专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质- 高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题01  圆锥曲线中心弦与中点弦的性质

溯本求源

推广延伸

推广1：如图，已知椭圆，为经过对称中心的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则．

【证明】设，，则，

，

．

推广2：如图，已知椭圆，为经过对称中心的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则．

【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．

归纳统一

已知二次曲线，为经过对称中心的弦，为该曲线上异于，的点，直线，斜率存在，则．

【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．

类比联想

中点弦性质：如图，设二次曲线：，，为该曲线上的两点，为弦中点，为坐标原点，则．

【证明】方法1：（代数证明）设，，

则中点．

，，

．

方法2：（几何证明）如下图，由于，易知，

∵为中心弦，∴，

∴．

经典赏析

类型1：直抒胸臆型

【例1】（2014江西）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于______________．

【答案】

【解析】由椭圆中点弦性质可得，则，故．

【例2】（2013新课标1）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1           B．＋＝1

C．＋＝1           D．＋＝1

【答案】D

【解析】，得，

∴=，又9==，解得=9，=18，

∴椭圆方程为，

故选D．

类型2：共线转化型

【例3】(2018浙江)已知点，椭圆()上两点，满足，则当=______________时，点横坐标的绝对值最大．

【答案】5

【解析】设，由，，得，即，

故中点为，由，得，

所以．

当时，最大值为4．故．

类型3：参数范围型

【例4】（2018全国卷Ⅲ节选）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．证明：．

【答案】证明见解析．

【解析】设，，则，，

上述两式相减，则．

由题设知，，故，于是．

由得，故．

【注意】解答题使用中点弦性质必须点差法证明．

类型4：几何转化型

【例5】已知椭圆：的左右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，是上异于的不同两点，满足，直线，交于点，求证：在定直线上．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），，，椭圆：．

（2）如图，设，直线，，的斜率，，．

，．

由，得．

所以，故设直线：，

设直线：，则，则两直线的交点横坐标为．

故点在定直线上．

【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明．

【例6】已知椭圆：内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于，和，两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总是为，则椭圆的离心率为

A．                       B．

C．                    D．

【答案】D

【解析】如图，分别取，的中点为，，连接，．

，，

故，，三点共线，

由于，得，平行于，

由中点弦性质知：，得，所以．

故选D．

【例7】已知椭圆：的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，，且，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，，

故椭圆的方程．

（2）如图，设，，中点为．

则，，又，

，直线的方程为：．

【注意】解答题欲用中点弦性质，切记必须先用点差法证明．

寄语

特别感谢周立政老师、邹书生老师、西瓜老师、兰琦老师以及本门弟子R.C.Lau，范慕杺贡献集体智慧，在此深表感谢，致以崇高敬意．推动读者对该性质的深刻理解，望后来者继往开来，不忘初心，砥砺前行．综上所述，送君千里，终须一别．掌握圆锥曲线中心弦与中点弦性质，挥洒自如，需不断总结．只有与传统方法计算前后对比，方能珍惜其优越．若有不妥之处，敬请谅解，请批评指正．以下为研修经典巩固练习，望同学们且学且珍惜．

往事如梦

1．（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆，斜率为﹣1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB（O为坐标原点）的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为

A．    B．

C．    D．

2．（2019年重庆云阳江口中学高二月考）已知椭圆 ，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ，则离心率e的取值范围为

A．              B．

C．        D．

3．（2014浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是______________．

4．（2019全国II21节选）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C．求C的方程，并说明C是什么曲线．

5．（2017北京）已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：与的面积之比为4:5．

6．(2016上海高三）已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；

（2）求实数的取值范围．

7．(2015新课标2）已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；