初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例同步达标检测题

专题27.33 相似三角形几何模型-一线三等角（基础篇）

（专项练习）

一、单选题

1．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（       ）

A． B． C． D．

2．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则BE的长是（       ）

A．12 B．15 C． D．

3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P是边AB上一点，BP＝，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ交边AC于点Q．若CQ＝a，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（       ）

A． B． C．2 D．3

4．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝3，AE＝2，∠AED＝∠B，则AD的长为（       ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，点是边上一点，且，下列说法错误的是（       ）

A． B．

C． D．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．5.5

7．如图，在等边三角形ABC中，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=，则ΔABC的边长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(       )

A． B． C． D．

9．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（          ）

A．4 B． C． D．5

10．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为（       ）

A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米

二、填空题

11．如图，在矩形中，是上的点，点在上，要使与相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．

12．如图，在边长为a的正方形中，E、F分别为边BC和CD上的动点，当点E和点F运动时， AE和EF保持垂直．则①△ABE∽△FCE;②当BE=a时、梯形ABCF的面积最大；③当点E运动到BC中点时Rt ABE∽Rt△AEF;④当Rt ABE∽Rt△AEF时cos∠AFE=其中正确结论的序号是   ．

13．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号为________．

14．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．

15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，，，，若与以E，C，F为顶点的三角形相似，则BE的长为______．

16．如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，

（1）写出和∠CDE相等的角：______；

（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为______．

17．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=3，AE=4，DE=1.2，则EF=_____．

18．如图，是等边三角形的边上一点，且：：，现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且：的值为______．

19．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为______．

20．如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC的中点，则线段ED'的长为 _____．

三、解答题

21．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．

22．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．

(1) 求证：△ABP∽△PCD；

(2) 若PC=2，求CD的长．

23．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．

(1) 证明：；

(2) 若，，求AB的长．

24．如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．

25．在矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．

(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；

(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．

26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；

(2)如图2，于点C，于点G，由（1）易知_______，与直线l交于点P，求证：．

参考答案：

1．B

【分析】

根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．

解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，

∵P为BC中点，

∴BP=PC=AB=3，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠EPC，

∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴，

∴DE=CD-CE=，

故选：B．

【点拨】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．

2．C

【分析】

利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∵矩形ABCD中，∠A=90°，

∴，

故选：C．

【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE的长后利用勾股定理求解．

3．B

【分析】

先证明△BPD∽△CDQ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BPD+∠BDP=180°-∠B=120°，

∵∠PDQ=60°，

∴∠BDP+∠CDQ=120°，

∴∠BPD=∠CDQ，

∵∠B=∠C=60°，

∴△BPD∽△CDQ，

∴，

∴，

∴2BP2-8BP+3a=0，

∵满足条件的点P有且只有一个，

∴方程2BP2-8BP+3a=0有两个相等的实数根，

∴△=82-4×2×3a=0，

∴a=．

故选：B．

【点拨】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．

4．C

【分析】

由等边对等角可得∠B=∠C，即得出∠C=∠AED．再结合题意易证△EAD∼△CAE，即得出，代入数据即可求出AD的长．

解：根据题意可知AB=AC=3，

∴∠B=∠C，

∵∠B=∠AED，

∴∠C=∠AED，

又∵∠EAD=∠CAE，

∴△EAD∼△CAE，

∴，即，

解得：,

故选C．

【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

5．D

【分析】

根据和，可证得△ABD∽△DCE，△ADE∽△ACD，再逐项判断即可求解．

解：∵，

∴∠B=∠C，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，故C正确，不符合题意；

∴，

∴，故A正确，不符合题意；

∵，

∴∠B=∠C，

∵，

∴∠ADE=∠C，

∵∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，故B正确，不符合题意；

∴，∠AED=∠ADC，

∵点是边上一点，

∴AC不一定等于CD，

∴∠ADC不一定等于∠DAC，

∴∠AED不一定等于∠DAC，

∴AD不一定等于DE，故D错误，符合题意；

故选：D．

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．

6．A

【分析】

由等边对等角可得，即得出．再结合题意易证，即得出，代入数据即可求出AD的长．

解：根据题意可知，

∴．

∵，

∴．

又∵，

∴，

∴，即，

解得：．

故选A

【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．

7．A

【分析】

根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出，代入求出即可．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，

∵∠APD=60°，

∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，

∴∠BAP=∠DPC，

即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，

∴△BAP∽△CPD，

∴

∵，CP=BC-BP=x-1，BP=1，

∴

解得：AB=3．

故选A．

【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．

8．A

【分析】

根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，

由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，

∴∠AED=∠BDF，

∴△AED∽△BDF，

∴，

∴，

故选A．

【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．

9．B

【分析】

先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.

解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3

∴EF=

如图：过G作GH⊥DE垂足为H，

∵DE⊥EF，EF⊥FG

∴四边形EFGH是矩形

∴HG=EF=

∵矩形ABCD

∴∠A=∠B=90°

∴∠AED+∠ADE=90°

∵DE⊥EF

∴∠AED+∠BEF=90°

∴∠BEF=∠ADE

又∵∠A=∠B=90°

∴△EBF∽△DAE

同理：△DAE∽△GHD

∴△EBF∽△GHD

∴,即,解得DG=.

故选B.

【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

10．A

【分析】

由平面镜反射可得： 再证明再利用相似三角形的性质可得答案.

解：由平面镜反射可得：

米，米，米，

解得：，经检验：符合题意，

旗杆高度为7.5米.

故选A

【点拨】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.

11．或∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC（任填一个即可）

【分析】

根据相似三角形的判定解答即可．

解：∵矩形ABCD，

∴∠ABE＝∠ECF＝90，

∴添加∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF，

∴△ABE∽△ECF，

故答案为：∠BAE＝∠CEF，或∠AEB＝∠EFC，或AE⊥EF．

【点拨】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．

12．①②③

解：①证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

又∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽Rt△ECF，故①正确

② 解 ：∵Rt△ABE∽Rt△ECF，

∴AB：EC=BE：CF，

又∵AB=a，设BE=x，则CE=a﹣x，

∴a：（a﹣x）=x：CF，

∴CF=，

∴

∴当时，取得最大值．故②正确

③当点E运动到BC中点时，BE=EC=

在直角三角形ABE中，由勾股定理解得

又由Rt△ABE∽Rt△ECF可知

即

解得CF=，EF=

所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得

在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，

∴Rt ABE与Rt△AEF相似．故③正确

④由③可知当Rt ABE∽Rt△AEF时,点E是BC的中点

∴

∴．故④错误

考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是本题的关键

13．①②③

【分析】

容易证明①△ABE∽△ECF；利用①可得，可得③AE⊥EF；且可得可证得②△ABE∽△AEF，而所以④不正确．

解：∵E为BC中点，CF:CD=1:4，

∴ 且∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECF，

∴①正确；

∴∠BAE=∠FEC,且

∴

∴

∴AE⊥EF，

∴③正确；

由①可得

∴,且

∴△ABE∽△AEF，

∴②正确；

∵

∴

∴△ADF和△ECF不相似，

∴④不正确，

综上可知正确的为：①②③，

故答案为①②③.

【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

14．2

【分析】

垂直平分，得出，利用，在中利用勾股定理求得的长，再证明，利用相似比求得的长度，进而求得的长度．

解：设，则

垂直平分

在中，

又∵E是中点

∴

解得

又∵

故答案为：2．

【点拨】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．

15．或

【分析】

设BE=x，当∽△ECF时，即，当∽△FCE时，即，解方程即可．

解：设BE=x，

当∽△ECF时，即

整理得，

解得，

经检验都符合题意，

当∽△FCE时，即，

解得．

经检验符合题意，

故答案为或．

【点拨】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．

16．     ∠BAD    

【分析】

(1) 根据△ABC是等边三角形,得到∠B=∠C= 60°， AB= BC；又因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD就得到∠EDC=∠BAD

(2) 因为∠EDC=∠BAD，∠C=∠B得到△ABD~△DCE，得到 ，即可求出EC；

(1) 证明: ∵△ABC是等边三角形,

∠B=∠C= 60°， AB= BC；

又∵∠ADC=∠B+∠BAD

∠EDC+∠ADE= ∠B+∠BAD

又∵∠ADE=∠B=60°

∴∠EDC=∠BAD

所以和∠CDE相等的角为：∠BAD

故答案为：∠BAD

(2) ∵∠EDC=∠BAD

∴∠C=∠B

△ABD~△DCE，

又

解得：EC=

故答案为： ；

【点拨】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD~△DCE是解答此题的关键．

17．2

【分析】

由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得=，进而求出EF的长．

解：在矩形ABCD中

∠A=90°

∵AB=3，AE=4

∴BE===5

∵△ABE∽△DEF

∴=

∴=

解得EF=2

故答案为：2．

【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．

18．

【分析】

设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．

解：设AD＝k，则DB＝2k，

∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，

∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，

∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，

∴∠FDB＝∠AED，

∴△AED∽△BDF，

由△CEF折叠得到△DEF，得

CE＝DE，CF＝DF，

∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，

∴△AED与△BDF的相似比为4：5，

∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．

19．

【分析】

结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解．

解：四边形为矩形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

是的中点，，

，

，

，

解得，

．

故选：．

【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．

20．

【分析】

根据折叠的性质可得，，设，则，由线段中点可得，在中，利用勾股定理可得，，利用相似三角形的判定定理及性质可得，，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．

解：将长方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A落在BC边上点处，

∴，，

设，则，

∵是BC的中点，

∴，

在中，

，

即，

解得：，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

故答案为：

【点拨】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．

21．见分析

【分析】

根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BEF＋∠BFE＝90°，

∵∠EFG＝90°，

∴∠BFE＋∠CFG＝90°，

∴∠BEF＝∠CFG，

∴△EBF∽△FCG．

【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．

22．(1)见分析(2)CD的长为

【分析】

（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；

（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．

（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；

（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的长为．

【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．

23．(1)见分析(2)

【分析】

（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；

（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．

解：(1)∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠EAD．

∵∠ADE=∠B，

∴△ADB∽△AED．

(2)∵△ADB∽△AED，

∴，

∵AE=3，AD=5，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

24．见分析

【分析】

利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．

证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∵∠ADE=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE．

【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．

25．(1)(2)

【分析】

（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°，再由折叠的性质可得．可证得∽．即可求解；

（2）过点E作交AD于H，由折叠的性质可得，从而得到．然后设，则，由勾股定理可得，从而得到．再证得∽，即可求解．

(1)解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，

∴，

由折叠性质得：，

∴，

∴．

∵，

∴∽．

∴．

(2)解：过点E作交AD于H，

∵，

∴．

∵由折叠性质得，∠DPE=∠A=90°，

∴，

∴．

设，则，

∵E是AB的中点，

∴，

∵AE2+AH2=EH2，

∴，

解得：，即，

∴．

∵，

∴∠HEP=90°，

∴∠AEH+∠BEF=90°，

∵∠A=∠B=90°，

∴∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠AHE=∠BEF，

∴∽，

∴，即，

解得，

∴BF的长为．

【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．

26．(1)DE，AE；(2)AC．证明见详解．

【分析】

（1）根据，得出AC=DE，BC=AE即可；

（2）过D作DE⊥直线l于E，先证△MCA≌△AGN（AAS），得出AC=NG，由（1）知，得出AC=DE，再证△NGP≌△DEP（AAS）即可．

(1)解：∵，

∴AC=DE，BC=AE，

故答案为DE，AE；

(2)证明：过D作DE⊥直线l于E，

∵，

∴∠CAM+∠NAG=90°，

∵BM⊥l，

∴∠MCA=90°，

∴∠M+∠CAM=90°，

∴∠M=∠NAG，

∵，

∴∠AGN=90°，

在△MCA和△AGN中，

，

∴△MCA≌△AGN（AAS），

∴AC=NG，

由（1）知，

∴AC=DE，

∴NG=DE，

在△NGP和△DEP中，

，

∴△NGP≌△DEP（AAS）

∴NP=DP，

故答案为AC．

【点拨】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．