2023年中考集训20讲专题05：燕尾角型三角形

专题05：燕尾角型三角形-2022年中考数学解题方法终极训练

一、单选题

1．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（       ）

A．90° B．360° C．180° D．无法确定

【答案】C

【解析】【详解】如图，连接BC，

∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，

∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，

又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.

故选C.

2．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．

【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°

∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°

∵在△DBC中，∠BDC=90°

∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°

∴40°-90°=50°

故选C．

【点评】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．

3．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．

【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，

∵

∴

同理得

∵

∴

∵

∴

∴

∴,

故选：A．

【点评】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．

4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　）

A．50° B．118° C．100° D．90°

【答案】B

【解析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．

【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．

由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，

∴∠CED＝＝99°，

∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，

∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．

5．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）

A．24° B．25° C．30° D．36°

【答案】B

【解析】【详解】∵∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，

∴∠D1BC+∠D1CB=(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)，

∴∠=180°- (180°-∠A)= ∠A+90°=100°，

同理：∠=60°，∠=40°，∠=30°，∠=25°.

故选B

二、填空题

6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．

【答案】

【解析】利用三角形的外角的性质将五个角转化为三角形的三个角的和即可．

【详解】解：利用三角形的外角的性质得：

，，

所以，

故答案为：．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角及三角形的内角和与外角和的知识，解题的关键是能够正确的将几个角转化为三个角，难度不大．

7．如图，若，则____________．

【答案】230°

【解析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．

【详解】解：如图

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，

∴∠E+∠D+∠C=115°，

∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，

∴∠A+∠B+∠F=115°，

 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，

故答案为：230°．

【点评】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．

8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

【答案】360°

【解析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．

【详解】解：如图，连接FC，

由三角形外角的性质可得：

∠2＝∠G＋∠H，

∠3＝∠A＋∠B，

∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，

根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°

即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，

故答案为360°．

【点评】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．

9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

【答案】720°

【解析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．

【详解】解：如图：

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，

∠1＝∠H＋∠G＋∠D，

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H

＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D

＝180°×（6－2）

＝270°．

故答案为：720°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多边形的内角和．

10．如图，在中，，，平分，平分，则______.

【答案】

【解析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：∵平分，平分，

∴，

∴.

【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

三、解答题

11．如图所示，已知四边形，求证．

【答案】见解析

【解析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；

方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；

方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】方法1如图所示，连接BC.

在中，，即.

在中，，

；

方法2如图所示，连接AD并延长.

是的外角，

.

同理，.

.

即.

方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.

是的外角，

.

是的外角，

.

.

【点评】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．

12．如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.

【答案】.

【解析】根据三角形的内角和定理即可求解

【详解】解：在中，=--，

∴∠DEC=

【点评】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．

13．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.

【答案】.

【解析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出

【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，

①

②

是的平分线，是的平分线

，．

①-②得，．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

14．如图，、分别平分和，若，，求的度数.

【答案】.

【解析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；

【详解】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，

∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，

同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M-∠B=∠D-∠M，

∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

15．如图，在中，与的平分线相交于点，试说明、之间的数量关系.

【答案】，见解析.

【解析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，

【详解】解：在中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A

∵与的平分线相交于点，

∴，,

在中

．

【点评】本题主要考查三角形内角和定理，以及角平分线的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

16．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求的度数.

【答案】.

【解析】根据三角形的外角性质先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可注出的度数.

【详解】解：在△ADC中，

，

在在△BDF中，

.

【点评】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.

17．如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.

【答案】（1），；（2），.

【解析】（1）根据三角形内角和可得，再根据、的三等分线交于点、，可得然后根据三角形内角和定理即可用含表示、；

（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵、的三等分线交于点、，

∴

∴，

；

（2）由（1）可知，

.

【点评】本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.

18．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：

①如图2，，则__________；

②如图3，__________；

（2）拓展应用：

①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；

②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；

③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；

④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．

【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0

【解析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；

②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；

（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；

②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；

③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；

④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．

【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；

②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；

（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1

=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）

=∠BOC-（∠BOC-∠A）

=∠BOC-（120°-50°）

=120°-35°

=85°；

②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）

=120°-（120°-50°）

=120°-10°

=110°；

③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）

=180°-（∠BOC-∠C）

=180°-（120°-44°）

=142°；

④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，

∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，

联立得：∠B-∠C+2∠D=0．

【点评】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．