专题28.16 锐角三角函数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题28.16 锐角三角函数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知，且是锐角，则（    ）A． B． C． D．2．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝（    ）A． B． C． D．3．在△ABC中，，若，则（      ）A． B． C． D．4．如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于A，B两点，则sin∠OAB的值为（　　）A． B． C． D．﹣5．如图是一段索道的示意图．若米，，则缆车从A点到B点上升的高度BC的长为（    ）A．米 B．米 C．米 D．米6．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（　　）A． B． C． D．7．中，，则是（    ）A．等腰但不等边三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（    ）A．2 B．1 C． D．9．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（    ）A． B． C． D．10．已知△ABC 中， ∠C=90°，tanA= ，D 是 AC 上一点， ∠CBD=∠A， 则 cos∠CDB的值为（    ）A． B． C． D．2二、填空题11．计算：=________．12．已知是方程的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为 _____．14．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．15．如图，矩形ABCD的边长，如果矩形ABCD以B为中心，按顺时针方向旋转到的位置（点落在对角线BD上），则△的形状为________．16．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．17．在Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3．如图①，四边形DEFG为Rt△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为________；如图②，若Rt△ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt△ABC，则正方形的边长为________．18．如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是____________.三、解答题19．计算：（1）；（2）；（3）；20．已知：如图，在中，． 作的垂直平分线交于点；交于点(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)； 连接，若，求的周长．21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：（1）线段的长；（2）的值． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图像与函数（x＞0）的图像相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3(1) 求k和b的值；(2) 若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数（x＞0）的图像上，并说明理由．23．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．(1) 求，两点的高度差；(2) 求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1) 填空：___________度，___________度；(2) 求楼的高度（结果保留根号）；(3) 求此时无人机距离地面的高度．参考答案1．D【分析】由可得，然后再根据特殊角的三角函数值求角度即可．解：∵∴∴=．故选D．【点拨】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值求角度、一元一次方程等知识点，将整体当做未知数成为解答本题的关键．2．A【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标，得到OB=1，AB=2，根据正切的定义计算选择即可．解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标(1，2)，∴OB=1，AB=2，∴ tan∠1＝，故选A．【点拨】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．3．C【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值．解：在△ABC中，，∵，∴设BC=x，AC=2x，，，故选：C．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．4．B【分析】分别令x=0，y=0，由直线解析式可求解A、B的坐标，即可得OB、OA的长，再利用勾股定理可求解AB的长，再根据正弦的定义可求解．解：直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝0﹣3＝﹣3，令y＝0，x﹣3＝0，解得x＝4，∴A（4，0），B（0，﹣3），∴OB＝3，0A＝4，∴AB＝，∴sin∠OAB＝，故选：B．【点拨】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的定义，求解A、B两点坐标是解题的关键．5．A【分析】在中，，斜边AB是已知边，是已知角，而要求的是的对边BC的长，所以选择的正弦，即可求出结果．解：如图，在中，，，∴，∴，∵米，∴米．故选：A．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．6．B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，∴∠BCF+∠BFC＝90°，根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，∴∠AFE+∠BFC＝90°，∴∠AFE＝∠BCF，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理得：BF＝＝＝6，则tan∠BCF＝＝，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．7．B【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得：，再根据特殊角的锐角函数值可知 ，即可求解．解：，，， ，则可得： ，解得： ，在中， ， 为等边三角形．故选：B．【点拨】本题考查了非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性，由三角函数值求锐角的度数，三角形内角和以及等边三角形的判定；掌握非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性是解题的关键．8．D【分析】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W．解直角三角形求出BJ，KH，可得结论．解：如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W，∵∠C=90°，AB=2BC，∴，∴∠A=30°，∠ABC=60°，由作图可知，BJ平分∠ABC，KJ垂直平分线段AC，∴∠KBJ=∠CBJ=∠ABC=30°，AW=WC，∵WK∥BC，∴AK=KB=2，∠KJB=∠CBJ=30°，∴HK=KB=1，BH=KH=，∵∠KBJ=∠KJB=30°，∴KB=KJ，∵KH⊥BJ，∴HB=HJ=2，∴S△KBJ=×2×1=，故选：D．【点拨】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9．A【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得．解：过点作于点，过点作于点，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，即，，，故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．10．B【分析】由已知条件，可得，设，由题意可得，即可算出，在中，根据勾股定理可得，由余弦定义进行计算即可得出答案．解：，，设，，，在中，，．故选：B【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．11．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、正切值的平方，再按照运算顺序计算就可以了．解：故答案为： ．【点拨】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、特殊角的正切值、二次根式的性质和实数的混合运算等知识．正确的计算是解决本题的关键．12．【分析】将代入方程，得出的值，从而得出的度数，进而的解．解：∵是方程的一个根，∴，解得：，∴，∴．故答案为：．【点拨】考查三角函数值与一元二次方程根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的意义以及特殊角三角函数值是解本题的关键．13．【分析】过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用锐角三角函数的定义可设DM＝a，则CM＝2a，然后证明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，从而利用相似三角形的性质可得＝＝＝2，进而可得AC＝2a，CB＝a，最后进行计算即可解答．解：过点D作DM⊥CM，交CB的延长线于点M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝，∴tan∠DCM＝＝，设DM＝a，则CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴＝＝＝2，∴AC＝2DM＝2a，∴，∴＝＝，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．##【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：，，在中，，∴，∴，故答案为：【点拨】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．15．等边三角形【分析】根据特殊角三角函数值求出∠CDB的度数，然后根据旋转的性质和等边三角形的判定即可解决问题．解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝1，BC＝AD＝，∠DCB＝90°，∴tan∠CDB＝，即∠CDB＝60°；由旋转的性质可知：BD＝，∴△为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查了矩形的性质，特殊角三角函数值，旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是抓住旋转过程中的不变量，灵活运用有关性质来解题．16．【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到，所以，，再利用折叠与平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=，然后可利用三角函数求出点C′的坐标．解：∵点B坐标为(，2)，∴AB=2，OA=，∴∴∴，∵C′是C关于DE的对称点∴， EC=EC′∵DE∥OB∴=60°∴∠OE C′=180°-2×60°=60°∴△OE C′是等边三角形∴OE= EC=EC′==∴C′横坐标=，纵坐标=∴C′坐标为【点拨】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．17．          【分析】在图①中先解直角三角形ABC得到，，，再分别解直角三角形ADG和直角三角形BEF得到，，再由进行求解即可；对于图②同图①求解即可．解：如图①所示，∵在Rt△ABC中∠C=90°，AC=4，BC=3，∴，，，∵四边形DEFG是Rt△ABC的内接正方形，∴DG=DE=EF，∠GDE=∠DEF=90°，∴∠ADG=∠BEF=90°，在Rt△ADG中，，在Rt△BEF中，，∴，∴；如图③所示，同理可得，，，∴，∴，故答案为：；．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，正确求出，是解题的关键．18．【分析】如图，设直线与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得，，然后求出，，，…，进而可得，再求出即可．解：如图，设直线与x轴交于点C，在中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，即，解得：，∴A（0，2），C（，0），∴OA＝2，OC＝，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝30°，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴AC＝，∵AO⊥，∴，∴，同理可得：，，…，∴，∴，∴点的横坐标是，故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．19．（1）；（2） ；（3）【分析】(1) 先进行绝对值、三角函数、零指数幂计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先进行负整数指数幂、零指数幂、三角函数计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（3）先进行三角函数、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；解：（1）原式===；（2）原式=0.125×（-8）+1+=；（3）原式===2.【点拨】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．20．见分析；【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=AE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出AC的长，即可得解．解：AB的垂直平分线DE如图所示；垂直平分，，的周长．在中，，的周长为．【点拨】本题考查了复杂作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）利用直角三角形中求解 再利用勾股定理求解 从而可得答案；（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 可得 再求解从而可得答案.解：（1） 是边上的高，，， ， （2） 为边的中点， 【点拨】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.22．(1)b=5，k=6(2)不在，理由见详解【分析】（1）把点B的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；（2）由（1）及题意易得点C的坐标，然后根据旋转的性质可知点C′的坐标，则根据等积法可得点A′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A′的横坐标，最后问题可求解．（1）解：由题意得：，∴b=5，k=6；（2）解：点A′不在反比例函数图像上，理由如下：过点A′作A′E⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图，由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，∴点，∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，且它们都以OA为底，∴△OAC与△OAB的面积比即为点C纵坐标与点B纵坐标之比，∴点C的纵坐标为，∴点C的横坐标为，∴点C坐标为，∴CF=4，OF=1，  ∴，，由旋转的性质可得：，根据等积法可得：，∴，∴，∴，∴点A′不在反比例函数图像上．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．23．(1)9m(2)24m【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，，．．答：，两点的高度差为．（2）过点作于，由题意可得，，设，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民楼的高度约为．【点拨】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．24．(1)75；60(2)米(3)110米【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；（3）作于点G，交于点F，证明即可．解：（1）过点A作于点E，由题意得：∴（2）由题意得：米，．在中，，∴，∴∴楼的高度为米．（3）作于点G，交于点F，则∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴（AAS）．∴．∴∴无人机距离地面的高度为110米．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．