河南省确山县第一高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题A(含答案)
展开2022-2023年确山一高高二上期数学试题A
一、选择题
1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,如果规定每位同学必须报名,则不同的报名方法共有( )
A.10种 B.20种 C.25种 D.32种
2.若直线、的方向向量分别为,,则与的位置关系是( )
A. B. C.、相交不垂直 D.不能确定
3.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线交拋物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别记为M,N,若,则的面积为( )
A. B.4 C. D.2
4.现有分别来自三个地区的10名,15名和25名考生的报名表,其中女生报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区的报名表,则所取到的是女生报名表的概率为( )
A. B. C. D.
5.若椭圆的左、右焦点为、,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中不正确的是( )
A.当点P不在x轴上时,的周长是6 B.当点P不在x轴上时,面积的最大值为
C.存在点P,使 D.的取值范围是
6.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.已知分别为双曲线的左、右顶点,点P为双曲线C上任意一点,记直线,直线的斜率分别为.若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
9.的展开式中,含的系数为( )
A.51 B.8 C.9 D.10
10.甲、乙两队进行羽毛球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若甲队每局获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
11.如图所示,已知抛物线过点,圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线的左,右顶点分别是,,圆与的渐近线在第一象限的交点为,直线交的右支于点,若△是等腰三角形,且的内角平分线与轴平行,则的离心率为( )
A.2 B. C. D.
二.填空题
13.若,则___________.
14.若,则x的可能的值是___________.
15.已知是双曲线的左、右焦点,双曲线上一点P满足,则△的面积是________.
16.已知曲线的方程是,给出下列四个结论:
①曲线与两坐标轴有公共点; ②曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形;
③若点,在曲线上,则的最大值是; ④曲线围成图形的面积大小在区间内.
所有正确结论的序号是______.
三.解答题
17.已知1,当k为何值时:(1)方程表示双曲线; (2)表示焦点在x轴上的双曲线; (3)表示焦点在y轴上的双曲线.
18.如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为,BD的中点,点G在CD上,且.
(1)求证:; (2)求EF与C1G所成角的余弦值.
19.为弘扬奥运精神,某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛,共有两道题目,一次回答一道题目.规则如下:
①抛一次质地均匀的硬币,若正面朝上,则由甲回答一个问题,若反面朝上,则由乙回答一个问题.
②回答正确者得10分,另一人得0分;回答错误者得0分,另一人得5分.
③若两道题目全部回答完,则比赛结束,计算两人的最终得分.
已知甲答对每道题目的概率为,乙答对每道题目的概率为,且两人每道题目是否回答正确相互独立.
(1)求乙同学最终得10分的概率; (2)记为甲同学的最终得分,求的概率.
20.已知过坐标原点O的一条直线与函数的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D,O在同一条直线上; (2)当直线BC的斜率为0时,求点A的坐标.
21.如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.(1)证明:; (2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
22.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线l:交C于P,Q两点,且.已知点,且圆M与l相切. (1)求C,圆M的方程; (2)设是C上的三个点,直线,均与圆M相切.判断直线与圆M的位置关系,并说明理由.
数学试题A
1.D
【详解】如果规定每位同学必须报名,则每个同学都有2种选择,根据分步乘法计数原理,
知不同的报名方法共有(种),故选:D.
2.A
【详解】由题意,直线、的方向向量分别为,,
,∴与的位置关系是.故选:A.
3.A
【详解】法一:由题意可知,,则,抛物线的准线方程为直线,
则,,
因为,所以,所以,所以,
所以,,所以.因为,
所以,解得,所以,点F到AM的距离为,
所以.
法二:因为,
所以,所以,即.
连接FM,又,所以为等边三角形.
易得,所以.故选:A.
4.D
【详解】设A=“所取到的是女生报名表”,“取到第i个地区的报名表”,,2,3,
由题意得.故选:D.
5.C
【详解】由椭圆方程可知,,从而.
对于选项A;根据椭圆定义,,又,所以的周长是 ,故选项A正确;
对于选项B:设点,因为,则.
因为,则面积的最大值为,故选项B正确;
对于选项C:由椭圆性质可知,当点为椭圆短轴的一个端点时,为最大.
此时,,又,则为正三角形,,
所以不存在点,使,故选项C错误;对于选项D:由椭圆的性质可知,当点为椭圆的右顶点时,取最大值,此时;当点为椭圆的左顶点时,取最小值,此时,所以,故选项D正确.故选:C.
6.A
【详解】的展开式通项为,
因为,
在中,令,可得,
在中,令,可得,
所以,的展开式中的常数项为.故选:A.
7.A【详解】依题意,设,则,
∴,又,
∴,故,即.故选:A
8.A
【详解】设与直线平行的直线方程为,
将点代入直线方程可得,解得.
则所求直线方程为.故A正确.
9.A
【详解】的展开式的通项公式为,r=0,1,2,3,4,5,
而的展开式的通项公式为,.
所以.令,可得:或或,
故的系数为.故选:A.
10.B
【详解】由题意知:每局甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,
∴至少在两局内甲队赢一局,甲队才能获得冠军,
当第一局甲队获胜,其概率为;当第一局甲队输,第二局甲队赢,其概率为.
∴甲队获得冠军的概率为.故选:B.
11.D
【详解】由题设,16=2p×2,则2p=8,故抛物线的标准方程:,则焦点F(2,0),
由直线PQ过抛物线的焦点,则,
圆C2:圆心为(2,0),半径1,
,
当且仅当时等号成立,故的最小值为13.故选:D
12.B
【详解】联立且在第一象限,可得,而,,
所以,,
由题设,,故△是等腰直角三角形,
所以,而的内角平分线与轴平行,
所以,又,可得,
则,可得,
所以.
故选:B
13.1或2
【详解】
因为,由组合数的性质得或,
所以或2.故答案为:1或2
14.1或2或3.【详解】由题得或
∴或,又,且,
∴的可能的值是或或.故答案为:1或2或3.
15.2【详解】不妨假设在左支上,则,又,
所以,而,则,
所以,故,
综上,△的面积是.
故答案为:2.
16.②③【详解】根据题意,曲线的方程是,必有且,
当,时,方程为,当,时,方程为,
当,时,方程为,当,时,方程为,
作出图象:
依次分析个结论:
对于①,由于,,曲线与坐标轴没有交点,故①错误;
对于②,由图可知,曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形,故②正确;
对于③,若点,在曲线上,则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值,
故的最大值是圆心距加两个半径,为,故③正确;
对于④,当,时,方程为与坐标轴的交点,,
则第一象限面积为,
故总的面积大于,故④错误.
故答案为:.
17.(1)k<-3或1<k<3;(2)1<k<3;(3)k<-3.
【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负,即可得出结论.
【详解】(1)∵1,即,方程表示双曲线,
∴(k-1)(|k|-3)<0,
可得k<-3或1<k<3;
(2)∵1,即,焦点在x轴上的双曲线,
则,∴1<k<3;
(3)∵1,即,焦点在y轴上的双曲线,
则,
∴k<-3.
18.(1)证明见解析;(2).
【详解】(1)建立以D点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,
则,,
所以,即,
所以.
(2)由(1)知,,,
则,
因为EF与CG所成角的范围为,所以其夹角余弦值为.
19.(1)
(2)
【分析】(1)按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可;
(2)甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分,分别计算概率再相加即可.
【详解】(1)设乙同学最终得10分为事件,
则可能情况为甲回答两题且错两题,甲、乙各答一题且各对一题,乙回答两题且对一题错一题,则,
即乙同学最终得10分的概率是.
(2)设“”为事件,
,
,.
故.
20.(1)证明见解析
(2)
(1)解:证明:如图,设点,,则,.
由A,O,B三点共线,知,
所以,即,
所以,即.
所以点C,D,O在同一条直线上.
(2)
当直线BC的斜率为0时,轴,
则,即,所以.
由(1)知,所以,解得,
所以点A的坐标为.
21.(1)证明见解析;(2).
【详解】(1)因为,O是中点,所以,
因为平面,平面平面,
且平面平面,所以平面.
因为平面,所以.
(2)[方法一]:通性通法—坐标法
如图所示,以O为坐标原点,为轴,为y轴,垂直且过O的直线为x轴,建立空间直角坐标系,
则,设,
所以,
设为平面的法向量,
则由可求得平面的一个法向量为.
又平面的一个法向量为,
所以,解得.
又点C到平面的距离为,所以,
所以三棱锥的体积为.
[方法二]【最优解】:作出二面角的平面角
如图所示,作,垂足为点G.
作,垂足为点F,连结,则.
因为平面,所以平面,
为二面角的平面角.
因为,所以.
由已知得,故.
又,所以.
因为,
.
22.(1)抛物线,方程为;(2)相切,理由见解析
【详解】(1)依题意设抛物线,
,
所以抛物线的方程为,
与相切,所以半径为,
所以的方程为;
(2)[方法一]:设
若斜率不存在,则方程为或,
若方程为,根据对称性不妨设,
则过与圆相切的另一条直线方程为,
此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在,不合题意;
若方程为,根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为,
又,
,此时直线关于轴对称,
所以直线与圆相切;
若直线斜率均存在,
则,
所以直线方程为,
整理得,
同理直线的方程为,
直线的方程为,
与圆相切,
整理得,
与圆相切,同理
所以为方程的两根,
,
到直线的距离为:
,
所以直线与圆相切;
综上若直线与圆相切,则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】:设.
当时,同解法1.
当时,直线的方程为,即.
由直线与相切得,化简得,
同理,由直线与相切得.
因为方程同时经过点,所以的直线方程为,点M到直线距离为.
所以直线与相切.
综上所述,若直线与相切,则直线与相切.