天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高三上学期期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高三（上）期末数学试卷

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）

1．（5分）设全集U＝R，集合A，B＝{x|2x≤8}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]

2．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

3．（5分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（　　）

A．众数为82.5 

B．中位数为85 

C．平均数为86 

D．有一半以上干部的成绩在80～90分之间

5．（5分）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ln（x），H（x）的解析式是由函数f（x）和g（x）的解析式组合而成，函数H（x）部分图象如图所示，则H（x）解析式可能为（　　）

A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）•g（x） D．

6．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD||AB|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

7．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）

A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

10．（5分）i是虚数单位，复数　   　．

11．（5分）函数y＝loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l的方程是　   　．

12．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为　   　．

13．（5分）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则P（A|B）＝　   　．

14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　   　时，则有最小值为 　   　．

15．（5分）已知函数f（x），若a＝0，则函数f（x）的值域为 　   　；若函数y＝f（x）﹣2恰有三个零点，则实数a的取值范围是 　   　．

三、解答题（共5题，共75分）

16．（14分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若a，b＝2．求：

（ⅰ）边长c；

（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．

17．（15分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．

（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；

（Ⅱ）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

18．（15分）已知数列{an}，{bn}，Sn是数列{an}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an＝2Sn+3，数列{bn}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式．

（Ⅱ）记cn，求数列{cn}的前n项和Tn．

（Ⅲ）求ckck+1．

19．（15分）椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．

（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

20．（16分）已知函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单减区间；

（2）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；

（3）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．

2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的）

1．（5分）设全集U＝R，集合A，B＝{x|2x≤8}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A．（﹣∞，1） B．（﹣1，1） C．[1，3] D．（1，3]

【解答】解：由题意，可得，

集合B＝{x|2x≤8}＝{x|2x≤23}＝{x|x≤3}，

所以∁RA＝{x|x＞1}，

则（∁RA）∩B＝（1，3]．

故选：D．

2．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【解答】解：∵ ，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，

∴a＜c＜b．

故选：B．

3．（5分）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，

①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，

②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，

∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，

故选：A．

4．（5分）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（　　）

A．众数为82.5 

B．中位数为85 

C．平均数为86 

D．有一半以上干部的成绩在80～90分之间

【解答】解：由频率直方图知：众数为82.5，A正确；

又（0.01+0.03+0.06）×5＝0.5，即中位数为85，B正确；

由（0.01×72.5+0.03×77.5+0.06×82.5+0.05×87.5+0.03×92.5+0.02×97.5）×5＝85.5，

所以平均数为85.5，C错误；

由（0.06+0.05）×5＝0.55＞0.5，则有一半以上干部的成绩在80﹣90分之间，D正确．

故选：C．

5．（5分）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝ln（x），H（x）的解析式是由函数f（x）和g（x）的解析式组合而成，函数H（x）部分图象如图所示，则H（x）解析式可能为（　　）

A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）•g（x） D．

【解答】解：由图象知，该函数是奇函数，

易知f（x）是奇函数，g（﹣x）+g（x）＝ln1＝0，故g（x）也是奇函数，

则y＝f（x）•g（x），y两个函数都是偶函数，故排除CD，

y＝f（x）±g（x）两个函数都是奇函数，但x→+∞时，f（x）﹣g（x）→﹣∞，故排除B，

故选：A．

6．（5分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD||AB|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x，

由题意可得：，渐近线的方程为：yx，

可得A（，），B（，），

C（，），D（，），

所以|AB|，|CD|），

由|CD||AB|，

解得：ca，所以双曲线的离心率e，

故选：A．

7．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，

所以底面ABC为等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，

所以OO1⊥平面ABC，

在Rt△ABC中，AB，则，

在Rt△AOO1中，，

故三棱锥O﹣ABC的体积为．

故选：A．

8．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

【解答】解：由题意得两颗星的星等与亮度满足，

令m2＝﹣1.45，m1＝﹣26.7，

则，

故选：A．

9．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）

A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]

【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；

函数f（x）＝sin（ωx）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，

ωx∈（，ωπ），

∴ωπ3π，

求得ω，

故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

10．（5分）i是虚数单位，复数　4﹣i　．

【解答】解：复数4﹣i，

故答案为：4﹣i．

11．（5分）函数y＝loga（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l的方程是　4x﹣3y+1＝0或x＝2　．

【解答】解：当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝loga1+3＝3，即函数过定点A（2，3）．

由圆的方程可得圆心C（1，0），半径r＝1，

当切线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时直线和圆相切，

当直线斜率k存在时，直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），

即kx﹣y+3﹣2k＝0，

圆心（1，0）到直线的距离d，

即|k﹣3|，

平方的k2﹣6k+9＝1+k2，

即k，此时对应的直线方程为4x﹣3y+1＝0，

综上切线方程为4x﹣3y+1＝0或x＝2．

故答案为：4x﹣3y+1＝0或x＝2．

12．（5分）已知（1+x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1+x）n的系数和为　64　．

【解答】解：由题意，，且，

所以n＝6，

所以令x＝1，（1+x）6的系数和为26＝64．

故答案为：64．

13．（5分）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则P（A|B）＝　　．

【解答】解：依题意，，

听以．

故答案为：．

14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，当λ＝　　时，则有最小值为 　　．

【解答】解：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，

则，

又，

则（1），

，

则4λ+4（），

又，

当且仅当，即时取等号，

即当λ时，则有最小值为，

故答案为：；．

15．（5分）已知函数f（x），若a＝0，则函数f（x）的值域为 　[﹣4，+∞）　；若函数y＝f（x）﹣2恰有三个零点，则实数a的取值范围是 　（﹣3，6）　．

【解答】解：函数f（x），

若a＝0，则函数f（x），

当x≥1时，f（x）＝lnx+1单调递增，f（1）＝1，故f（x）≥1，

当x＜1时，f（x）＝x2+4x，对称轴为x＝﹣2，f（﹣2）＝﹣4，故f（x）≥﹣4，

故f（x）的值域为[﹣4，+∞）．

若函数y＝f（x）﹣2恰有三个零点，

当x≥1时，令lnx+1＝2，解得x＝e，

此时函数y＝f（x）﹣2有且只有1个零点e，

则当x＜1时，函数y＝f（x）﹣2必有2个零点，即x2+4x+a＝2在x＜1时有2个根．

设g（x）＝x2+4x+a﹣2＝（x+2）2+a﹣6，

则g（x）在（﹣∞，1）上有2个零点．

g（x）的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝﹣2，

故g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，

∴g（x）min＝g（﹣2），

要使g（x）在（﹣∞，1）上有2个零点，需，解得﹣3＜a＜6．

故a∈（﹣3，6）．

故答案为：[﹣4，+∞）；（﹣3，6）．

三、解答题（共5题，共75分）

16．（14分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若a，b＝2．求：

（ⅰ）边长c；

（ⅱ）sin（2B﹣C）的值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得（2分）

∴，∴，

∵0＜C＜π，…………（4分）

∴（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）因为，，

由余弦定理得，

∴（7分）

（ⅱ）由，…………………（9分）

因为B为锐角，所以（10分）

，（12分）

（14分）

17．（15分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．

（Ⅰ）求证：AF∥平面CDE；

（Ⅱ）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，

∴BC⊥CE，BC⊥CD，

又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，

∴DC⊥平面BCEF．

以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：

A（2，0，4），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），

则，（2，0，0）．

∵BC⊥CD，BC⊥CE，

∴为平面CDE的一个法向量．

又 0．AF⊄平面CDE．

∴AF∥平面CDE．

（Ⅱ）设平面ADE的一个法向量为，

则（﹣2，0，0），（0，4，﹣4），

 得（0，1，1）

∵DC⊥平面BCEF，∴平面BCEF一个法向量为，

设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α，

则cosα

因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．

（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面ADE一个法向量为 得（0，1，1），

∵，

设直线EF与平面ADE所成角为θ，则

因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为．

18．（15分）已知数列{an}，{bn}，Sn是数列{an}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an＝2Sn+3，数列{bn}是等差数列，b1＝log3a1，且b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式．

（Ⅱ）记cn，求数列{cn}的前n项和Tn．

（Ⅲ）求ckck+1．

【解答】解：（Ⅰ）对于任意n∈N*，都有3an＝2Sn+3，

可得n＝1时，3a1＝2S1+3＝2a1+3，解得a1＝3，

n≥2时，3an﹣1＝2Sn﹣1+3，又3an＝2Sn+3，

可得3an﹣3an﹣1＝2Sn+3﹣2Sn﹣1﹣3＝2an，

即为an＝3an﹣1，

所以an＝3•3n﹣1＝3n；

数列{bn}是等差数列，设公差为d，

b1＝log3a1＝log33＝1，

由b2+5，b4+1，b6﹣3成等比数列，可得（b4+1）2＝（b2+5）（b6﹣3），

即为（2+3d）2＝（6+d）（5d﹣2），解得d＝2，

则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；

（Ⅱ）cn，

当n为偶数时，Tn＝（3+27+...+3n﹣1）+（1+3+...+n﹣1）

n2；

n为奇数时，Tn＝Tn+1﹣n（n+1）2﹣n．

所以Tn；

（Ⅲ）ckck+1＝c1c2+c2c3+...+c2n﹣1c2n+c2nc2n+1，

由c2n﹣1c2n+c2nc2n+1＝c2n（c2n﹣1+2n+1）＝（2n﹣1）（32n﹣1+32n+1）（2n﹣1）•9n，

设Rn＝1•91+3•92+5•93+...+（2n﹣1）•9n，

9Rn＝1•92+3•93+5•94+...+（2n﹣1）•9n+1，

两式相减可得﹣8Rn＝9+2（92+93+...+9n）﹣（2n﹣1）•9n+1

＝9+2•（2n﹣1）•9n+1，

化简可得Rn•9n+1，

所以ckck+1•9n+1．

19．（15分）椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点H（0，1），若直线y＝x+t与椭圆C相交于两点C，D且直线HC，HD的斜率之和为﹣2，求实数t的值．

（Ⅲ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由e，即，且3，

解得a＝2，b，

则椭圆的方程为1：

（Ⅱ）联立直线y＝x+t，与椭圆方程3x2+4y2＝12，可得7x2+8tx+4t2﹣12＝0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），可得Δ＝64t2﹣28（4t2﹣12）＞0，解得t，

x1+x2，x1x2，

则kHC+kHD2+（t﹣1）•2+（t﹣1）•（）＝﹣2，

解得t＝2（﹣3舍去）；

（Ⅲ）由椭圆方程可得F1（﹣1，0），F2（1，0），

由角平分线的性质定理可得，即为，

可得，

所以|PF2|＝2（1﹣m）∈（a﹣c，a+c），即1＜2（1﹣m）＜3，

解得m∈（，）．

20．（16分）已知函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单减区间；

（2）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；

（3）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．

【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xex﹣1﹣x﹣lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）（xex﹣1﹣1），

令g（x）＝xex﹣1﹣1，g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，

g（x）在（0，+∞）递增，而g（1）＝0，即f′（x）＝0，

故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（0，1）递减；

（2）∵函数f（x）＝xex﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．

∴f′（x）（xex﹣1﹣a），（x＞0）．

令g（x）＝xex﹣1﹣a，

则g′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．

又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．

∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；

当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．

∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴f（x）存在极小值点．

综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．

证明：（3）由（1）知x0a＝0，即a＝x0．

∴lna＝lnx0+x0﹣1，

f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）．

由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．

令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，

令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1，

当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；

当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；

∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，

∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即ex﹣1≥x，

∴x0＞0，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，

∴f（x0）＝x0（1﹣x0﹣lnx0）≥x02•2（1﹣x0）＝2（x02﹣x03），

∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．