山东省日照市2022-2023学年高三数学上学期期末校际考试试卷（Word版附答案）

参照秘密级管理★启用前                                            试卷类型：A

2020级高三上学期期末校际联合考试

             数学试题                       2023.1

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A． B． C． D．

2．设为实数，若复数，则

A．    B．  C．     D．

3．设，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是

A．若，，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，，则

5．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点

的坐标为

A．        B．     C．        D．

6．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：

现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：

小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附：）

A．         B．        C．           D．

7．安排名中学生参与社区志愿服务活动，有项工作可以参与，每人

参与项工作，每项工作至多安排名中学生，则不同的安排方式有

A．种     B．种     C．种        D．种

8．已知分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为

A． B．     C．      D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．对于抛物线，下列描述正确的是

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．焦点到准线的距离为 D．准线方程为

10．已知数列满足，，则

A．                         B．是递增数列

C．是递增数列             D．

11．年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．在平面直角坐标系

中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽

线．已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有

A．双纽线关于原点中心对称                       

B．

C．双纽线上满足的点有两个       

D．的最大值为

12．已知三棱锥的棱长均为，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，球的表面积为，体积为，则

A．                         B．

C．数列为等差数列                D．数列为等比数列 

三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．二项式的展开式中常数项为，则的值为______．

14．已知向量夹角为，且，，则______．

15．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．

16．设正项等比数列的公比为，首项，关于的方程 有两个不相等的实根，且存在唯一的，使得．则公比的取值范围为______．

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，求的最小值及取得最小值时的取值集合.

18．（12分）

如图，长方形纸片的长为，将矩形沿折痕翻折，使得两点均落于边上的点，若.

（1）当时，求长方形宽的长度；

（2）当时，求长方形宽的最大值.

19．（12分）

如图，四棱锥的底面为正方形，，，是侧面上一点．

（1）过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；

（2）设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．

20．（12分）

已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.

（1）若，求的值；

（2）若,，求证：数列是等差数列，并求其前项和.

21．（12分）

设椭圆的左右焦点分别为，椭圆的上顶点，点为椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的离心率及其标准方程；

（2）圆圆心在原点，半径为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足,试说明直线与圆的位置关系，并证明.

22．（12分）

已知函数是的导函数．

（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．

2020级高三上学期期末校际联合考试

         数学试题答案               2023.1

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-4   AABC    5-8  DBDA

8．【答案】A【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，

如图，过点作于点,因为，

所以，，因为，所以，

因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，

所以，，

故，，

因为，所以，，

将代入双曲线中，即，化简得，，

所以，即，，

则该双曲线的渐近线方程为 ，故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.AC   10.ABD  11.ABD  12. AD

10.【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以；

对于B，因为，所以是递增数列；C选项；

因为 ，所以，易知是递增数列；

又，令，

如图所示：当时，递增，即递增

对于D项：又

由同向不等式的加法可得，

成立，当时，不等式成立，故D正确.

11．【答案】【解析】

∴双纽线关于原点对称，对．

,

，∴，∴，对．

，则只有一个点满足条件，错．

由余弦定理知

∴

∴，对，选．

另解：∴，∴．

12．【答案】【解析】如图所示，是三棱锥的高，是三角形的外心，设，则，，是三棱锥的外接球和内切球球心，在上，

设外接球的半径为，内切球半径为，则由得，，

解得，所以,

则,所以，，

过的中点作与底面平行的平面，与三条棱,,交于点,,,

则平面与球相切，由题意知球是三棱锥的内切球，

又三棱锥的棱长是三棱锥棱长的，所以其内切球半径，

同理，球的半径为，则是公比为的等比数列， 所以，，，

所以数列是公比为的等比数列，  数列是公比为等比数列。

三、填空题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1    14.     15.     16. 

15．【解析】方法一：延长交于，交于，连接，以矩形为侧面构造正四棱柱，则，

所以为异面直线与所成角

在中，，

所以

所以异面直线与所成角的余弦值为.

方法二：设上底面圆心为，下底面圆心为，连接

以为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则

则,

,又异面直线所成角的范围为,故异面直线与所成角的余弦值为．（建议用几何法解决）

16．【解析】依题意，等比数列，首项，所以，

由于一元二次方程的两根为，

所以，且，由，

得．所以，可得数列的公比，故为递减数列

因为存在唯一的，使得，

显然不适合，若，则，因为，故，此时存在至少两项使得，不合题意．故，即，且，故且，解得

则公比的取值范围为

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解:（1）因为，………………………3分

由，得，

所以的单调增区间为.  ………………………5分

（2）将函数图象上点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数的图象，

所以，………………………7分

故当，即时，，即取得最小值，

所以的最小值为，此时的取值集合为.………10分

18. 解：（1）当时，……1分

，设，①

，②       ………………………4分

.……6分

（2）在中，①

②

            ……………9分

. ……………12分

19．解:（1）过点作的平行线，分别交于点，过点作的平行线，交于点，过作的平行线，交于点，连接，因为，所以平面就是截面.                 ……………3分

证明：因为，，,

故，即； 同理可证.…………6分

（2）以点作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

，设

，则，即                   ……………8分

，，设平面的法向量为

，取，则

即，                                  ……………10分

设PB与平面所成角为

，整理得

解得（舍），                            ……………12分

20．解：（1）由，令，得，,   ……………2分

因为数列的各项均为非零实数，所以，

又，

所以，；…………………………5分

（2）由得：

，……，，相乘得：，

因为数列的各项均为非零实数，所以，

当时：，所以，

即，

即，

因为，所以，…………………………8分

所以，，

所以数列是等差数列，首项为，公差为，

所以数列是等差数列，首项为，公差为，

，所以，

所以，

，                   ……………10分

所以，所以，所以数列是等差数列，

。                              …………………………12分

21.解：（1）设，，.由

得得，即得,

又因为在椭圆上， 得，

得，即椭圆的离心率为.      ……………3分

又，所以椭圆       …………………………5分

（2）因为关于原点对称，,,，所以，

设，.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

由直线和椭圆方程联立得，即，

所以.         ……………7分

因为，，

所以

             ……………9分

所以，，所以，，

又因为圆的圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相切.

当直线的斜率不存在时，依题意得，.

由得，所以，结合得，

所以直线到原点的距离都是，所以直线与圆也相切.

同理可得，直线与圆也相切.

所以直线与圆相切.                     …………………………12分

22．解:（1），即，令，                       ……………1分

当时，

令得，

得或，

所以在和上为减函数，

在上为增函数，                        ……………3分

,故，

，即；综上.    ……………5分

（2）       ……………6分

由得，，

令,令，在上单调递减，注意到

存在使，

且当时，单调递增；

当时，单调递减,

且

，                  ……………9分

在和上各有一个零点

且当时，时，单调递增,

当时，

单调递减且

当时，；

当时，．

在上有唯一的零点

且当时，单调递减；当时，单调递增．

注意到

在和上各有一个零点，

共两个零点．故方程有两个实数根.    ……………12分