辽宁省名校联盟2023届高考模拟数学试题（一）(含答案)

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2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

数学（一）

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{－2，0，－1，1，2}，集合，B＝{−1，1}，则（    ）

A．{－2，0} B．{－2，2} C．{－2，0，2} D．{0，1，2}

2．已知复数，且，，其中a，b为实数，则（    ）

A．－2 B．0 C．2 D．3

3．已知向量，夹角的余弦值为，且，，则（    ）

A．－36 B．－12 C．6 D．36

4．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某高中团委举办了共青团史知识竞赛（满分100分），其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800，600，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为85，90，全校共青团员成绩的样本平均数为88，则高三年级共青团员成绩的样本平均数为（    ）

A．87 B．89 C．90 D．91

5．已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n日布施了子安贝（其中1≤n≤31，），数列的前n项和为．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ）

A．π B． C． D．2π

8．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N在C上，且，，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在直三棱柱中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，，E，F分别满足，，则（    ）

A．E，F，A，B四点共面  B．B1C⊥平面BEF

C．异面直线AE与BB1所成的角大于60° D．存在过AB的平面与平面EFC平行

11．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（    ）

A．  B．

C． D．若，则p的取值范围为

12．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R．且满足，，，则（    ）

A．  B．

C．的图像关于点（3，1）对称 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中除常数项外的各项系数和为______．

14．过三点A（－2，0），B（－4，2），C（2，－2）中的两点且圆心在直线y＝3x上的圆的标准方程为______．（写出一个满足条件的方程即可）

15．已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为______．

16．已知和是函数的两个极值点，且，则m的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

记正项数列的前n项积为，且．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）记，求数列的前2n项和．

18．（12分）

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）证明：；

（2）若，，求△ABC的面积．

19．（12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，AD⊥CD，AD⊥PA，，．

（1）证明：平面PBD⊥平面PAD；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

20．（12分）

5G技术对社会和国家十分重要，从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技公司生产一种5G手机的核心部件，下表统计了该公司2017－2021年在该部件上的研发投入x（单位：千万元）与收益y（单位：亿元）的数据，结果如下：

（1）求研发投入x与收益y的相关系数r（精确到0.01）；

（2）由表格可知y与x线性相关，试建立y关于x的线性回归方程，并估计当x为9千万元时，该公司生产这种5G手机的核心部件的收益为多少亿元；

（3）现从表格中的5组数据中随机抽取2组数据并结合公司的其他信息作进一步调研，记其中抽中研发投入超出4千万元的组数为X，求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：对于一组数据（i＝1，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，．

21．（12分）

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为3，C的离心率为．

（1）求C的方程；

（2）不过C的左顶点A的直线l与C相交于P，Q两点，且直线AP与AQ的斜率之积恰好等于．试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（12分）

已知函数（）．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．

数学(一)

一、选择题

1．B【解析】由已知得，所以，故．故选B项．

2．C【解析】由题意得，即，所以解得所以．故选C项．

3．A【解析】

．故选A项．

4．C【解析】设高三年级共青团员成绩的样本平均数为x，则，解得．故选C项．

5．B【解析】由题意知点A为C的准线与x轴的交点，如图，过点M作MN垂直于准线于点N，令，则，由抛物线的定义可得，所以，所以．又，所以∠MAF＝∠AMN，所以．在△AMF中，由正弦定理得，所以，所以．故选B项．

6．B【解析】由题意可知，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故(1≤n≤31)，所以．由，得，整理得对任意1≤n≤31，且恒成立，又，当且仅当，即n＝2时等号成立，所以t＜15，即实数t的取值范围是．故选B项．

7．C【解析】如图，取AC的中点O，连接OF，OB，因为∠ADC＝∠ABC＝90°，所以，即O为球心，则球O的半径R＝2．又AB＝BC，所以OB⊥AC，又平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，所以OB⊥平面ACD．设CF＝x，则，所以，所以三棱锥E－ACF的体积，

当时，V取得最大值．由于OA＝OB＝OC＝OD，在△COF中，由余弦定理得，根据球的性质可知，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，设此时截面圆的半径为r，所以，则截面面积的最小值为．故选C项．

8．D【解析】由可知，点F1是△MNF2的外心，由得，即，所以点F1是△MNF2的重心，所以△MNF2是等边三角形，由对称性可知MN⊥F1F2．且，∠MF1N＝120°，不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为，纵坐标为，故点．又点M在双曲线(a＞0，b＞0)上，所以，即，整理得，所以，解得，所以，又e＞1，所以．故选D项．

二、选择题

9．BCD【解析】对于A项，，故A项错误；对于B项，由a＞0与b＞c，得ab＞ac，故B项正确；对于C项，由题a＞0＞b＞c，得－b＜－c，所以0＜a－b＜a－c，所以，所以，故C项正确；对于D项，由题得0＜－b＜－c，所以(－b)2＜(－c)2，即b2＜c2，故D项正确．故选BCD项．

10．ABD【解析】对于A项，由题得，所以，又，所以，所以E，F，A，B四点共面，A项正确；对于B项，易知，，所以，所以∠B1CB＝∠B1BF，所以∠B1CB＋∠FBC＝∠B1BF＋∠FBC＝90°，所以FB⊥B1C，易证得B1C⊥EF，，所以B1C⊥平面BEF，B项正确；对于C项，易知∠A1AE为异面直线AE与BB1所成的角，而，所以∠A1AE＜60°，C项错误；对于D项，因为，平面EFC，平面EFC，所以平面EFC，故存在过AB的平面与平面EFC平行，D项正确．故选ABD项．

11．AC【解析】小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故0＜p＜16，A项正确；小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或者②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率，B项错误；第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，因此，C项正确；，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，D项错误．故选AC项．

12．BC【解析】因为g(4－x)＋g(x)＝0，所以y＝g(x)的图像关于点(2，0)对称，所以g(2－x)＝－g(x＋2)，因为g(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋2)＋f(x－2)＝5，即g(x＋2)＝5－f(x－2)，因为f(x)－g(2－x)＝3，所以f(x)＋g(x＋2)＝3，代入得f(x)＋[5－f(x－2)]＝3，即f(x)－f(x－2)＝－2，A项错误；因为定义域为R的函数g(x)的图像关于点(2，0)对称，所以g(2)＝0，B项正确；因为g(x)＋f(x－4)＝5，所以g(x＋4)＋f(x)＝5，与f(x)－g(2－x)＝3，联立得g(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以y＝g(x)的图像关于点(3，1)对称，C项正确；由f(x)－g(2－x)＝3，得f(0)－g(2)＝3，即f(0)＝3，f(2)＝－2＋f(0)＝1．因为g(x＋4)＋g(2－x)＝2，所以2g（3）＝2，所以g（3）＝1，所以f(1)＝3－g（3）＝2．记an＝f(2n−1)，bn＝f(2n)，则数列是以2为首项，－2为公差的等差数列，数列是以1为首项，－2为公差的等差数列，故an＝2＋(n−1)(−2)＝−2n＋4，bn＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，所以，D项错误．故选BC项．

三、填空题

13．－5231【解析】展开式的通项公式为．令，得r＝6，则展开式的常数项是．令x＝1，得展开式中各项系数和为(1－3)7＝－128，所以展开式中除常数项外的各项系数和为－128－5103＝－5231．

14．(x－2)2＋(y－6)2＝52或(x＋1)2＋(y＋3)2＝10或(x－1)2＋(y－3)2＝26(写出符合要求的一个答案即可)【解析】若圆过A，B两点，则线段AB的中垂线方程为，即y＝x＋4，与y＝3x联立得圆心坐标为(2，6)，半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－6)2＝52；若圆过A，C两点，则线段AC的中垂线方程为，即y＝2x－1，与y＝3x联立得圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝10；若圆过B，C两点，则线段BC的中垂线方程为，即，与y＝3x联立得圆心坐标为(1，3)，半径为，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝26．

15．2【解析】依题意得，即．因为当时，，所以()，则()，解得()，令k＝0，则1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．

16．【解析】，故x＝x1和x＝x2是函数f′(x)＝0的两个零点，即是方程eˣ−2mx＝0的两个根，又f′(0)＝1，所以x1≠0，x2≠0，所以x＝x1和x＝x2是方程的两个根，所以函数的图像与直线y＝2m有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2．由于，所以当x＜0或0＜x＜1时，g′(x)＜0，当x＞1时，g′(x)＞0，故g(x)在区间(－∞，0)，(0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，且当x＞0时，，作出g(x)的图像如图所示：

由图可知x1，x2＞0，且2m＞e，因为x2≥3x1，所以取x2＝3x1，并令x1＝t(t＞0)，则x2＝3t，所以，解得，此时，故，即m的取值范围是．

四、解答题

17．（1）证明：由题意得(n≥2)，因为，所以(n≥2)，即(n≥2)，所以(n≥2)．

当n＝1时，a1＝T1，所以，解得T1＝3，故是以3为首项，2为公差的等差数列．

（2）解：由（1）可知，，所以，所以．

18．（1）证明：由题意得，

即，由正、余弦定理得，

整理得，即，又a＞0，b＞0，c＞0，所以b＋c＝2a，所以2a－b＝c．

（2）解：由（1）得，由得，

由余弦定理得，

即，所以，

所以△ABC的面积．

19．（1）证明：因为PA2＋PB2＝4＝AB2，所以PA⊥PB．

因为AD⊥CD，，所以AD⊥AB，

又AD⊥PA，，

所以AD⊥平面PAB，又平面PAB，所以PB⊥AD，

又，所以PB⊥平面PAD．

因为平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAD．

（2）解：取AB中点O，连接PO，OC，由PA＝PB，得PO⊥AB，

又AD⊥平面PAB，平面PAB，所以AD⊥PO，又，所以PO⊥平面ABCD，又OB，平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OC．

由O为AB的中点，AB＝2CD，四边形ABCD是直角梯形，可知四边形AOCD为矩形，所以OB⊥OC．

以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，A(－1，0，0)，，，．

设平面PBC的法向量为，则，则令b＝1，则．

设直线PA与平面PBC所成的角为θ，则，

即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．

20．解：（1）由题可得，，

，

，

所以．

（2）因为，，

所以y关于x的线性回归方程为．

当x＝9时，，所以此时该公司生产这种5G手机的核心部件收益估计为5亿元．

（3）易知X的可能取值为0，1，2，

，，，

所以X的分布列为

所以．

21．解：（1）根据题意得，解得

所以C的方程为．

（2）由（1）可知A(－2，0)，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

联立消去y整理得，，

所以，．

因为，所以

，

所以，

即，

所以，即，所以m＝2k或，均符合．

当m＝2k时，直线l：y＝kx＋2k恒过定点(－2，0)，因为直线不过点A，所以舍去；

当时，直线恒过定点．

当直线斜率不存在时，设直线l：x＝x0，不妨设P(x0，y0)，则Q(x0，－y0)，

则，且，

解得或x0＝－2(舍去)；

此时直线l过定点，综上，直线l恒过定点．

22．解：（1）当a＝2时，，

所以，又f(1)＝0，f′(1)＝1，所以所求切线方程为y＝x－1．

（2）(x＞0)，

所以，

当a≥0时，由g′(x)＜0，得x∈(0，1)，由g′(x)＞0，得x∈(1，＋∞)，

所以g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，

所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即a＞2．

当x∈(1，＋∞)时，，

因为，当x∈(0，1)时，－1＜x2－2x＜0，

所以，

所以，

所以g(x)在区间(0，1)，(1，＋∞)内各有一个零点，故a＞2满足题意；

当a＝－1时，因为g′(x)≤0，所以g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；

当－1＜a＜0时，因为当时，g′(x)＜0，当时，g′(x)＞0，

所以g(x)在区间(0，1)内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，

所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；

当a＜－1时．因为当时，g′(x)＜0，当时，g′(x)＞0，

所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间(1，＋∞)内单调递减，

所以g(x)的极小值为，

所以g(x)至多有一个零点，不符合题意．

综上，a的取值范围是(2，＋∞)．