2023版高考物理步步高大二轮复习讲义第一篇 专题五 第12讲　机械振动和机械波【解析版】

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第12讲 机械振动和机械波
命题规律 1.命题角度：(1)机械振动；(2)机械波；(3)振动图像和波的图像综合应用.2.常用方法：公式法、图像法.3.常考题型：选择题．
考点一 机械振动
1．简谐运动的规律
2．单摆
(1)单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
①摆球只受重力和细线拉力，且悬点静止或做匀速直线运动，g为当地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同．
②单摆处于超重或失重状态时等效重力加速度g0＝g±a.在近地轨道上运动的卫星加速度a＝g，为完全失重，等效重力加速度g0＝0.
(2)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反．(如图所示)
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ.
②当摆球在最低点时，F向＝eq \f(mvmax2,l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(vmax2,l).
例1 (多选)(2022·湖南卷·16(1)改编)下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图(a)所示．以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图(b)所示．已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g.下列说法正确的是( )
A．x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35 m和x＝0.45 m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为eq \f(F1－F2,2ρSg)
答案 ABD
解析 由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置，则x从0.05 m到0.15 m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确；x从0.21 m到0.25 m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动(未到平衡位置)，加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，B正确；x＝0.35 m和x＝0.45 m时，由图像的对称性知浮力大小相等，说明木棒在同一竖直高度，竖直方向速度大小相等，方向相反，而这两时刻木棒水平方向速度相同，所以合速度大小相等，方向不是相反，C错误；木棒底端处于水面下最大位移时，F1＝ρgSh1，木棒底端处于水面下最小位移时，F2＝ρgSh2，木棒在竖直方向做简谐运动的振幅A＝eq \f(h1－h2,2)＝eq \f(F1－F2,2ρSg)，D正确．
例2 (2022·山东潍坊市期末)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝eq \f(1,2)kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅．若小球质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m.起振时系统具有势能为0.06 J和动能为0.02 J，则下列说法正确的是( )
A．该振动的振幅为0.16 m
B．小球经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C．小球的最大加速度为8 m/s2
D．若小球在位移最大处时，质量突变为0.15 kg，则振幅变大
答案 C
解析 弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有eq \f(1,2)kA2＝0.06 J＋0.02 J＝0.08 J，所以该振动的振幅为A＝0.08 m，故A错误；小球经过平衡位置时，动能为eq \f(1,2)mv2＝0.08 J，所以速度为v＝0.8 m/s，故B错误；由牛顿第二定律可知小球的最大加速度为a＝eq \f(kA,m)＝8 m/s2，故C正确；小球在位移最大处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为0.15 kg，不影响系统的机械能，所以振幅不变，故D错误．
例3 (多选)(2022·广东广州市天河区测试)如图所示，用绝缘细线悬挂的单摆，摆球带正电，悬挂于O点，摆长为l，当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场，磁场方向垂直于单摆摆动的平面向里，A、B点分别是最大位移处．下列说法中正确的是( )
A．A点和B点处于同一水平面
B．A点高于B点
C．摆球在A点和B点处线上的拉力大小不相等
D．单摆的振动周期仍为T＝2πeq \r(\f(l,g))
答案 AD
解析 带电小球在磁场中的运动过程中洛伦兹力不做功，所以在整个过程中小球的机械能守恒，所以A点和B点处于同一水平面，则A正确，B错误；小球在A、B点的速度均为0，向心力均为0，细线的拉力大小都等于重力沿细线方向的分力，所以摆球在A点和B点处线上的拉力大小相等，则C错误；由于洛伦兹力始终沿绳的方向，洛伦兹力不做功，不改变小球的动能，不改变小球的速度，也不提供回复力，所以单摆的振动周期与没有磁场时一样，为T＝2πeq \r(\f(l,g))，所以D正确．
考点二 机械波
例4 (多选)(2022·四川巴中市一诊)周末，鹏程和小李到清江观光园去秋游，他俩发现公园内湖面上有只游船，游客周期性摇动双桨激起的水波源源不断地传向湖边，他俩用手机上的秒表记录了水面上漂浮的树叶在12秒内共完成了6次全振动，他们又用该手机上“实用工具”中的“AR测量”测出树叶与他们所在湖边距离是5米，树叶的振动状态传到湖边的时间是10 s．鹏程10 s内拍击水面10次让手激起的振动向周围传播，他们最后讨论得到的正确结论是( )
A．游客摇桨激起的水波波长是1 m
B．鹏程用手激起的水波和桨激起的水波叠加能产生干涉图样
C．他们观察到桨激起的水波波长比手激起的水波波长长
D．鹏程用手激起的水波向远方传播的过程中，各质点的振幅不改变
答案 AC
解析 树叶在12秒内共完成了6次全振动，所以振动周期为T＝eq \f(12,6) s＝2 s，树叶与他们所在湖边距离是5米，树叶的振动状态传到湖边的时间是10 s，所以传播速度为v＝eq \f(x,t)＝eq \f(5,10) m/s＝0.5 m/s，故水波波长为λ＝vT＝0.5×2 m＝1 m，故A正确；桨激起的水波的频率为f＝eq \f(1,T)＝0.5 Hz，鹏程用手激起的水波的频率为f′＝eq \f(10,10) Hz＝1 Hz，两列波的频率不相等，所以鹏程用手激起的水波和桨激起的水波叠加不能产生干涉图样，故B错误；波速由介质决定，所以波速不变，由波长λ＝eq \f(v,f)可知，桨激起的水波波长比手激起的水波波长长，故C正确；由于水波不是简谐波，所以用手激起的水波向远方传播的过程中，各质点的振幅要改变，故D错误．
例5 (2022·山东泰安市期末)如图，x＝12 m处有一质点做简谐运动，其运动方程为y＝3eq \r(2)sin (eq \f(π,2)t) cm.某时刻在介质中形成波形如图所示，振动刚好传播到x＝4 m处．则从该时刻起，x＝0处质点第一次到达y＝－3 cm处需要的时间为( )
A．2.5 s B．4.5 s C．3 s D．5 s
答案 B
解析 由运动方程可得周期为T＝eq \f(2π,ω)＝4 s，故波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,4) m/s＝2 m/s，由题意知振动刚好传播到x＝4 m处，所以波向左传播，由上下坡法可知，x＝4 m处的质点起振方向向上，所以波从x＝4 m处传播到原点处需要时间为t1＝eq \f(Δx,v)＝eq \f(4,2) s＝2 s，又在原点处质点开始向上振动，在波传播过程中，所有质点的运动情况相同，则可得在x＝0处质点从开始振动到第一次到达y＝－3 cm处需要的时间为t2，满足－3 cm＝3eq \r(2)sin(eq \f(π,2)t2) cm，解得t2＝2.5 s，故从该时刻起，x＝0处质点第一次到达y＝－3 cm处需要的时间为t＝t1＋t2＝4.5 s，故选B.
例6 (多选)(2022·浙江6月选考·16)位于x＝0.25 m的波源P从t＝0时刻开始振动，形成的简谐横波沿x轴正负方向传播，在t＝2.0 s时波源停止振动，t＝2.1 s时的部分波形如图所示，其中质点a的平衡位置xa＝1.75 m，质点b的平衡位置xb＝－0.5 m．下列说法正确的是( )
A．沿x轴正负方向传播的波发生干涉
B．t＝0.42 s时，波源的位移为正
C．t＝2.25 s时，质点a沿y轴负方向振动
D．在0到2 s内，质点b运动总路程是2.55 m
答案 BD
解析 波沿x轴正负方向传播，向相反方向传播的波不会相遇，不会发生干涉，故A错误；由题图可知，波的波长λ＝1 m，由题意可知0.1 s内波传播四分之一波长，可得eq \f(T,4)＝0.1 s，解得T＝0.4 s，波源振动了2 s，即波传播了5个周期，故波源的起振方向与t＝2.1 s时、x＝
1.5 m处质点的振动方向相同，则波源的振动方向向上，在t＝0.42 s，即T0.25 s，即质点a还在继续振动，从t＝2.1 s到t＝2.25 s，经过时间为t2＝0.15 s，即eq \f(T,4)考点三 振动图像和波的图像的综合应用
巧解振动图像与波的图像综合问题的基本方法
例7 (多选)(2022·福建龙岩市第一次教学质量检测)图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，此时质点P的位置横坐标为x＝1 m，质点Q的位置横坐标为x＝4 m．图乙为质点Q的振动图像．则下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴正方向传播
B．该波的传播速度是40 m/s
C．从t＝0.10 s到t＝0.20 s内，质点P沿x轴方向运动4 m
D．t＝0.10 s时，沿x轴正方向与P相距10 m处的质点与P点振动方向相反
答案 BD
解析 在t＝0.10 s时，由题图乙知质点Q正向下运动，根据“上下坡法”可知，该波沿x轴负方向传播，故A错误；由题图甲知波长λ＝8 m，由题图乙知该波的周期是T＝0.20 s，则波速为v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,0.20) m/s＝40 m/s，故B正确；质点P沿垂直波的传播方向振动，因此P不沿x轴运动，故C错误；因为λ＝8 m，所以在t＝0.10 s时，沿x轴正方向与P相距10 m处的质点的振动情况与沿x轴正方向与P相距2 m处的质点振动情况相同，由题意可知在P右边与P相距2 m处的质点与P点振动方向相反，故D正确．
例8 (多选)(2022·浙江省名校协作体模拟)如图甲所示，在同一介质中，波源为S1与S2频率相同的两列机械波在t＝0时刻同时起振，波源为S1的机械波振动图像如图乙所示；波源为S2的机械波在t＝0.25 s时波的图像如图丙所示．P为介质中的一点，P点距离波源S1与S2的距离分别是PS1＝7 m，PS2＝9 m，则( )
A．质点P的位移不可能为0
B．t＝1.25 s时，质点P处于波谷
C．质点P的起振方向沿y轴正方向
D．波源为S2的机械波的起振方向沿y轴负方向
答案 BC
解析 结合波源S2在t＝0.25 s时波的图像即题图丙可知，此时刚开始振动的质点的起振方向沿y轴正方向，质点与波源的起振方向相同，因此波源为S2的机械波的起振方向沿y轴正方向，D错误；根据波源S1的振动图像即题图乙可知，波源S1的起振方向沿y轴正方向，同一介质中波速相同，又因为PS11．(多选)(2022·安徽省一模)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时刻的波形图，已知波的周期T>0.6 s，下列说法正确的是( )
A．该波的波速可能为10 m/s
B．该波的波速可能为eq \f(20,3) m/s
C．t＝0.6 s内，Q点的路程可能为9 m
D．t＝0.6 s内，Q点的路程可能为2 m
答案 AD
解析 由题图知波长为8 m，由于波的周期T>0.6 s，若波沿x轴向右传播，有eq \f(1,4)T＝0.6 s，则T＝2.4 s，由题图知波长为8 m，根据公式可得v＝eq \f(10,3) m/s；若波沿x轴向左传播，有eq \f(3,4)T＝
0.6 s，故T＝0.8 s，则v＝10 m/s，B错误，A正确；t＝0时，Q点位移为yQ＝－eq \r(2)sin eq \f(π,4) (m)＝－1 m，t＝0.6 s时，Q点的位移为yQ′＝－eq \r(2)cs eq \f(5π,4) (m)＝1 m，若波沿x轴向右传播，则Q点的路程为2 m，若波沿x轴向左传播，Q点的路程为(eq \r(2)－1)×2 m＋eq \r(2)×2 m＝(4eq \r(2)－2) m，C错误，D正确．
2．(多选)(2022·浙江省十校联盟第二次联考)在同种均匀介质中，x＝0处的波源完成半个周期振动产生沿x轴正方向传播的简谐横波，间隔Δt时间后又产生一列简谐横波．以波源第一次从平衡位置开始振动为计时零点，t＝3 s时首次出现如图所示波形．则( )
A．波源两次振动的间隔时间Δt＝1 s
B．波源前后两次振动的周期相同
C．t＝4 s时，x＝6 m和x＝21 m两质点的位移大小相等
D．从t＝2 s至t＝4.5 s的时间内，x＝12 m处的质点经过的路程为30 cm
答案 ACD
解析 由题图可知，在t＝3 s时，第一列波传播到x1＝18 m处，则波的传播速度为v＝eq \f(x1,t)＝
6 m/s，第二列波传播到x2＝6 m处，传播时间为t2＝eq \f(x2,v)＝1 s，第一列波的振动时间为t3＝eq \f(\f(λ,2),v)＝1 s，则波源两次振动的间隔时间为Δt＝t－t2－t3＝1 s，故A正确；由题图可知，两次振动形成的两列波的波长不同，由同种介质中波的传播速度相等以及v＝eq \f(λ,T)，可知波源前后两次振动的周期不同，故B错误；两列波在第4 s内传播的距离Δx＝vΔt＝6 m，则根据题图可知，第一列波x＝15 m处的位移－10 cm传至x＝21 m处，第二列波x＝0处的位移10 cm传至x＝
6 m处，则t＝4 s时，x＝6 m和x＝21 m两质点的位移大小相等，故C正确；从t＝2 s至t＝4.5 s的时间内，第一列波引起x＝12 m处的质点经历半个周期的振动，经过的路程为s1＝20 cm，第二列波引起x＝12 m处的质点经过的路程为s2＝10 cm，则从t＝2 s至t＝4.5 s的时间内x＝12 m处的质点经过的路程为s＝s1＋s2＝30 cm，故D正确．
专题强化练
[保分基础练]
1．(多选)(2022·浙江台州市二模)如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向上振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动频率约为0.5 Hz.现使圆盘由静止开始缓慢加速转动，直至以1 s的周期匀速转动稳定下来，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．圆盘静止和转动时，小球都是做受迫振动
B．最终稳定时小球的振动频率为1 Hz
C．小球的振幅先逐渐增大后又逐渐减小
D．圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱的运动可视为简谐运动
答案 BC
解析 振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，圆盘静止时无周期性驱动力作用，不是受迫振动，A错误；小球稳定振动时的频率为f′＝eq \f(1,T′)＝1 Hz，B正确；圆盘转速由零逐渐增大，转动的频率逐渐接近小球振动的固有频率，振幅增大，与固有频率相同时振幅最大，超过固有频率，转速继续增大，振幅减小，故小球的振幅先增大后减小，C正确；圆盘缓慢加速转动时，以T型支架为参考系，小圆柱运动到T型支架的中间位置时是非平衡状态，有加速度，不满足简谐运动的条件，D错误．
2．(2020·北京卷·6)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示．由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
答案 B
解析 由题图乙知，开始计时时刻，即0时刻质点L向上振动，再结合题图甲，可知该横波沿x轴正方向传播，故A错误；由该横波沿x轴正方向传播，从题图甲可看出，质点N该时刻向y轴负方向运动，故B正确；横波传播时，质点不随波迁移，故C错误；该时刻质点K与M的速度为零，加速度大小相等，但方向相反，故D错误．
3．(2022·山东德州市高三期末)如图甲所示，悬挂在天花板上的轻弹簧下端连着物体M，M和物体N又通过轻绳相连，M、N两物体的质量相等，并且都处于静止状态．t＝0时刻轻绳断裂，不计空气阻力，之后M偏离平衡位置的位移x随时间t变化的关系如图乙所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻M的回复力最大
B．t1时刻弹簧的形变量为0
C．t2时刻弹簧的弹性势能最大
D．t4时刻M的加速度与重力加速度大小相等，方向相反
答案 D
解析 由x－t图像可知，t1时刻M处于平衡位置，此时回复力为零，故A错误；t1时刻M处于平衡位置，即物体M能自由静止的位置，此时弹簧处于伸长状态，故B错误；因为 t2时刻弹簧处于负向最大位移处，且根据对称性，此时的加速度与正向最大位移处的加速度大小相等，由题意可知，开始时物体加速度满足F－mg＝ma，而M、N两个物体等质量，故F＝2mg，所以解得a＝g，方向竖直向上，故在负向最大位移处加速度也为g，且方向竖直向下，故此时满足F′＋mg＝mg，得F′＝0，即此时弹簧处于原长，故t2时刻弹簧的弹性势能为零，而t4时刻物体处于正向最大位移处，故此时M的加速度与重力加速度大小相等，方向相反，故C错误，D正确．
4.(多选)(2022·江西南昌市一模)如图所示，有两列频率相同、振动方向相同、振幅均为A、传播方向互相垂直的平面波相遇并发生干涉，两列波的传播方向如图中箭头所示．图中实线表示波峰，虚线表示波谷，a为波谷与波谷相遇点，b、c为波峰与波谷相遇点，d为波峰与波峰相遇点，e是a、d连线的中点，则下列描述正确的是( )
A．a、d处的质点振动加强，b、c处的质点振动减弱
B．图示时刻，e正处于波峰位置
C．从图示时刻经过半个周期，e处质点将处于平衡位置
D．e处的质点振幅为2A
答案 ACD
解析 a为波谷与波谷相遇点，b、c为波谷与波峰相遇点，d为波峰与波峰相遇点，故a、d处的质点振动加强，b、c处的质点振动减弱，故A正确；依题意由题图可知，图示时刻，e为两列波的平衡位置相遇点，处于平衡位置，从图示时刻经过半个周期，e仍为两列波的平衡位置相遇点处，仍处于平衡位置，故B错误，C正确；根据几何关系可知，两波的波谷同时传到e点，故e为振动加强点，振幅为2A，故D正确．
5.(多选)(2022·山东卷·9)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如下图所示．当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是( )
答案 AC
解析 由O点的振动图像可知，周期为T＝12 s，振幅A＝20 cm设原点处的质点的振动方程为y＝Asin (eq \f(2π,T)t＋φ)，将(0,10)代入，有10＝20sin φ，解得φ＝eq \f(π,6)，在t＝7 s时刻y7＝20sin (eq \f(2π,12)×7＋eq \f(π,6)) cm＝－10eq \r(3) cm≈－17.3 cm，因7 s＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,12)T，由题可知在t＝7 s时刻质点在y轴负半轴向下振动，根据“同侧法”可判断若波向右传播，则波形为C所示；若波向左传播，则波形如A所示，故选A、C.
6．(2022·山师附中模拟)某健身者挥舞健身绳锻炼臂力，图甲为挥舞后绳中一列沿x轴传播的简谐横波在t＝1.0 s时刻的波形．图乙为绳上质点M的振动图像．下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．波速大小为0.25 m/s
C．若质点Q平衡位置x轴坐标为3.5 m，质点Q的振动方程为y＝－0.2sin (2πt－eq \f(π,4)) m
D．从t＝1.0 s时计时，再经过eq \f(13,6) s，质点P经过的路程为0.7 m
答案 C
解析 质点M在t＝1.0 s后开始向y轴负方向运动，判断可知简谐波沿x轴负方向传播，故A错误；根据题图甲可知简谐横波的波长为λ＝4 m，同时根据题图乙可知周期T＝1 s，则波速大小v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,1) m/s＝4 m/s，故B错误；若质点Q平衡位置x轴坐标为xQ＝3.5 m，根据简谐横波在t＝1.0 s时刻的波形图，可知此时质点Q的y轴坐标为其初始振动位置的位移，可得振动方程为y＝－Asin eq \f(2π,T)(t＋eq \f(7,8)T)(m)＝－0.2sin 2π(t＋eq \f(7,8))(m)＝－0.2sin (2πt－eq \f(π,4))(m)，故C正确；t＝1.0 s时，质点P在最大位移处，再经过eq \f(13,6) s即2T＋eq \f(T,6)，P点经过的路程大于8A＝
1.6 m，故D错误．
7.(2021·全国乙卷·34(1))图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.3 s后，其波形曲线如图中虚线所示．已知该波的周期T大于0.3 s，若波是沿x轴正方向传播的，则该波的速度大小为________ m/s，周期为________ s，若波是沿x轴负方向传播的，该波的周期为________ s.
答案 0.5 0.4 1.2
解析 若波是沿x轴正方向传播的，则波传播了Δx＝15 cm＝0.15 m，设波速为v，周期为T，则该波的速度大小为v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(0.15,0.3) m/s＝0.5 m/s
由题图可知波长λ＝20 cm＝0.2 m，
则周期为T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(0.2,0.5) s＝0.4 s；
若波是沿x轴负方向传播的，
则波传播了Δx′＝5 cm＝0.05 m，
设波速为v′，周期为T′，则该波的速度大小为
v′＝eq \f(Δx′,Δt)＝eq \f(0.05,0.3) m/s＝eq \f(1,6) m/s
周期为T′＝eq \f(λ,v′)＝eq \f(0.2,\f(1,6)) s＝1.2 s.
[争分提能练]
8.(2022·山东省高三联考)如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，其下端有一垂直于斜面的固定挡板．轻质弹簧的一端与挡板相连，另一端连接一质量为0.4 kg的光滑小球(可视为质点)．现将小球由平衡位置O沿斜面向上拉动15 cm至P点，使其在P、P′之间做简谐运动，M、N为斜面上关于O点对称的两点．规定沿斜面向上为正方向，已知弹簧的劲度系数为20 N/m，且弹簧始终处于弹性限度内，取g＝10 m/s2.则( )
A．小球在P点的回复力为－5 N
B．小球在P′点时弹簧的形变量为25 cm
C．小球从N点向上运动，经四分之三个周期，其运动的路程小于45 cm
D．在M、N两点，小球的速度大小相等，弹簧的弹性势能也相等
答案 B
解析 O点为平衡位置，沿斜面向上拉动15 cm后，小球受到的合力为F合＝kxOP＝3 N，则小球在P点的回复力为－3 N，故A错误；由简谐运动的对称性可知，小球在P′点的回复力为3 N，有kΔx－mgsin 30°＝3 N，解得Δx＝25 cm，故B正确；小球经平衡位置O时，速度最大，从N点向上运动，前四分之一周期内运动的路程要大于15 cm，后二分之一周期内运动的路程为30 cm，总路程大于45 cm，故C错误；根据简谐运动的对称性可知，小球在M、N两点的速度大小相等，由系统机械能守恒可知，小球在N点时弹簧的弹性势能大于小球在M点时弹簧的弹性势能，故D错误．
9.(2022·江苏南通市海门区高三期末)如图所示，一列简谐横波向左传播，振幅为A，周期为T，波长为λ，已知t＝0时刻介质中a质点的位移为eq \f(A,2)，则在eq \f(1,4)T时刻( )
A．质点a位于平衡位置上方且位移大于eq \f(A,2)
B．质点a位于平衡位置上方且位移小于eq \f(A,2)
C．质点a在0时刻位置的左侧eq \f(1,4)λ处
D．质点a在0时刻位置的右侧eq \f(1,4)λ处
答案 A
解析 由于波向左传播，质点a正处于位移为eq \f(A,2)的位置向上振动，由于越远离平衡位置速度越小，因此再次回到位移为eq \f(A,2)时的时间将大于eq \f(1,4)T，则在eq \f(1,4)T时质点a还没有回到位移为eq \f(A,2)的位置，所以在eq \f(1,4)T时刻质点a位于平衡位置上方且位移大于eq \f(A,2)， A项正确，B项错误；质点不随波迁移， C、D项错误．
10.(2022·辽宁丹东市期末)如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道MN，它所对的圆心角小于10°，P点是圆弧MN的中点，也是圆弧的最低点．在NP间的一点Q和P之间搭一光滑斜面，将两个小滑块(可视为质点)分别同时从Q点和M点由静止开始释放，则两小滑块相遇点一定在( )
A．斜面QP上的一点
B．PM弧上的一点
C．P点
D．条件不足，无法判断
答案 A
解析 设圆弧的半径为R，PQ与水平面的夹角是θ，PQ距离为2Rsin θ，对沿斜面下滑的滑块，加速度大小为gsin θ，根据位移时间公式可得t1＝2eq \r(\f(R,g))；沿圆弧下滑的滑块的运动类似为单摆的运动，做简谐运动，周期T＝2πeq \r(\f(R,g))，可得t2＝eq \f(1,4)T＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))，可得t2＜t1，故A正确，B、C、D错误．
11．(2021·全国甲卷·34(2))均匀介质中质点A、B的平衡位置位于x轴上，坐标分别为0和xB＝16 cm.某简谐横波沿x轴正方向传播，波速为v＝20 cm/s，波长大于20 cm，振幅为y＝1 cm，且传播时无衰减．t＝0时刻A、B偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔Δt＝0.6 s两者偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同．已知在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰．求：
(1)从t1时刻开始，质点B最少要经过多长时间位于波峰；
(2)t1时刻质点B偏离平衡位置的位移．
答案 (1)0.8 s (2)－0.5 cm
解析 (1)因为波长大于20 cm，
所以波的周期T＝eq \f(λ,v)>1.0 s
由题可知，0.6 s＝n·eq \f(T,2)，解得T＝eq \f(1.2,n) s，
因为T>1.0 s，所以n＝1，即T＝1.2 s
波长λ＝vT＝24 cm
在t1时刻(t1>0)，质点A位于波峰．因为A、B距离小于一个波长，质点B位于波峰最快是质点A处的波峰传过去，所以从t1时刻开始，质点B运动到波峰所需要的最少时间t＝eq \f(xAB,v)＝
0.8 s
(2)在t1时刻(t1>0)，A位于波峰，B与A相距16 cm，故质点B偏离平衡位置的位移为
y′＝ycseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,24)×2π)) cm＝－0.5 cm.
[尖子生选练]
12．(多选)(2022·福建泉州市质量监测)一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上在平衡位置相距6 m的两质点，振动图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A．在t＝0至t＝0.5 s时间内，质点a的路程比质点b的小
B．a、b两质点可能同时经过平衡位置
C．这列波的波长可能是24 m
D．这列波的波速可能是eq \f(6,7) m/s
答案 CD
解析 根据图像可知，在t＝0至t＝0.5 s时间内，质点a的平均速率大于质点b的平均速率，则质点a的路程大于质点b的路程，故A错误；根据图像可知，两者间距为eq \f(1,4)λ＋nλ或eq \f(3,4)λ＋nλ(n＝0,1,2,3，…)，所以a、b两质点不可能同时经过平衡位置，故B错误；由题图可知，T＝4 s，则当两者间距为eq \f(1,4)λ＋nλ时，eq \f(1,4)λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝eq \f(24,4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)，波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(6,4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)；当两者间距为eq \f(3,4)λ＋nλ时，eq \f(3,4)λ＋nλ＝6 m，波长为λ＝eq \f(24,4n＋3) m(n＝0,1,2,3，…)，波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(6,4n＋3) m(n＝0,1,2,3，…)，当n＝1时，且两者间距为eq \f(3,4)λ＋nλ时波速才能为eq \f(6,7) m/s，当n＝0时，且两者相距eq \f(1,4)λ＋nλ时，波长才能为24 m，故C、D正确．规律
x＝Asin(ωt＋φ)
图像
反映同一质点在各个时刻的位移
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、相对平衡位置的位移大小相等；动能、势能相等
形成条件
(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零
(4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移
波长、波速和频率(周期)的关系
(1)v＝λf；(2)v＝eq \f(λ,T)
波的叠加
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2
波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题
波的特性
波的干涉
波的衍射