2023年中考集训20讲专题01：反比例函数

专题01：反比例函数-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为(       )．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：，再根据坐标系中两点关于原点对称的性质，得点B坐标；过点做交延长线于点，根据直角坐标系的性质，得的值，通过计算即可得到答案．

【详解】根据题意，设点A坐标为：，且

∵A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点

∴点B坐标为：

∵过点A作AC⊥x轴于点C

∴点C坐标为：

∴

如图，过点做交延长线于点

根据题意得：

∴

故选：B．

【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点关于原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解．

2．如图，点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为，则m，n的值不可能是（　　）

A．m＝，n＝﹣ B．m＝，n＝﹣

C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2

【答案】A

【解析】设A的坐标为（x，），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．

【详解】解：∵点A是第一象限内双曲线y＝（m＞0）上一点，

∴设A的坐标为（x，），

∵AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝（n＜0）上，

∴B的坐标为（，），C的坐标为（x，），

∴AB=，AC=，

∵△ABC的面积为，

∴，

∴=9，

∴，

∵将m和n的值代入，只有选项A中不符合．

故选：A．

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

3．如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C． D．﹣

【答案】D

【解析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值．

【详解】解：作AD⊥OB于D，

∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，

∴OA＝OB，

∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，

∴△AOD∽△BOA，

∴，

∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝，

∵S△AOD＝|k|，

∴|k|＝，

∵反比例函数y＝图象在二、四象限，

∴k＝﹣，

故选D．

【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是解答此题的关键．

4．如图，直y=mx与双曲线交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（　　）

A．1 B．m﹣1 C．2 D．m

【答案】A

【解析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知．

【详解】解：由图象上的点A、B、M构成的三角形由△AMO和△BMO的组成，点A与点B关于原点中心对称，

∴点A，B的纵横坐标的绝对值相等，

∴△AMO和△BMO的面积相等，且为，

∴点A的横纵坐标的乘积绝对值为1，

又因为点A在第一象限内，

所以可知反比例函数的系数k为1．

故选A．

【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和而确定出k的值．

5．如图，在平面直角坐标系中，函数 y  kx 与 y  的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.

【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，

如图，

∵反比例函数y=-为对称图形，

∴O为AB 的中点，

∴S△AOC=S△COB，

∵由题意得A点在y=-上，B点在y=上，

∴S△AOD=×OD×AD=xy=1；

S△COD=×OC×OD=xy=2；

S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，

∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.

故答案选C.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.

二、填空题

6．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为__．

【答案】4

【解析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．

【详解】解：设A（a，），则C（a，），

∵CA＝2，

∴2，

解得a＝1，

∴A（1，3），C（1，1），

∴B（3，1），

作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，

∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE，

∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4；

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S△ABO=S梯形ABED是解题的关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝_____．

【答案】-4

【解析】通过平行四边形的性质得到△AOD的面积为3，再根据反比例函数系数k的几何意义得到．

【详解】解：由双曲线的对称性得OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵AD∥y轴，

∴，

∴，

解得k＝-4或k＝4（舍），

故答案为：-4．

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是根据题干得到△AOD的面积．

8．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．

【答案】

【解析】先证明四边形AMBN是平行四边形，的面积实际上就是面积的2倍，则S△ABM＝，结合图象可知．

【详解】解：∵OA=OB，ON=OM，

∴四边形AMBN是平行四边形，

∵S四边形AMBN＝1，

∴S△ABM＝，

设点A的坐标为（x，y），

∴B的坐标为（−x，−y），

∴×2x×y＝，

∴xy＝，

∴k＝xy＝．

故答案是：．

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．

9．如图，A，B 两点在双曲线 y＝上，分别经过 A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S1+S2＝______．

【答案】4

【解析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．

【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，

∴S1+S2=3+3-1×2=4．

故答案为4．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．

10．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．

【答案】y=﹣．

【解析】

【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．

解：过A点向x轴作垂线，如图：

根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，

又∵函数图象在二、四象限，

∴k=﹣4，

即函数解析式为：y=﹣．

故答案为y=﹣．

考点：反比例函数系数k的几何意义．

三、解答题

11．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．

（1）若点的坐标为．

①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；

②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；

（2）连接、．

①当时，求的长度；

②如图2，试证明的面积是个定值．

【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解

【解析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；

②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；

（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．

【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，

∴xC＝2，yB＝4，

把y＝4代入中，得x＝1，

∴B(1，4)，

把x＝2代入中，得y＝2，

∴C（2，2），

把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．

故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；

②设D（m，0），E（0，n），

当四边形BEDC为平行四边形时，

∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，

∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，

∴m＝1，n＝2，

∴D(1，0)，E(0，2)，

当四边形BDEC为平行四边形时，

∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，

∴1−m＝2−0，4−0＝2−n，

∴m＝−1，n＝−2，

∴D（−1，0），E（0，2），

综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；

（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），

∵OB＝OC，

∴OB2＝OC2，

∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，

∴OB＝；

②延长MC与x轴交于点A，

设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），

∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，

∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC

＝(＋m)• −ו−m•＝3，

∴△BOC的面积是个定值．

【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．

12．如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC．

（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积；

（2）若AB＝BC，求点A的坐标；

（3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

【答案】（1）；（2）点A（−2，）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解

【解析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解；

（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝−t，即可求解；

（3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，即可得到结论．

【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），

∴S△ABC＝BC×AB＝×（−＋1）×（4−1）＝；

（2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），

∵AB＝BC，

∴-()＝−t，解得：t＝±2（舍去2），

∴点A（−2，）；

（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，

则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），

∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，

∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解．

13．如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．

（1）求直线的解析式；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；

（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；

（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.

【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上，

则

设直线为：

则

所以直线为：

（2） 轴， ．

所以反比例函数为：

（3）设 而为的中点，

【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.

14．已知图中的曲线是反比例函数y＝（m为常数）图象的一支．

（1）根据图象位置，求m的取值范围；

（2）若该函数的图象任取一点A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求m的值．

【答案】（1）m＞5；（2）m＝13．

【解析】（1）由反比例函数图象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范围；

（2）根据反比例函数系数k的几何意义得出（m﹣5）＝4，解得即可．

【详解】解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，

∴m﹣5＞0，

解得m＞5；

（2）∵S△OAB＝|k|，△OAB的面积为4，

∴（m﹣5）＝4，

∴m＝13．

【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象与性质，根据系数k的几何意义得出（m−5）＝4是解题的关键．

15．如图，点是直线与反比例函数图象的两个交点，轴，垂足为点已知，连接．

求反比例函数和直线的表达式：

和的面积分别为求．

【答案】（1）反比例函数的解析式为，直线AB为；（2）

【解析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；

（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出．

【详解】解：由点在反比例函数图象上，

反比例函数的解析式为

将点代入得

设直线的表达式为

解得

直线的表达式为；

由点坐标得点到的距离为

设与轴的交点为可得如图：

由点知点到的距离分别为，3

.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，属于中考常考题型．

16．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x的图像与反比例函数y＝的图像交于A，B两点，且点A的坐标为（6，a）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）已知点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上，点P在x轴上，若△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍，请求出点P的坐标．

【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；（2）点P的坐标为（，0）或（－，0）．

【解析】（1）先求解A的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，

（2）先求解C的坐标，利用S△AOC＝S四边形COEA－S△OAE＝S四边形COEA－S△COD＝S梯形CDEA求解，再求，利用面积公式可得答案．

【详解】解：（1）∵点A（6，a）在正比例函数y＝x的图像上

∴a＝×6＝2

∵点A（6，2）在反比例函数y＝的图像上

∴2＝，

k＝12

∴反比例函数的表达式为y＝．

（2）分别过点C，A作CD⊥轴，AE⊥轴，垂足分别为点D，E．

∵点C（b，4）在反比例函数y＝的图像上

∴4＝，b＝3，即点C的坐标为（3，4）

∵点A，C都在反比例函数y＝的图像上

∴S△OAE＝S△COD＝×12＝6

∴S△AOC＝S四边形COEA－S△OAE＝S四边形COEA－S△COD＝S梯形CDEA

∴S△AOC＝×(CD＋AE)·DE＝×(4＋2)×(6－3)＝9

∵△AOC的面积等于△AOP的面积的两倍

∴S△AOP＝S△AOC＝，

设点P的坐标为（m，0）

则S△AOP＝×2·︱m︱＝，．

∴m＝，

∴点P的坐标为（，0）或（－，0）．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，考查反比例函数中系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键

17．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，过点作垂直轴于点，连结.若的面积为2.

（1）求的值；

（2）直接写出：①点坐标____________；点坐标_____________；②当时，的取值范围__________________；

（3）轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）①，；②或；（3）存在，坐标为或，或.

【解析】（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于 |k|，从而求出k的值；

（2）联立两函数即可求出坐标，根据图像可写出范围.

（3）设点坐标为连结、，再根据勾股定理解答即可.

【详解】解：（1）由题意知：点与点关于原点对称，点为中点，

所以

又   

所以

所以

（2）已知两函数交于A，B两点，

故

①点坐标，点坐标

②根据图像可得即是反比例函数在正比例函数下方的范围：或.

（3）设点坐标为连结、；　

∴

或

或

当或或时，

三角形为直角三角形，解得或或

所以点坐标为或，或

【点睛】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．

18．如图，直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，点B是此反比例函数图形上任意一点(不与点A重合)，BC⊥x轴于点C．

（1）求k的值；（2）求OBC的面积；

【答案】（1）2；（2）1

【解析】（1）将点A(1，a)，代入反比例函数即可求出a=2，然后将A的坐标代入直线y=kx即可求出k的值．

（2）根据反比例函数k的几何意义求解即可．

【详解】解：（1）∵直线y=kx与反比例函数(k≠0，x>0)的图象交于点A(1，a)，

∴将A(1，a)代入得：a=2，

∴A(1，2)，

将A(1，2)代入y=kx，得k=2；

（2）设点B的坐标为(x，y)，

∴OC=x，BC=y，

∵点B在反比例函数上，

∴xy=2，

∴．

【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值．