河南省郑州市励德双语学校2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题(含答案)

这是一份河南省郑州市励德双语学校2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了设集合，则，设，则，已知双曲线的离心率为2，则，已知向量满足，则，已知数列的前项和满足，则，若直线l等内容，欢迎下载使用。
郑州励德双语学校2022-2023学年上学期期末考试高三理科数学试题（时间120分钟，共150分）一､单选题（本题共60分，每小题5分）1.设集合，则（    ）A.    B.    C.    D.2.设，则（    ）A.    B.    C.    D.2
3.已知双曲线的离心率为2，则（    ）A.2    B.    C.    D.1
4.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分､1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（    ）A.中位数    B.平均数C.方差    D.极差5.已知向量满足，则（    ）A.4    B.3    C.2    D.0
6.小陈准备将新买的《尚书·礼记》､《左传》､《孟子》､《论语》､《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》､《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（    ）A.18种    B.24种    C.36种    D.48种7.如图所示三视图表示的几何体的外接球表面积为，则该几何体的体积为（    ）A.    B.36    C.    D.8.若将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数图象的对称轴可能是（    ）A.直线    B.直线C.直线    D.直线9.已知数列的前项和满足，则（    ）A.511    B.512    C.1023    D.102410.若直线l：与曲线C：有两个公共点，则实数m的取值范围为（    ）A.    B.C.    D.11.等额分付资本回收是指起初投资P，在利率i，回收周期数n为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：.某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在（    ）年内能全部收回本利和.（，，）A.4    B.5    C.6    D.712.已知双曲线的左､右焦点分别为，点为第一象限内双曲线上的点，点为点关于原点的对称点.若，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）A.    B.C.    D.二､填空题（本题共20分，每小题5分）13.已知，y满足约束条件，则的最大值为______.14.如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.15.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.16.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.三､解答题（本题共70分，17-21每题12分，22（或23）10分）（一）必考题：60分17.2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强､农村美､农民富全面实现.某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：年份201220132014201520162017201820192020年份代码x123456789盈利y（百万）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根据表中数据判断年盈利与年份代码是否具有线性相关性；（2）若年盈利与年份代码具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）.参考数据及公式：，，，，，统计中用相关系数来衡量变量之间的线性关系的强弱，当时，变量线性相关.18.设是等比数列，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.19.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上.（1）当AC1平面B1CD时，确定D点的位置并证明；（2）当时，求二面角B-CD-B1的余弦值.20.已知椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得直线，关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题做答.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线，的交点为A，，求的值.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：1.A【分析】先求出集合，再求出交集.【详解】由题意得，或，则.故选A.【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目.2.B【详解】试题分析：根据复数运算法则可得：，由模的运算可得：.考点：复数的运算3.D
【详解】由离心率可得：，解得：.4.A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案.【详解】设9位评委评分按从小到大排列为.则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确.②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确.④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确.【点睛】本题旨在考查学生对中位数､平均数､方差､极差本质的理解.5.B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为，所以选B.点睛：向量加减乘：6.B【分析】先将《论语》､《诗经》两书捆绑，然后排好《尚书·礼记》，再排好剩余3个位置，最后排《论语》､《诗经》，根据分步乘法，即可求得结果.【详解】先将《论语》､《诗经》两书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》､《诗经》，两书的排法种类为.所以，不同的摆放方法有种.故选：B.7.C【分析】根据三视图还原出几何体，由外接球的面积得球半径，据此求出，即可得出棱锥体积.【详解】由三视图可知，几何体为一条侧棱垂直底面矩形的四棱锥，如图，其中，由外接球的表面积，可得外接球半径，设外接球球心为，底面矩形的外接圆圆心为，则平面，所以，过作于，则由知为中点，由四边形为矩形知，，在中，，即，解得，所以.故选：C8.C【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据平移变换和周期变换的特征求出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性即可得出答案.【详解】解：由题得，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，令，得，当时，得函数图象的一条对称轴为直线，而，所以都不是函数的对称轴.故选：C.9.B【分析】根据与的关系可得出数列为等比数列，根据通项公式求解即可.【详解】由题可知：，①当时，，解得：②当时，，则，当时，，解得，所以，即对成立，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故，当时，.故选：B.10.B【分析】依题意作出曲线C的图象，作出直线的图象，平行移动直线，即可得到当直线l介于与之间时，直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，即可求出实数m的取值范围.【详解】当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，如图可知，当直线l介于直线和（与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l与曲线C有两个公共点.设的方程为，，则有，联立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范围为.故选：B.11.C【分析】根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解.【详解】由题意，知万元，万元，，由公式可得，整理得，等式两边取对数，得故选：C.12.B【分析】方法一：设，，易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得；利用双曲线定义和勾股定理可得，即，集合对勾函数单调性可求得，解不等式即可求得离心率的范围；方法二：易知四边形为矩形，结合已知不等式可求得，设，可得；利用双曲线定义知，由此可得离心率，根据范围可确定关于单调递减，则可在时取得最大值，时取得最小值，结合同角三角函数关系可求得结果.【详解】方法一：设，，由题意知：，四边形为矩形，，由得：，即，；由双曲线定义知：…①；由勾股定理可得：…②；①式平方与②式相减得：，即…③；由②③得：，即；令，，在上单调递增，，即，解得：，又，，即双曲线离心率的取值范围为；方法二：如图所示，由对称性可知：四边形为平行四边形，，，四边形为矩形；，由得：，；设，则，，，，；，，，单调递增且恒为正，关于单调递减，当时，，，此时；当时，，，此时；双曲线的离心率的取值范围为.故选：B.13.【分析】画出可行域，表示直线在轴的截距，根据图像得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，，即，表示直线在轴的截距，，解得，当直线过点时，最大为.故答案为：14.7【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴，解得，故答案为：715.【分析】当时，代入条件即可得解.【详解】因为是奇函数，且当时，.又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即.【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.渗透了数学运算､直观想象素养.使用转化思想得出答案.16.【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出､，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【详解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.17.（1）具有线性相关性（2）百万元【分析】（1）根据数据计算出，及，代入的公式中计算出的值即可判断；（2）根据数据可求得，再将代入计算即可.【详解】（1）解：因为，，所以，因为，所以年盈利与年份代码具有线性相关性；（2）解：因为，，所以，当时，，所以该企业2021年年盈利约为7.25百万元.18.（1）（2）【分析】（1）由已知求得公比，进一步求出首项，代入等比数列的通项公式即可；（2）利用等比数列求和公式求和即可.【详解】（1）设数列的公比为q，则由已知有，，所以，.因此.（2）由（1）则前n项和19.（1）D是AB的中点，证明见解析（2）【分析】（1）连接BC1，交B1C于点E，连接DE，由题意证得DEAC1，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，分别求出平面和平面B1CD的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【详解】（1）当D是AB的中点时，AC1平面B1CD.证明：连接BC1，交B1C于点E，连接DE.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为的中位线，所以DEAC1.因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1平面B1CD.（2）由AB=10，AC=8，BC=6得AC⊥BC.以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则B（6，0，0），A（0，8，0），.设，因为点D在线段AB上，且，即.所以a=4，b=.所以=（-6，0，-8），=（4，，0）.平面BCD的一个法向量为=（0，0，1），设平面B1CD的法向量为=（x，y，1），由·=0，·=0得所以，y=2，，.设二面角B-CD-B1的大小为θ，cosθ=，所以二面角B-CD-B1的余弦值为.20.（1）（2）存在点【分析】（1）依题意可得，再根据离心率求出､从而求出，即可得解.（2）假设存在点，使得直线，关于轴对称.当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元､列出韦达定理，设直线，的斜率分别设为，，依题意可得，即可得到方程，从而求出的值，即可得解.【详解】（1）解：因为长轴长为，所以，因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程为.（2）解：假设存在点，使得直线，关于轴对称.当直线的斜率不为零时，可设直线的方程为，联立，得，设，，则，①.显然直线，的斜率均存在，分别设为，，则，所以，即②，把①代入②化简得，该式对任意的恒成立，则，所以存在点，使直线，关于轴对称，当直线的斜率为零时､，此时直线，关于轴对称，综上所述，存在点，使得直线，关于轴对称.21.（1）（2）（1）求，根据导数的几何意义求解斜率，求得切点坐标后，再根据直线方程求解方法即可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性，得函数的最值，根据函数的图像与的图像最多有一个公共点，列不等式求解实数的取值范围即可.（1）解：依题，，又则在点处的切线方程为：，即.（2）解：令，则设，则，又，所以恒成立，即函数在上单调递增，又时，；时，；则存在唯一的正实数使得，则，则，故当）时，，）时，，所以==.又，则，所以=，若函数的图像与的图像最多有一个公共点，则，即，于是有，且，所以，当且仅当的时，等号成立，故，所以解得.【点睛】本题考查了函数切线方程､函数方程的根与导数的综合应用，属于难题.解决本题函数方程的根的问题的关键是构造差函数确定函数单调性，但是由于导函数的零点无法直接求解，故涉及“隐零点”问题的应用，从而设隐零点使得，从而确定函数的单调性得最值=，于是可得参数不等式，求得结果.22.（1），：；（2）6【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）化直角方程为标准的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理求解.【详解】（1）由消去参数得，即为的普通方程，，，平方整理得，即为的直角坐标方程；（2）曲线为直线，其标准参数方程为（为参数），代入的直角坐标方程并化简得，对应的参数分别为，则，所以.23.（1）（2）【分析】（1）去绝对值得分段函数，解分段函数不等式即可；（2）讨论，，其中时不等式恒成立等价于恒成立，化简并求出的最大值即可.【详解】（1），当，由解得；当，由解得；当，，无解.综上，不等式的解集为；（2）当时，，不等式成立；当时，不等式恒成立等价于恒成立，，∴，故.∴实数的取值范围为.