2023年中考集训20讲专题09：母子型相似三角形

专题09：母子型相似三角形-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（       ）

A． B． C． D．

2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(       )   

A．6 B．7 C．8 D．9

3．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（       ）

A．3 B． C． D．

4．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（       ）

A．27 B．26 C．25 D．24

5．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和2，∠B＝120°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．3 B．2 C．4 D．3

二、填空题

6．如图1，在中，，，，点为边上一点，则点与点的最短距离为______．如图2，连接，作，使得，交于，则当时，的长为______．

7．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；

（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．

8．如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为_____．

9．如图，在中，，点在边上，，点在上，，垂足为，若，，则线段的长为__________．

10．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点为的中点，过点作，分别与，相交于点，．连接分别与，相交于点，，连接，若，，则线段的长为__________．

三、解答题

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．

（1）求证 △ACD∽△ABC；

（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．

12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．

（1）求证：△AED∽△ADC；

（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．

13．如图：在矩形ABCD中，，，动点Р以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．

（1）______m，______m，_____m（用含t的代数式表示）

（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？

（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

14．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．

（1）求证：△ADB∽△AEC；

（2）若sin∠BAC=，BC=，求DE的长．

15．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．

（1）求证：△MFC∽△MCA；

（2）求证△ACF∽△ABE；

（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

16．如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．

（1）若 ，求的大小．

（2）求证：．

（3）若正方形的边长为1，，求的长．

17．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若，求的度数；

（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．

18．已知在▱ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．

（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．

①求证：GF＝DF；

②若GF⊥CD，求GD的长；

（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，

①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；

②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．