2023年中考集训20讲专题04：双角平分线型三角形

专题04：双角平分线型三角形-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．

法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．

【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，

∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，

∵∠AFB＝∠PFC，

∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，

∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，

∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，

∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，

∵PB、PC是角平分线

∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，

∴2∠P＝∠A−∠D

∵∠A＝48°，∠D＝10°，

∴∠P＝19°．

法二：延长DC，与AB交于点E．

∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，

∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．

∵∠AEC是△BDE的外角，

∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，

∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，

整理得∠ACD−∠ABD＝58°．

设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，

∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，

即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．

故选A.

【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（       ）

A．80° B．75° C．60° D．45°

【答案】C

【解析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小.

【详解】解：连接

平分，平分，

故选：

【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.

3．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：

①和都是等腰三角形

②；

③；

④若，则．

其中正确的有（   ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．

【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，

∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∵DE∥BC，

∴∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（两直线平行，内错角相等），

∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，

∴DB=DF，EF=EC，

∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，

∴①选项正确，符合题意；

②∵DE=DF+FE，

∴DB=DF，EF=EC，

∴DE=DB+CE，

∴②选项正确，符合题意；

③根据题意不能得出BF＞CF，

∴④选项不正确，不符合题意；

④∵若∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∴∠CBF+∠BCF=×100°=50°，

∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，

∴④选项正确，符合题意；

故①②④正确．

故选C

【点评】等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系，解题关键是逐个判断选项即可得出正确答案．

4．在中， ，若的平分线交于点，则的度数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由的度数可以求出与的和，由角平分线的性质可以得出，，即可得出与的和，即可得出的度数．

【详解】

∵，

∴+=110°，

∵为与的平分线，

∴，，

∴+=110÷2=55°，

∴=180°－55°=125°．

故选：B．

【点评】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的内角和定理，熟记相关概念是解题关键．

5．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）

A．36° B．30° C．20° D．18°

【答案】A

【解析】【详解】试题分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．

证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．

又∵∠ECD=∠E+∠EBC，

∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC=∠ABC，

∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），

∴∠E=∠A=18°，

∴∠A=36°．

故选A．

考点：三角形内角和定理．

二、填空题

6．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________．

【答案】105°

【解析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．

【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，

∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，

∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°，

在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°，

故答案为：105°．

【点评】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键．

7．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．

【答案】

【解析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．

【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，

∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，

又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，

∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，

∴∠A1=∠A，

∵∠A=α．

∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，

根据规律推导，

∴，

故答案为．

【点评】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．

8．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．

【答案】36°

【解析】【详解】试题分析：由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，

∴可得∠CMB+∠CNB=180°，

又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，

∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，

∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．

考点:1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．

9．（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得

（1）若，则_______，________，________

（2）若，则________．

【答案】     40°     20°     10°    

【解析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；

（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．

【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC

∵和的角平分线交于点，

∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC

∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC

=∠ACD－∠ABC

=（∠ACD－∠ABC）

=∠A

=40°

同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10°

故答案为：40°；20°；10°．

（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC

∵和的角平分线交于点，

∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC

∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC

=∠ACD－∠ABC

=（∠ACD－∠ABC）

=∠A

=°

同理可证：∠A2=∠A1=°，

∠A3=∠A2=°

∴∠A2015=°

故答案为：°．

【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．

10．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．

【答案】15°

【解析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．

【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，

∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，

∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，

∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，

∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，

∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，

∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，

∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，

∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，

∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，

即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，

∴2∠F=∠E，

∴∠F=∠E=×30°=15°．

故答案为：15°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．

三、解答题

11．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．

（1）若∠MON=60°，则∠ACG=      ；（直接写出答案）

（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）

（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．

【答案】（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50°

【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；

（2）仿照（1）的解法解答；

（3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答．

【详解】解：（1）∵∠MON=60°，

∴∠BAO+∠ABO=120°，

∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，

∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°，

∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，

故答案为：60°；

（2）∵∠MON=n°，

∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，

∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，

∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°，

∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°；

（3）∵CF∥OA，

∴∠ACF=∠CAG，

∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，

由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°．

∴∠BGO-∠ACF=50°．

【点评】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．

12．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；

（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．

【答案】（1）130°；（2）；（3）60°或120°或45°或135°

【解析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；

（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；

（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．

【详解】（1）解：∵∠A＝80°．

∴∠ABC+∠ACB＝100°，

∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，

∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，

（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，

∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）

＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）

＝（180°+∠A）

＝90°+∠A

∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；

（3）延长BC至F，

∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，

∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，

∴∠ACF＝2∠ECF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠EBC，

∵∠ECF＝∠EBC+∠E，

∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，

即∠ACF＝∠ABC+2∠E，

又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，

∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；

∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ

＝∠ABC+∠MBC

＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．

如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：

①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；

②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；

③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；

④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．

综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．

13．已知，在四边形ABCD中，．

（1）求证：．

（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．

（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．

【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解

【解析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；

（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．

【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；

（2）DE⊥BF

延长DE交BF于点G

∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°

∴∠ABC+∠ADC=180°

∵∠ABC+∠MBC=180°

∴∠ADC=∠MBC

∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC

∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC

∴∠EDC=∠EBG

∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG

∴∠EGB=∠C=90°

∴DE⊥BF

（3）DE∥BF

连接BD

∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC

∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC

∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC

∴∠MBC+∠NDC=180°

∴∠EDC+∠FBC=90°

∵∠C=90°

∴∠CDB+∠CBD=90°

∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°

∴DE∥BF．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．

14．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．

（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　   　；

（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　   　；

（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．

①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；

②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．

【答案】（1）70°（2）       （3）①见解析   ②不成立；或

【解析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；

（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；

（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；

②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．

【详解】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝140°，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，

又∵△ABC的外角平分线交于点F，

∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，

∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，

故答案为：70°；

（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，

∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，

又∵△ABC的外角平分线交于点F，

∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，

∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，

又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，

∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，

∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，

∴α+β+90°﹣∠A＝180°，

即α+β﹣∠A＝90°，

故答案为：α+β﹣∠A＝90°；

（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：

如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，

∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，

∴α+β+90°﹣∠A＝180°，

即α+β﹣∠A＝90°，

②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．

分两种情况：

如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，

由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，

∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，

∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，

即β﹣α﹣∠A＝90°；

如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，

由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，

∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，

∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，

即α﹣β﹣∠A＝90°；

综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．

【点评】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．

15．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　   　；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　   　个；

（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．

（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．

【解析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；

（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．

【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B，

故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个，

故答案为：6；

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P＝∠D+∠B，

又∵∠D＝50度，∠B＝40度，

∴2∠P＝50°+40°，

∴∠P＝45°；

（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．

∠D+∠1＝∠P+∠3①

∠B+∠4＝∠P+∠2②

①+②得：

∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，

∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

∴2∠P＝∠D+∠B．

【点评】此题也是属于规律的题型，但也涉及到已经学过的知识，读懂题目是关键，融合已学知识，进行运用.

16．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．

（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝          °；若∠MON＝90°，则∠ACG＝         °；

（2）若∠MON＝n°，请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）

（3）如图2，若∠MON＝n°，过C作直线与AB交于F，若CF∥OA时，求∠BGO－∠ACF的度数．（用含n的代数式表示）．

【答案】（1）60°；45°；（2）90°－n；（3）90°－n．

【解析】（1）根据三角形的内角和求出∠ABO+∠BAO的度数，再根据角平分线的定义及外角的性质即可得到∠ACG的度数；

（2）根据（1）中的结论即可求出答案；

（3）根据角平分线的性质，平行线的性质得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性质得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.

【详解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，

∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，

∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠ABC=∠ABO，∠BAC=∠BAO，

当∠MON＝60°，

∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=60°，

当∠MON＝90°，

∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=45°，

故答案为：60°，45°；

（2）由（1）知∠ACG=（180°-∠MON），

∵∠MON＝n°，

∴∠ACG=（180°-∠MON）=90°－n；

（3）∵AC平分∠BAO，

∴∠BAC=∠CAO

∵CF∥OA，

∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，

∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,

∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,

∵∠MON＝n°时∠ACG=90°－n，

∴∠BGO－∠ACF=90°－n.

【点评】此题考查三角形的内角和定理，外角的性质定理，平行线的性质定理，解题时注意共性思想的理解和利用.

17．如图，已知射线射线，、分别为、上一动点，、的平分线交于点.问、分别在、上运动的过程中，的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由.

【答案】不变，.

【解析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质可以得到∠C=90°-∠O．

【详解】解：∠C的度数不会改变．

∵∠ABE、∠BAF的平分线交于C，

∴∠CAB=∠FAB   ∠CBA=∠EBA

∴∠C=180°-（∠CAB +∠CBA）

=180°-（∠ABE+∠BAF）

=180°-（∠O+∠OAB+∠BAF）

=180°-（∠O+180°）

=90°-∠O=45°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键．

18．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点.

① 当∠A=300时，∠BOC=105°= ；

② 当∠A=400时， ∠BOC=110°=

③ 当∠A=500时， ∠BOC=115°=

当∠A=n°(n为已知数)时，猜测∠BOC=           ，并用所学的三角形的有关知识说明理由.

【答案】

【解析】【详解】试题分析：根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-n°，再根据角平分线的性质求解即可.

∵∠A=n°

∴∠ABC+∠ACB=180°-n°

∵∠ABC、∠ACB的平分线交于O点

∴∠OBC+∠OCB=（180°-n°）

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（180°-n°）=.

考点：三角形的内角和定理，角平分线的性质

点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.