2023年中考集训20讲专题02：M型平行线

专题02：M型平行线-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°

【答案】D

【解析】分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可.

详解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥DE∥CF，

∴

∴

故选D．

点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.

2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°

【答案】B

【解析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．

【详解】作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴AB∥DE∥DE，

∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，

∵∠1＝30°，∠2＝35°，

∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，

∴∠BCE＝65°，

故选：B．

【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．

3．如图，已知点是矩形内一点（不含边界），设，，若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得，，两式相减即可得到．

【详解】解：矩形，

，

，，

中，，即，①

中，，即，②

由②①，可得，

即，

故选：A．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．

4．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（       ）

（1）；（2）；（3）；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．

【详解】解：∵AB∥CD，

∴∠A+∠C＝180°，

又∵∠A＝110°，

∴∠C＝70°，

∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，

∵∠C+∠D+∠CED＝180°，

∴∠D+∠CED＝110°，

∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，

∵点E在AC上的任意一点，

∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，

故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．

5．如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）

A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°

【答案】B

【解析】过点C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．

【详解】如图，过点C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，

∵∠BCD＝70°，

∴∠BCD =∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，

∴∠α+∠β＝70°．

故选B．

【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.

二、填空题

6．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．

【答案】

【解析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．

【详解】解：在中，，，，

∵，即，

∴为直角三角形且．

过点C作交AB于点M，则，如下图所示，

∵，，

∴，

∴．

又∵，

∴．

故答案为：．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．

7．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．

【答案】38°

【解析】过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．

【详解】如图，过点B作BD∥a，

∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．

故答案为：38°．

【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．

8．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．

【答案】y=90°-x+z．

【解析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．

【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，

∵AB∥EF，

∴AB∥CG∥HD∥EF，

∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z

∵∠BCD＝90°

∴∠1+∠2=90°，

∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，

∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，

∴∠y=∠z+90°-∠x．

即y=90°-x+z．

【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．

9．如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °．

【答案】

【解析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是．

【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，

∵AB∥CD，AB∥PM

∵AB∥PM∥CD，

∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，

∴∠1+∠APC+∠3=360°；

（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，

∵AB∥CD，

∵AB∥PM∥QN∥CD，

∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；

∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°；

根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．

即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．

故答案为：

【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．

10．如图，，平分，，，则__________．

【答案】

【解析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．

【详解】解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，

∵AB∥CD，

∴EM∥CD，

∴∠MED=∠D，

∴∠BED=∠B+∠D，

∵EF平分∠BED，

∴∠DEF=∠BED，

∵∠DEF+∠D=66°，

∴∠BED+∠D=66°，

∴∠BED+2∠D=132°，

即∠B+3∠D=132°，

∵∠B-∠D=28°，

∴∠B=54°，∠D=26°，

∴∠BED=80°．

故答案为：80°．

【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．

三、解答题

11．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论．

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；

（2）根据平行线的性质即可得证；

【详解】（1）过点作，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

 ，，

 ．

（2）

，

，

又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，

．

【点评】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

12．（1）已知：如图（a），直线．求证：；

（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？

【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析

【解析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．

【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，

∵AB∥ED，

∴AB∥ED∥CF，

∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，

证明：如图：

∵AB∥ED，

∴∠ABC=∠BFD，

在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，

∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．

若点C在直线AB与DE之间，猜想,

∵AB∥ED∥CF，

∴

∴.

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．

13．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；

（2）如图3，，点在直线上运动，记，．

①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；

②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．

【答案】（1）见解析；（2）①，见解析；②

【解析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；

（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案

【详解】解：（1）如图2，过作

，

，

，

，

，，

，，

．

（2）①、，

理由：如图3，过作，

，

，

，，

；

②、．

如备用图1，当在延长线上时，；

理由：如备用图1，过作，

，

，

，，

；

如备用图2所示，当在延长线上时，；

理由：如备用图2，过P作，

，

，

，，

；

综上所述，．

【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作．

14．已知AB//CD．

（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；

（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．

①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．

②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）

【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）

【解析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；

②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．

【详解】解：（1）如图1，过点作，

则有，

，

，

，

；

（2）①如图2，过点作，

有．

，

．

．

．

即，

平分，平分，

，，

．

答：的度数为；

②如图3，过点作，

有．

，

，

．

．

．

即，

平分，平分，

，，

．

答：的度数为．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．

15．如图1，点、分别在直线、上，，.

（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）

（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；

（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．

【解析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；

（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；

（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．

【详解】解：（1）如图1，延长交于点，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）延长交于点，交于点，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵平分，平分，

∴，，

∴，

∵，，

∴；

（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

即，

解得：．

当在直线上方时，如图，同理可证得，

则有，

解得：．

综上，故答案为或．

【点评】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

16．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．

（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；

（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；

（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系

【答案】（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°

【解析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．

【详解】解：（1）如图1，作，，连结，

，

，

，，，，

，

，

，

和的角平分线相交于，

，

，

、分别是和的角平分线，

，，

，

；

（2）如图1，，，

，，

与两个角的角平分线相交于点，

，，

，

，

，

；

（3）由（2）结论可得，，，

则．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．

17．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；

解：过点P作直线PH∥AB，

所以∠A＝∠APH，依据是　　；

因为AB∥CD，PH∥AB，

所以PH∥CD，依据是　　；

所以∠C＝（　　），

所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°．

（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：

①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；

②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系．

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．

【解析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；

（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；

（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．

【详解】解：过点P作直线PH∥AB，

所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；

因为AB∥CD，PH∥AB，

所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以∠C＝（∠CPH），

所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；

（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PH∥QG，

∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，

∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．

∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；

②如图3，

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，

∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，

∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，

∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，

∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），

∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．

【点评】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．

18．如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．

（1）=      ；

（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求 的度数；

（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若 ，，且，求n的值．

【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．

【解析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；

（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；

（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．

【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，

∵MN//GHl

∴MN//OP//GH

∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°

∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°

∵∠NAO=116°，∠OBH=144°

∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；

（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，

∵AC平分且，

∴，

又∵MN//GH，

∴；

∵，

∵BD平分，

∴，

又∵

∴；

∴；

（3）设FB交MN于K，

∵，则；

∴

 ∵，

∴，，

在△FAK中，,

∴，

∴．

经检验：是原方程的根，且符合题意.

【点评】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．