第36讲 指对函数问题之分离与不分离-突破 新高考数学导数压轴解答题精选精练

第36讲 指对函数问题之分离与不分离

1．若关于不等式恒成立，求实数的取值范围

【解答】解：【方法一】设，，

则，

且（1），

是的极值点，也是最值点；

恒成立，

又时，恒成立，

的取值范围是，．

【方法二】不等式可化为，

设，，其中；

，

令，解得或（舍去），

时取得极大值，也是最大值，为0；

又，

令，解得，

时取得极值，也是最值，时取得最小值为；

由题意知实数的取值范围是．

故选：．

2．若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的最小值

【解答】解：对任意的，不等式恒成立，

即恒成立，

函数与函数互为反函数，又时，，

原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，

设，则，令，解得，

当时，递减，时，递增，

则（1），

故，即，

故答案为：，．

3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：．

【解答】（1）解：，，

①若时，，在上单调递减；

②若时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

综上，若时，在上单调递减；

若时，在上单调递减；

在上单调递增；

（2）证明：要证，只需证，

由（1）可知当时，，即，

当时，上式两边取以为底的对数，可得，

用代替可得，又可得，

所以，

，

即原不等式成立．

4．已知．

（1）时，求的单调区间和最值；

（2）①若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

②求证：．

【解答】解：（1）当时，，则，

易知函数在，上为增函数，而（1），

故当时，，单调递减；当时，，单调递增，

故函数的减区间为，增区间为，最小值为（1），无最大值；

（2）①不等式即为，令，

若，则，令，易知函数（a）在上单调递增，故（a）（1），矛盾；

若，即为，

令，这可以看作关于的二次函数，其对称轴为，

现比较与1的大小：

作差可得，令，

则，

即函数在上单调递减，故，即，

故函数（a）在，上单调递增，故（a）（1），

而，设，则，

易知函数在上单调递增，而（1），

故当时，，单调递减；当时，，单调递减，

故（1），即（1），即不等式恒成立，

综上，实数的取值范围为，；

②证明：由①知，要证，只需证，即证，

易知，故，即得证．

5．已知函数．

（1）为正实数，若在上恒成立，求的取值范围；

（2）证明：当时，有成立．

【解答】解：（1）令，

则，是增函数，

令时，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增，

故，

而，故，解得：，

所以的取值范围为，．

（2）证明：对的取值范围分类讨论：

①时，，，所以，

有，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，

即，

故时，不等式成立．

②时，由（1）中结论，在，上恒成立，

而此时，于是有，

要证成立，可证其加强条件：，

即证在时成立，

令，

则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

由于，因此，所以，

所以，

即，即，

所以，

故时，命题成立．

综上，当时，有成立．

6．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．

【解答】解：（1），，

当时，，在递增；

当时，对于，△，故有在时，有一个解，

当时，，递减；

当时，，递增；

综上，当时，在递增；

当时，在，递增；在递减；

（2）根据题意，任意的，恒成立，即，

分离参数得，

令，，，

单调递增，，（1），

故存在唯一的零点，，

当，时，，递减，当时，，递增，

故，

故在递增，

故．

7．已知函数．

（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．

【解答】解：（1）因为，所以，（1），（1），

所以切线方程为．

（2）不等式，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．

令，则，令，则，

易知在上单调递增，

因为，（1），且的图象在上连续，

所以存在唯一的，使得，即，则．

当时，单调递减；当，时，单调递增．

则在处取得最小值，

且最小值为，

所以，即在上单调递增，

所以．

8．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点，（1）处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，其中为的导函数．证明：对任意，．

【解答】解：（Ⅰ），，

且在，（1）处的切线与轴平行，

（1），

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，

令，，

当时，，当时，，

又，

时，，

时，，

在递增，在递减；

证明：（Ⅲ），

，，

，，

由（Ⅱ），，

，，

时，，递增，

，时，，递减，

，

，

设，

，

时，，递增，

，

时，，

即，

，

，．

9．已知函数，，其中

（1）若，其函数在，的值域；

（2）若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．

【解答】解：（1）时，，

；

故当，时，；

故在，上是增函数，

故（3），（1）；

（3）令

，，；

则；

令，则，

故在上是增函数，

，且当时，；

，使；

当时，，即，故在上单调递减；

当，时，，即，故在，上单调递增；

，①

由得，，故，②

代入①中得，；

对任意的，恒成立可化为；

又，

，又由解得，，

由②得，，

易知在，上是增函数，

故；

故，

故实数的取值范围为，．

10．已知函数

（1）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时．证明

【解答】解：（1）由题意可得，

所以，

令，

所以，

当时，，在，上单调递增，

所以，

①当时，即时，恒成立，即，

所以在，上单调递增，

所以，解得，

所以，

②当时，即时，在，上单调递增，且，

因为当时，，

所以存在，，使，即，

所以当时，，即，单调递减，当，时，，即，单调递增，

所以，

所以，

所以，

由得，记，，，

所以，

所以在，上单调递增，

所以，

所以，

综上所述，，．

（2）证明：要证，

即证，

即证，

因为，所以即证，

令，

则，

因为，所以，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在处有极小值，即最小值，

所以（1），

所以当时，成立．

11．已知函数．

（1）曲线在点，（1）处的切线斜率为0，求的值；

（2）若恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）函数的导数为，

则曲线在点，（1）处的切线斜率为，解得；

（2）可化为，

即，设，

，

由的导数为，

当时，，递减；当时，，递增．

则的最小值为，

所以时，，递减；时，，递增．

所以的最小值为（1），故，

即，所以的取值范围是，．

12．已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在，上恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，则，，

令，得，令，解得：，

故在递增，在递减，

故，

故对任意恒成立，

故函数在上单调递减；

（2）即为，

得，同时除以得，

令，则原不等式即为证明，

，，，

令，，，则，

故在，上，，递减，易得，，

当时，，函数在，上单调递增，

（1），即，解得：，故，

当时，，函数在，递减，（1），不合题意，

当时，则存在，使得，

则函数在递减，在，递增，

故，

解得：，即，