数学九年级下册29.1 投影学案

专题29.1 投影与视图（全章复习与巩固）（知识讲解）

【知识点一】投影

在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。

太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。

①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

【知识点二】视图

三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。

主视图：基本可认为从物体正面视得的图象

俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象

左视图：基本可认为从物体左面视得的图象

视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。

在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。

【典型例题】

类型一、平行投影

1．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？

【答案】m

【分析】利用同一时刻不同物体的物高与影长的比相等，求出影长为2.4m的树高，再加上墙上的影高即为所求．

解：设影长为2.4m的树高为m：

由题意得：，

解得：，

∴树高为：m．

【点拨】本题考查利用物高和影长比求物高．熟练掌握同一时刻，不同物体的物高与影长的比值相等是解题的关键．

举一反三：

【变式】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．

【答案】旗杆的高AB为3米．

【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．

解：∵AD∥EG，

∴∠ADO=∠EGF．

又∵∠AOD=∠EFG=90°，

∴△AOD∽△EFG．

∴．

∴．

同理，△BOC∽△AOD．

∴．

∴．

∴AB=OA−OB=3（米）．

∴旗杆的高AB为3米．

【点拨】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．

类型二、中心投影

2．小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．

(1)求：两个路灯之间的距离；

(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．

【答案】(1)两路灯之间的距离为米(2)两影长之和为定值，定值为米

【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；

（2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．

（1）解：由题意得，

∵，

∴∽，

则

解得：，

，

故两路灯之间的距离为米；

（2）解：两影长之和为定值，定值为米．

理由：如图，设米．

∵，

∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，

∴，，

则，，

∵

∴，

，

解得，

两影长之和为定值，定值为米．

【点拨】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．

举一反三：

【变式】如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高，身高的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米，

(1)画出红英MN在地面的影子NF；

(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．

【答案】(1)见分析(2)9米

【分析】（1）根据相似即可画出影子NF；

（2）如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可．

（1）解：如图所示：

（2）解：设，    

∵， ，

∴   

∴解得，

经检验是分式方程的解，

∴，

答：灯AB的高度为米．

【点拨】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．

类型三、正投影

3．把下列物体与它们的投影用线连接起来．

【答案】见分析

【分析】根据正投影的定义解答即可．

解：如图：

【点拨】本题主要考查了正投影，理解投影的定义成为解答本题的关键．

举一反三：

【变式】画出下面物体(正三棱柱)的正投影：

(1)  投影线由物体前方射到后方；

(2)  投影线由物体左方射到右方；

(3)  投影线由物体上方射到下方．

 【分析】（1）投影线由物体前方射到后方是一个等腰三角形；

（2）投影线由物体左方射到右方是一个长方形；

（3）投影线由物体上方射到下方是一个中间有一条竖线的长方形.

解：

类型四、视点、视觉和盲区

4．如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：

(1)  画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；

(2)  当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？

【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变．

【分析】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可；

（2）根据△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．

解：(1)形成的盲区为梯形AEFB，

∵AB∥EF，

∴△PAB∽△PEF，

∴＝，

∴EF＝9，

∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2；

(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化，

∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变．

所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．

【点拨】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN的长不变，进而得出梯形CMND的面积不变是解题关键．

举一反三：

【变式】如图，是一座商厦的俯视图，AB是正面，一位顾客由远及近走近商厦的过程中，他看到的商厦的侧面个数与区域的范围的情况是怎样的？请在图中画图说明．

 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，画出图形可解决．

解：由图可知，在1区域时看到3个侧面，在2区域时只能看到一个侧面，因此看到的侧面由三个面到一个面．

【点拨】此题主要考查视点，视角和盲区．

类型五、三视图的作图

5．（1）如图是由10个同样大小且棱长为1的小正方体搭成的简单几何体，请分别画出它的主视图和左视图（请涂上阴影）．

（2）如果将（1）中几何体的表面（不含几何体之间叠合部分及与地面接触的底面）喷上油漆，则需喷漆部分的面积是 　　．

【答案】（1）见分析；（2）30

【分析】（1）根据主视图、左视图的定义画出图形即可；

（2）数一数有多少个正方形露在外面即可求得面积．

解：（1）如图所示：

（2）若将图中几何体的表面（不含几何体之间叠合部分及与地面接触的底面）喷上油漆，

则需要喷6×2+6×2+6=30个小正方形，面积为30，

故需喷漆部分的面积为30．

故答案为：30．

【点拨】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．

举一反三：

【变式】如图所示是由若干个相同的小正方体组成的几何体．

(1)该几何体由______个小正方体组成；

(2)在虚线网格中画出该几何体的三视图．

【答案】(1)8(2)见分析

【分析】（1）根据几何体的特征判断即可；

（2）根据三视图的定义画出图形即可．

解：（1）这个几何体有8个小正方形组成．

故答案为：8；

（2）三视图如图所示．

【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．

类型六、与三视图的有关计算

6．如图为一几何体从正面和从上面看到的形状图：

(1)  这个几何体的名称为　     　；

(2)  画出它的一种表面展开图；

(3)  若从正面看到的是长为10cm，宽为6cm的长方形；从上面看到的是三条边长度均为6cm的三角形（如图示），求这个几何体的侧面积和所有棱长的和．

【答案】(1)三棱柱(2)见分析(3)侧面积为180cm2，棱长之和为66cm

【分析】（1）根据主视图和俯视图可得答案；

（2）根据题意，画出三棱柱的表面展开图，即可求解；

（3）根据主视图和俯视图的尺寸列出算式（6+6+6）×10，再进一步计算即可．

（1）解：根据题意得：这个几何体的名称为三棱柱，

故答案为：三棱柱；

（2）解：如图，

（3）解：这个几何体的侧面积为（6+6+6）×10＝180cm2，

所有棱长的和为6×3×2+10×3＝66cm．

【点拨】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图和俯视图判断几何体的大概形状及相关棱长的长度．

举一反三：

【变式】棱长为2厘米的小正方体组成如图所示的几何体，该几何体共由11个小正方体组成．

(1)  画出该几何体的从三个方向看的形状图．

(2)  求该几何体的表面积．

【答案】(1)见分析(2)该几何体的表面积为160平方厘米

【分析】（1）从正面看有4列，每列小正方形数目分别为3，3，1，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1；从上面看有4列，每列小正方形数目分别为2，2，1，1；（2）前后两面小正方形的个数为：2×（3＋3＋1+2）；上下两面小正方形的个数为：2×（2＋2＋1+1）；左右两面正方形的个数为：2×（3＋1）+2，然后算出表面积即可．

（1）解：该几何体的从三个方向看的形状图，如图所示：

（2）解：棱长为2厘米的小正方体一个面的面积为（平方厘米），

该几何体的表面积为：

（平方厘米）

答：该几何体的表面积为160平方厘米．

【点拨】本题主要考查了从不同方向看几何体的画法，表面积的计算；注意表面积指组成几何体的外表面积．

类型七、三视图中的最值和至少问题

7．【问题情境】

小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．

【操作探究】

(1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______________（填序号）．

(2)小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．

①请计算出这个几何体的体积；

②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_______________个正方体纸盒．

【答案】(1)①③④(2)①；   ②3

【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可；

（2）①先根据图象得出无盖正方体纸盒的个数，再用一个无盖正方体纸盒的体积乘以个数即可得到答案；②先得出左视图和俯视图，再根据三视图的性质作答即可．

（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，

故答案为：①③④．

（2）①解：由图象可知共有6个无盖正方体纸盒，

由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为，

故这个几何体的体积为；

②解：由图得左视图和俯视图分别为：

故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒：

共3个，

故答案为：3．

【点拨】本题考查了正方体的折叠问题及简单图形的三视图，能够根据图形进行抽象概括是解题的关键．

举一反三：

【变式】用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：

(1)a＝　   　，b＝　   　，c＝　   ；

(2)这个几何体最少由 　   　个小立方体搭成，最多由 　   　个小立方体搭成．

(3)当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图．

【答案】(1) a=3，，  (2) 9，11(3)作图见分析

【分析】（1）根据主视图结合俯视图直接解答即可；

（2）由主视图得b，e，f中有一个等于2时，小立方体个数最少，当b=e=f=2时，小立方体个数最多；

（3）根据三视图的要求画图即可．

（1）解：根据主视图可知第三列的高度为3，故a=3，第二列的高度为1，故b=c=1，

故答案为：3，1，1；

（2）由主视图得b，e，f中有一个等于2时，小立方体个数最少，最少=1+1+2+1+1+3=9；

当b=e=f=2时，小立方体个数最多，最多=2+2+2+1+1+3=11；

故答案为：9，11；

（3）左视图如图：

【点拨】此题考查了小立方体组成的几何图形，掌握由三视图确定小立方体的个数，会画几何图形的三视图，正确掌握由三视图确定几何图形是解题的关键．