北京市西城区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷（word版，含答案）

北京市西城区2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷

数 学

2023.1

本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

 （A）  （B） 

 （C）  （D）

（2）已知命题，，则为

（A）, （B）,

（C）, （D）,

（3）如图，在平行四边形中，

（A） （B）

（C） （D）

（4）若，则下列不等式一定成立的是

（A） （B） （C） （D）

（5）不等式的解集为

（A） （B）

（C） （D）

（6）正方形的边长为1，则

（A）1       （B）3      （C） （D）

（7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为

（A） （B） （C） （D）

（8）设，则

（A）8  （B）11 

（C）12  （D）18

（9）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失. 在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素. 在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：

（是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是

（参考数据：）

 （A） （B）

 （C） （D）

第二部分（非选择题共110 分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数的定义域是_____.

（12）某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是_____.

（13）写出一个同时满足下列两个条件的函数_____.

①对，有；

②当时，恒成立.

（14）已知函数若，则的解集为_____；

若，，则的取值范围为_____.

（15）函数的定义域为R，且，都有，给出下列四个结论：

①或；

②一定不是偶函数；

③若，且在上单调递增，则在上单调递增；

④若有最大值，则一定有最小值.

其中，所有正确结论的序号是_____.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

某射手打靶命中环､环的概率分别为.如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响.

（Ⅰ）求该射手两次共命中环的概率；

（Ⅱ）求该射手两次共命中不少于环的概率.

（17）（本小题15分）

已知函数

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明函数在上是减函数；

（Ⅲ）写出函数在上的单调性（结论不要求证明）.

（18）（本小题14分）

甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示.

（Ⅰ）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；

（Ⅱ）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；

（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

函数，其中. 

（Ⅰ）若，求的零点；

（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围.

（20）（本小题13分）

某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润（单位：元）与时间（，，单位：天）之间的函数关系式为，且日销售量(单位：箱)与时间之间的函数关系式为.

（Ⅰ）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？

（Ⅱ）在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间的增大而增大，求的取值范围.

（21）（本小题15分）

设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”.

性质1：对任意，有；

性质2：对任意，有.

（Ⅰ）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；

①；②；

（Ⅱ）若是函数的“区间”，求的取值范围；

（Ⅲ）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有. 求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C

6. D 7. A 8. D 9. B 10. A

二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.

 11.      12. 60

13. （答案不唯一，对数函数的底数即可）

 14. ， 

 15. ①③

注：第14题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.

三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

16．（本小题13分）

解：记事件：某射手第次打靶，命中9环，：某射手第次打靶，命中10环，

其中，则，.

（Ⅰ）因为相互独立，所以

.

即连续打靶两次，命中20环的概率为0.04.

（Ⅱ）连续打靶两次，命中不少于19环，可能第一次命中9环，第二次命中10环，

可能第一次命中10环，第二次命中9环，还可能两次都命中10环，

即.

因为与，与，与相互独立，且，，互斥，因此

.

即连续打靶两次，命中不少于19环的概率为0.14.

17．（本小题15分）

解：（Ⅰ）因为函数的定义域为，所以时，.

又因为，所以函数是奇函数.

（Ⅱ）任取，且，则

.

因为，所以，，

所以，即.

根据函数单调性定义，在上是减函数.

（Ⅲ）在上是减函数.

18．（本小题14分）

解：（Ⅰ）乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为

（Ⅱ）甲的视力值比乙高0.05以上的年份有：2017年、2019年、2021年、2022年.

从2017年到2022年这6年中随机选取2年，所有可能的结果有种，它们是：

用表示“这两年甲的视力值都比乙高0.05以上”这一事件，则中的结果有6个，它们是：

所以，所求得概率.

（Ⅲ）甲和乙的视力平均值从年开始连续三年的方差最小．

19．（本小题15分）

解：（Ⅰ）当时，，令，解得，

所以函数零点为.

（Ⅱ）由已知，

当时，有两个零点，

，，所以，，

所以

.

当且仅当，即时，等号成立，

所以.

20．（本小题13分）

解：（Ⅰ）设第日的销售利润为，则

.

当时，.

所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.

（Ⅱ）设捐赠之后第日的销售利润为，则

.

依题意，应满足以下条件：

①；

②，即；

③对于均成立，即.

综上，且.

21．（本小题15分）

解：（Ⅰ）①是，②不是.

（Ⅱ）记，，注意到，

因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，

即.

.

当时，在上单调递增，且，

所以不包含于，不合题意；

当时，，合题意；

当时，，所以，不合题意.

综上，.

（Ⅲ）对于任意区间，记，

依题意，在上单调递减，则.

因为，所以，

即的长度大于的长度，故不满足性质①.

因此，如果为的“区间”，只能满足性质②，即，

即只需存在使得，或存在使得.

因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“区间”.

记，先证明函数有唯一零点：

因为在上单调递减，所以在上单调递减.

若，则为的唯一零点；

若，则，即，，

由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；

若，则，即，，

由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；

综上，函数有唯一零点，即，

已证的所有“区间”都满足条件②，所以.