辽宁省沈阳市和平区第一二六中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

辽宁省沈阳市和平区第一二六中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列实数是无理数的是（　　）

A． B． C． D．3.14

2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5 B．，，1 C．4，5，6 D．7，24，25

3．已知点，则P到y轴的距离为（　　）

A． B．4 C．3 D．

4．下列命题中，属于真命题的是（    ）

A．如果，那么与是对顶角 B．三角形的一个外角大于任何一个内角

C．两直线平行，同旁内角相等 D．等角的余角相等

5．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是（　　）

A． B． C． D．

6．已知，，则a与b的大小关系是（　　）

A． B． C．  D．无法确定

7．某校九年级进行了三次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁四名同学成绩的方差分别为，，，，那么这四名同学数学成绩最稳定的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．已知方程组的解满足，则k的值是（　　）

A． B．2 C． D．

9．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知点，关于x轴对称，则一次函数的图象大致是图中的（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．___________．

12．小亮家去年的饮食、教育和其他支出分别是18000元、6000元、36000元，小亮家今年的这三项支出依次比去年增长了20%，30%，10%，小亮家今年的总支出比去年增长的百分比为___________．

13．如图，已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于，的方程组的解是______________．

14．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为___________．

15．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，则___________．

16．如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为___________．

三、解答题

17．计算：

18．解方程组：

19．如图，四边形是果农王大爷家的果园平面图，王大爷准备沿将果园分为和两个区域，分别种植两种不同的果树．经测量，，米，米，米，求区域的面积．

20．如图，在中，，平分，为（不与点，重合）上一点，于点．若，，求的度数．

21．（列二元一次方程组求解）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，求甲、乙两种商品现在的单价．

22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图．

(1)画出关于x轴对称的图形（点A、B、C分别对应、、），并写出、、坐标：___________，___________，___________；

(2)求的面积为___________；

(3)若点P在y轴上，当线段的值最小时，请直接写出P点坐标___________．

23．某校八年级全体同学参加了“爱心一日捐ˆ捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示：

（1）求出本次抽查的学生人数；

（2）求出捐款10元的学生人数，并将条形图补充完整；

（3）捐款金额的众数是　　元，中位数是　　．

（4）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？

24．在一条笔直的航线上依次有A，B，C三个机场，现甲、乙两架飞机在这条航线上执行客运飞行任务，甲飞机搭载乘客从A地机场起飞，顺风飞行3.6小时到达C地机场，重新加满油后从C地机场沿原航线逆风飞回A地．乙飞机在甲飞机从A地出发2小时后在C地机场起飞，一路逆风飞往A地，且中途在B地机场经停了一些时间，最后与甲飞机同时在A地机场降落．甲、乙两架飞机距C地机场的路程y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示，若不考虑飞机起飞和降落的时间，且A、C两地之间的风向与风速始终保持不变，甲、乙两架飞机在静止空气中的速度恒定（顺风速度飞机在静止空气中的速度风速，逆风速度飞机在静止空气中的速度风速）．结合图象解答下列问题：

(1)A，B两地机场间的距离是___________千米，风速是___________千米/时；

(2)求所在直线的函数解析式；

(3)直接写出乙飞机从C地出发几小时后，两架飞机距B地的路程和为1800千米．

25．平面直角坐标系中，直线，分别交x轴，y轴于点A，点C；点B在y轴负半轴上．且，点在直线上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．

(1)求直线的函数表达式．

(2)连接、，若的面积等于面积的，直接写出t的值___________．

(3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足t的值___________．

(4)直接写出的最小值为___________．

参考答案：

1．B

【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

【详解】解：A、，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

B、是无理数，故本选项符合题意；

C、，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；

D、是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．

2．D

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．

【详解】A、，但不是正整数，不是勾股数，故A不符合题意；

B、，但不是正整数，不是勾股数，故B不符合题意；

C、，不是勾股数，故C不符合题意；

D、，是勾股数，故D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13，熟练掌握其性质是解决此题的关键．

3．C

【分析】根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．

【详解】解：，则点P到y轴的距离是．

故选：C．

【点睛】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．

4．D

【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及余角的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：A．如果，那么与是对顶角，错误，是假命题，不符合题意；

B．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，不符合题意；

C．两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；

D．等角的余角相等，正确，是真命题，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．

5．C

【分析】如图，先根据平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可．

【详解】解：∵直尺的两条边互相平行，，

∴，

∵，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．

6．A

【分析】先比较与的大小，然后得出与的大小即可．

【详解】解：∵，，

又∵，

∴，即，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握两个负数大小的比较方法．

7．C

【分析】利用方差的意义求解即可．

【详解】解：∵，，，，

∴，

∴这四名同学跑步成绩最稳定的是丙，

故选：C．

【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

8．B

【分析】根据得，再根据，可得，进一步求解即可．

【详解】解：，

得，

∵，

∴，

解得，

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据已知条件找出两个二元一次方程的特点是解题的关键．

9．C

【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2=盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．

【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，

根据题意得，

故选：C．

【点睛】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．

10．D

【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．

【详解】解：∵点，关于x轴对称，

∴，，

∴，，

∴一次函数的解析式为，

∵，，

∴函数图象经过一二四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

11．

【分析】根据算术平方根的定义求解即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．

12．15%

【分析】先求出今年的增加的支出，然后根据增长率今年的增加的支出去年的支出总数即可求出结果．

【详解】解：去年的支出总数为：（元），

今年的增加的支出为：（元），

∴小亮家今年的总支出比去年增长的百分比为：．

故答案为：15%．

【点睛】本题主要考查了增长率的计算，解题的关键是熟练掌握增长率今年的增加的量去年的总量．

13．

【分析】先把x＝2代入y＝x＋3，得出y＝5，则两个一次函数的交点P的坐标为（2，5）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．

【详解】解：把x＝2代入y＝x＋3，得出y＝5，

函数和的图象交于点P（2，5），

即x＝2，y＝5同时满足两个一次函数的解析式．

所以关于x，y的方程组的解是，

故答案为：．

【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

14．9cm或21cm

【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．

【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm．

根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分，

∴或，

解得或，

经检验，都符合三角形的三边关系．

因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm．

故答案为：9cm或21cm．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

15．##度

【分析】根据勾股定理得出，，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形内角和解答．

【详解】解：连接，，如图，

根据勾股定理可得：，

 ，

∴，

∵在中，，

，

∴，

∴是直角三角形，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形内角和以及等腰直角三角形的判定和性质．

16．##

【分析】延长至点G，使，连接，过E作于H，根据证明，可求，进而可求，根据证明，可得，，然后在根据勾股定理求出，最后根据等积法求解即可．

【详解】解∶延长至点G，使，连接，过E作于H，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

又，，

∴，

∴，，

又，

∴，

∴，即，

在中，，，，，

∴，，

在中，，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．

17．

【分析】根据二次根式的混合运算法则求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．

18．

【分析】先将方程组进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可．

【详解】解：，

原方程组可变为：，

得：，

解得：，

把代入得：，

解得：，

∴原方程组的解为：．

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，准确计算．

19．3000平方米；

【分析】过点B作BE⊥AC于E，Rt△ACD中勾股定理可得AD，由等腰三角形三线合一的性质可得AE，Rt△ABE中由勾股定理可得BE，进而可得△ABC面积；

【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于E，

Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=100米，CD=60米，

∴AC=米，

△BCA中，BA=BC，BE⊥AC，

∴AE=EC=AC=40米，

Rt△ABE中，BE=米，

∴△ABC面积=AC•BE=×80×75=3000(平方米)；

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式的性质等知识；结合平方差公式计算求值是解题关键．

20．

【分析】先根据，可得出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．

【详解】，，

，

，

是的平分线，

，

∴．

【点睛】本题考查角平分线定义及三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是灵活运用三角形内角和定理．

21．甲种商品现在的单价是36元，乙种商品现在的单价是84元

【分析】如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为，根据“甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了，可得出方程为．

【详解】解：设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，

依题意得，

解得：．

（元），（元）．

答：甲种商品现在的单价是36元，乙种商品现在的单价是84元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

22．(1)画图见解析，，，

(2)2

(3)

【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；

（2）根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积解答即可；

（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．

【详解】（1）解：如图，即为所求，

，

，，；

（2）解：；

（3）解：如图，点即为所求．

．

【点睛】此题主要考查了轴对称变换和平移变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点位置是解题关键．

23．（1）50名；（2）16人，图见解析；（3）10，12.5；（4）140人

【分析】（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数；

（2）将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；

（3）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数，求出第25.26个数据的平均数可得数据的中位数；

（4）由捐款20元的人数占总数的百分数，依据全校八年级1000名学生，即可得到结论．

【详解】解：（1）14÷28%＝50（人）

∴本次测试共调查了50名学生，

（2）50﹣（9+14+7+4）＝16（人）

∴捐款10元的学生人数为16人，

补全条形统计图图形如下：

（3）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10元；

中位数是＝12.5（元），

故答案为10、12.5；

（4）1000×＝140（人）

∴全校八年级1000名学生，捐款20元的有140人．

【点睛】此题考查条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．

24．(1)2000；50

(2)

(3)乙飞机出发后1小时或小时，两架飞机距B地的路程和为1800千米

【分析】（1）根据图像可知，A、C两地之间的距离为3600千米，根据乙飞机距C地机场的路程与时间图像可得，B、C间的路程，从而可以求出A，B两地机场间的距离；根据图像可以求出甲飞机顺风速度和逆风速度，从而求出风速；

（2）用待定系数法求出函数解析式即可；

（3）先算出乙飞机逆风飞行的速度，设乙飞机出发后t小时，两架飞机距B地的路程和为1800千米，分三种情况进行讨论，分别列出方程，解方程即可．

【详解】（1）解：根据图像可知，A、C两地之间的距离为3600千米，B、C两地间的路程为1600千米，则A，B两地机场间的距离为：（千米）；

甲飞机顺风飞行的速度为：（千米/时），

甲飞机逆风飞行的速度为：（千米/时），

设甲在静止空气中的速度为m千米/时，风速为n千米/时，根据题意得：

，

解得：，

即风速为50千米/时，

故答案为：2000；50．

（2）解：设所在直线的函数解析式为，把，代入得：

，

解得：，

∴所在直线的函数解析式为．

（3）解：甲飞机2小时顺风飞行的路程为：（千米），

∵A，B两地机场间的距离为2000千米，

∴2小时后，即乙飞机出发时，甲飞机正好到达B地；

乙飞机逆风飞行的速度为：（千米/时），

设乙飞机出发后t小时，两架飞机距B地的路程和为1800千米，

①甲飞机顺风飞行时，根据题意得：

，

解得：；

②（小时），

即甲飞机从A地出发后6小时，又从C地飞往A地，

（千米），

即乙开始从B地出发时，甲飞机距离B地250千米，

甲飞机到达B地前，根据题意得：

，

解得：，不符合题意舍去；

③甲到达B地后，根据题意得：

，

解得：；

综上分析可知，当乙飞机出发后1小时或小时，两架飞机距B地的路程和为1800千米．

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，从函数图象中获取信息，解题的关键是数形结合，利用方程思想解决问题，注意分类讨论．

25．(1)

(2)3或

(3)或0或4

(4)

【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；

（2）先求于面积，从而求出的面积，然后根据求解即可；

（3）分E在线段或上两种情况讨论即可；

（4）过P作于点Q，易求，则当C、P、Q三点共线，且时最小，然后根据等积法求解即可．

【详解】（1）解：当时，，解得，

∴，，

∵，

∴，

∴，

设直线的函数表达式，

∴，

解得，

∴直线的函数表达式；

（2）解：∵点在直线上，

∴，

∴

当时，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

又若的面积等于面积的，

∴，

∵，

∴，

解得或；

（3）解：当点E在线段上，

过E作轴，过D作于G，过P作于H，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又，，

∴，

∴，，

设，

又，，

∴，

解得或（舍去），

∴

∵，

∴，

解得；

当点E在线段上，

过D作轴于G，

同理可证，

∴，，

设，

∴，

∴或，

当时，，此时，∴，∴；

当时，，此时，∴，∴．

综上，或0或4；

（4）解：过P作于点Q，

∵，，

∴，

又

∴是等腰直角三角形，

∴，

则当C、P、Q三点共线，且时，最小，即最小，

∵，

∴，

∴，

∴的最小值为．

【点睛】本题考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．