2023年中考集训20讲专题18：将军饮马型最值问题

专题18：将军饮马型最值问题-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．

【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，

∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，

∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小

故选：C．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．

2．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（       ）

A． B．3 C．2 D．4

【答案】C

【解析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．

【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴B点与C点关于AD对称，

∴BM＝CM，

∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，

∵AC＝6，AE＝2，

∴EC＝4，

在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，

∴FC＝2，EF＝2，

在Rt△BEF中，BF＝4，

∴BE＝2，

故选：C．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（       ）

A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对

【答案】B

【解析】【详解】思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．

答案详解：如图所示：当PE∥AB．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB10，

由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．

∵PE∥AB，

∴∠PDB＝90°．

由垂线段最短可知此时FD有最小值．

又∵FP为定值，

∴PD有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，

∴△AFD∽△ABC．

∴，即，解得：DF＝3.2．

∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．

故选：B．

4．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（       ）

A．（3，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）

【答案】A

【解析】【详解】思路引领：求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

答案详解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2＝1，

∴A（1，2），B（2，1），

∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把A、B的坐标代入得：，

解得：k＝﹣1，b＝3，

∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，

当y＝0时，x＝3，

即P（3，0）．

故选：A．

5．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】【详解】思路引领：由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．

答案详解：连接OP，

∵PA⊥PB，

∴∠APB＝90°，

∵AO＝BO，

∴AB＝2PO，

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝3、MQ＝4，

∴OM＝5，

又∵MP′＝2，

∴OP′＝3，

∴AB＝2OP′＝6，

故选：D．

6．如图，点，都在双曲线上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（-1，3），Q点坐标为（3，-1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．

【详解】分别把点，代入，得

，，则点A的坐标为，点B的坐标为.

如图，分别作点A关于y轴的对称点P，点B关于x轴的对称点Q，则点P的坐标为，点Q的坐标为；连接PQ分别交x轴、y轴于点C、点D，此时四边形ABCD的周长最小,

四边形ABCD周长为:

.

故选B.

【点评】考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．

7．如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（　　）

A． B． C． D．36

【答案】A

【解析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，设与交于点，则求出，，最后得，所以，选．

【详解】解：如下图，在边上取点，使得和关于对称，

连接，得，

连接，作，垂足为，

由三角形三边关系和垂线段最短知，

，

即有最小值，

菱形中，，，

在△中，，

解得，

是图象上的最低点

，

此时令与交于点，

由于，在△中，

，又，

，

又的长度为，图2中是图象上的最低点，

，

又，

，

故选：A．

【点评】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于通过翻折点轴对称），然后利用三角形三边关系及垂线段最短原理，判断出最小值为．

8．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（       ）

A． B． C．6 D．3

【答案】C

【解析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6．

【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点，

连接交和于点和点，，连接、；

再和上分别取一动点和（不同于点和，

连接，，和，如图1所示：

，

，，

，

又，

，，

，

时周长最小；

连接，过点作于的延长线于点，

如图示2所示：

在中，，，

，

，

，，

又，

，

，，

，

，

又，

，

，，

在△中，由勾股定理得：

．

，

故选：C．

【点评】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度．

9．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．3

【答案】A

【解析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．

【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，

∵∠ABC＝60°，AB＝2，

∴BH＝1，AH＝，

在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，

∴AC＝，

∵点D为BC中点，

∴BD＝CD，

在△BFD与△CKD中，

，

∴△BFD≌△CKD（AAS），

∴BF＝CK，

延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，

可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，

在Rt△ACN中，AN＜AC，

当直线l⊥AC时，最大值为，

综上所述，AE+BF的最大值为．

故选：A．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．

10．如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．

【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，

∵，

则△ABO为等腰直角三角形，

∴AB=，N为AB的中点，

∴ON=，

又∵M为AC的中点，

∴MN为△ABC的中位线，BC=1，

则MN=，

∴OM=ON+MN=，

∴OM的最大值为

故答案选：B．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．

二、填空题

11．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是_____．

【答案】4

【解析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，证明△CBD≌△BD，得到CD=D，推出当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4．

【详解】解：如图，连接D，

∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，

∴∠ABC=∠B=60°，B=AB=BC=2，

∴∠CB=60°，

∴∠CB=∠B，

∵BD=BD，

∴△CBD≌△BD，

∴CD=D，

∴AD+CD=D+CD，

∴当A、D、三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=B+AB=4，

故答案为：4．

．

【点评】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．

12．如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．

【答案】6

【解析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．

【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF=AD=6，

即EP+CP的最小值为6，

故答案为6．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．

13．如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．

【答案】8

【解析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．

【详解】解：如图所示，连接AD，AM，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴AM=BM，

∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，

∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，

∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，

∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，，

∴，

∴AD=6，

∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．

14．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___．

【答案】18

【解析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．

【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，

∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，

∵△PMB周长=PM+PB+BM，

∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，

∵PM=PC，

∴满足PC+PB最小即可，

显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，

此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，

∴△PMB周长最小值即为BC+BM，

此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，

由题意，AD为∠BAC的角平分线，

∴DS=DT，

∵，，

∴，

即：，

∴，

解得：AB=14，

∵AM=AC=6，

∴BM=14-6=8，

∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，

故答案为：18．

【点评】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．

15．在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得线段MA′．

（1）如图①，线段MA'的长＝___．

（2）如图②，连接A'C，则A'C长度的最小值是___．

【答案】     1    

【解析】【详解】思路引领：（Ⅰ）由中点的定义和旋转的性质可求解；

（Ⅱ）当A'在MC上时，线段A'C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．

答案详解：（Ⅰ）∵M是AD边的中点，

∴MA＝1，

∵线段MA绕点M旋转得线段MA'．

∴MA'＝1，

故答案为：1；

（Ⅱ）如图②，作ME⊥CD于点E．

∵菱形ABCD中，∠A＝60°，

∴∠EDM＝60°，

在直角△MDE中，DE＝MD•cos∠EDM1，ME＝MD•sin∠EDM，

则EC＝CD+ED＝2，

在直角△CEM中，MC，

当A'在MC上时A'C最小，则A′C长度的最小值是：1，

故答案为1．

16．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是___；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是___．

【答案】         

【解析】【详解】思路引领：（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P．根据点A、B′的坐标可以求得直线AB′的 解析式，根据该解析式可以求得点P的坐标；

（2）如图2，求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

答案详解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2，

∴A（，2），B（2，）．

（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P，则B′（2，）．

设直线AB′为y＝kx+b（k≠0），则．

解得．

故直线AB′的解析式为：yx．

令y＝0，

解得，x＝1.7．

故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大，

设直线AB的解析式是y＝ax+c（a≠0）

把A、B的坐标代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式是y＝﹣x，

当y＝0时，x，

即P（，0）；

故答案是：（1.7，0）；（，0）．

17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边AB，边BC上运动，点G在矩形内，且DG⊥CG，EF⊥FG，FG：EF＝1：2，则线段GF的最小值为_______．

【答案】

【解析】取CD的中点M，取EF的中点N，连接GM，GN、NB、BM，根据矩形的性质和题中所给的条件得GM=DM=CM=1，设FG=a，则EF=2a，因为N是EF的中点，所以FN=EN=a，根据和勾股定理得，因为，所以当且仅当B、N、G、M四点共线时，值最小，解得，即可得线段GF的最小值为：．

【详解】解：如图所示，取CD的中点M，取EF的中点N，连接GM，GN、NB、BM，

∴,

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=2，AD=BC=3，,

∵，

∴，

∴，

∴GM=DM=CM=1，

∵，

∴设FG=a，则EF=2a，

∵N是EF的中点，

∴FN=EN=a，

∵，

∴BN=EN=FN=a，

∵，FG=FN=a，

∴

在中，根据勾股定理

，

在中，BC=3，CM=1，根据勾股定理，

，

∵，

∴当且仅当B、N、G、M四点共线时，值最小，

∴，

则线段GF的最小值为：，

故答案为：．

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理和直角三角形的性质解题的关键是构造辅助线，当B、N、G、M四点共线时，值最小，则线段GF有最小值．

18．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．

【答案】

【解析】【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值

作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CM＝MP+CP＝HEEC＝1

故答案为．

19．在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B的最小值为 __．

【答案】     平行四边形     2

【解析】（1）利用平移的性质证明即可．

（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论．

【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，

∴四边形A′BCD′是平行四边形，

故答案为：平行四边形．

（2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=2，∠ABC=90°，

∴AC=AB=2，

∵BJ⊥AC，

∴AJ=JC，

∴BJ=AC=，

∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，

∴四边形BHCJ是矩形，

∵BJ=CJ，

∴四边形BHCJ是正方形，

∴BH=CH=，

在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，

∴，

∵四边形A′BCD′是平行四边形，

∴A′B=CD′，

∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，

∴A′B+BD′≥2，

∴A′B+D′B的最小值为2，

故答案为：2．

【点评】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

20．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________

【答案】

【解析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．

【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，

取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠RAT＝90°，

∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，

∴RT＝，

∵A，A′关于DP对称，

∴AA′⊥DP，

∴∠AMD＝90°，

∵AR＝RD，

∴RM＝AD＝，

∵MT≥RT−RM，

∴MT≥4，

∴MT的最小值为4，

∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，

∴QA＋QM≥4，

∴QA＋QM的最小值为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．