；（3）m：n= ：1．

【分析】

（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；

（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）设CE交AB于G，先表示出AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，再由 ，即可得出结论．

解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，

∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，

   ，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：

如图2，∵P为AB的中点，

∴PA=PB，

∵PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）解，设CE交AB于G，

∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，

∵PE∥CF，

∴，

即 ，

解得：m= n，

∴m：n= ：1．

故答案为（1）见分析；（2）△ACE是直角三角形，理由见分析；（3）m：n= ：1．

【点拨】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度， 表示出PG和BG的长是关键．