湖北省沙市中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一（上）期末数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合，则　　

A． B． C． D．

2．“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，令，那么，，之间的大小关系为　　

A． B． C． D．

4．函数的零点所在区间为　　

A． B． C． D．

5．命题，使得成立．若是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

6．平面直角坐标系中，已知点在单位圆上且位于第三象限，点的纵坐标为，现将点沿单位圆按顺时针方向运动到点，所经过的弧长为，则点的纵坐标为　　

A． B． C． D．

7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则　　

A． B．4 C． D．5

8．已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围是　　

A．， B．，， C．， D．，，

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9．已知，则下列不等式正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．已知，那么的可能值为　　

A． B． C． D．

11．已知，为正数，，则下列说法正确的是　　

A． B．的最小值为1 

C．的最小值为8 D．的最小值为

12．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列命题正确的是　　

A．若，则函数为奇函数 

B．若，则（9） 

C．函数的图象必有对称中心 

D．，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．函数的定义域为 　　．

14．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 　　．

15．若函数在单调递增，则实数的取值范围为 　　．

16．已知函数，关于的方程有三个解，则实数的取值范围为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.

17．（10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

18．（12分）设函数的定义域为集合，的定义域为集合．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

19．（12分）在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．

问题：已知函数，，且_____．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在区间，上的单调性，并用定义证明．

20．（12分）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．

（1）求（6），并说明（6）的实际意义；

（2）若该路公交车每分钟的净收益（元，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．

21．（12分）已知函数且．

（1）试判断函数的奇偶性；

（2）当时，求函数的值域；

（3）已知，若，，，，使得，求实数的取值范围．

22．（12分）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“局部奇函数”．

（1）已知函数，试判断函数是否为“局部奇函数”，并说明理由；

（2）函数为定义在，上的“局部奇函数”，试求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得函数是定义在上的“局部奇函数”，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．【解答】解：，，

．

故选：．

2．【解答】解：当时，满足，即充分性成立，

但，则，，即必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

3．【解答】解：，

，

，

，

，

故选：．

4．【解答】解：函数，时函数是连续函数，

，

，

故有，根据函数零点的判定定理可得，

函数的零点所在的区间为，

故选：．

5．【解答】解：命题，使得成立，

则是：，恒成立；

由是假命题知是真命题，

所以，

解得，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

6．【解答】解：设点对应的角为，则对应的角为，

由题意可得，

则，

所以，

则点的纵坐标为．

故选：．

7．【解答】解：由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，

则，

所以当时，，

则（8），

又为奇函数，则（8）．

故选：．

8．【解答】解：当时，为减函数，且（1），

若，此时当时，没有零点，

则必须当时，有两个零点，由，得，，此时满足条件，

当时，当时，只有1个零点，

要使恰有2个零点，

则只需当时，只有一个零点即可，

由得或，

当时，由得，只有一个零点，满足条件，

当时，，

要使当时只有一个零点，则且，得，此时或，

综上实数的取值范围是，，，

故选：．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9．【解答】解：项：，但，正负不确定，若，，则不符合；

项：为上的单调递增函数，，成立，正确；

项：，，在上单调递增，，正确；

项：，但，正负不确定，则与的大小不确定，则，大小不确定，错误；

故选：．

10．【解答】解：因为①，

又②，

联立①②，解得，或，

因为，所以，或．

故选：．

11．【解答】解：因为，解得，

且，解得，当且仅当时取等号，

，当且仅当时取等号，所以，故错误，

，当且仅当时取等号，故正确，

，当且仅当时取等号，故正确，

：由已知可得，则，

当且仅当，时取等号，故正确，

故选：．

12．【解答】解：对于，若，，，

，

为奇函数，即为奇函数，故正确．

对于，若，由可知，则，

，，即，

所以（9），故错误．

对于，记，

若为奇函数，则，，即，

，即，

上式化简得，，

则必有，解得，

因此，当时，的图象必关于点，对称，故正确．

对于，又选项可知，，

当时，是减函数，，

所以，，故正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．

函数的定义域为，．

故答案为：，．

14．【解答】解：扇形中，弧长为，直径为，

扇形的圆心角弧度数是．

故答案为：．

15．【解答】解：由题意令，

因为函数在定义域内为单调递减函数，且函数在内单调递增，

所以函数在内单调递减，需满足且在内恒成立，

即且在内恒成立，所以，解得，

所以实数的范围为，，

故答案为：，．

16．【解答】解：由方程，可得，

，或，

作出的图像，如图所示，

由图可知有2个根，

就只有一个根，

，解得．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.

17．【解答】解：（1）原式

；

（2）

．

18．【解答】解：（1）由，解得或，

所以集合，，，，，

当时，由，即，

解得，

所以集合，，

故，，

（2）由（1）知，，，

由，解得，

所以，，

因为“”是“”的必要条件，

所以，

所以，解得，

故实数的取值范围是．

19．【解答】解：（1）选①，

因为，

所以，即，

则，；

选②函数为偶函数，

所以恒成立，即，

所以，；

选③0是函数的零点，

则，

所以，即，；

（2）在区间，上的单调递增，证明如下：

设，

则，，

则，

所以，

所以在区间，上的单调递增．

20．【解答】解：（1）（6），

（6）的实际意义为：当发车时间间隔为6分钟时，公交车载客量为44；

（2），，

①当时，

，

当且仅当，即时，等号成立，

此时的最大值为38；

②当时，

，

易知此时在上单调递减，

当时，的最大值为28.4．

综合①②可得：当发车时间间隔时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38．

21．【解答】解：（1）的定义域为，，

故是偶函数．

（2）当时，，

因为，所以，所以，

即的值域是，．

（3），，，，使得

等价于，

所以（1）．

令函数，

对，，，当时，

有，

所以在，上单调递增．

于是，当时，在，单调递增，故，

所以，解得，即的范围为；

当时，在，单调递减，故，

所以，无解．

综上：的取值范围为．

22．【解答】解：（1）函数不是“局部奇函数”，

理由如下：因为，

所以函数不是“局部奇函数”；

（2）因为函数为定义在，上的“局部奇函数”，

则，即，则，

当，时，令，

则函数在上单调递增，在，上单调递减，

所以当时，，当或2时，，

所以；

（3）假设函数是定义在上的“局部奇函数”，

则有，即，

化简得：，

令，则，

所以在，上有解，

令，

1：当（2）即，解得时，

在，上有解，

（2）时，要满足题意只需，解得，

综上，实数的范围为．

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