专题九 最值模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．
【例题选讲】
[例] (1)已知三棱锥P－ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为eq \r(3)的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．
答案 3＋2eq \r(2) 解析 依题意，边长是eq \r(3)的等边△ABC的外接圆半径r＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),sin 60°)＝1.∵球O的表面积为36π＝4πR2，∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝eq \r(R2－r2)＝2eq \r(2)，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2eq \r(2)．
(2)在四面体ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝eq \r(3)，AC＝eq \r(2)，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )
A．2π B．3π C．6π D．8π
答案 C 解析 ∵AB＝1，BC＝eq \r(3)，AC＝eq \r(2)，由勾股定理可得AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC＝eq \r(3)，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(6)，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝6π．故选C．
(3)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16eq \r(3)，则球O的体积等于( )
A．eq \f(4\r(2)π,3) B．eq \f(16\r(2)π,3) C．eq \f(32\r(2)π,3) D．eq \f(64\r(2)π,3)
答案 D 解析 由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋16eq \r(3)，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，如图，所以该四棱锥的底面边长AB＝eq \r(2)R，则有(eq \r(2)R)2＋4×eq \f(1,2)×eq \r(2)R× eq \r((\r(2)R)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq \r(3)，解得R＝2eq \r(2)，所以球O的体积是eq \f(4,3)πR3＝eq \f(64\r(2),3)π．故选D．
(4)三棱锥A－BCD内接于半径为eq \r(5)的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(8,3) C．eq \f(16,3) D．eq \f(32,3)
答案 C 解析 如图，过CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，当球心在EF上时，EF最大，此时E，F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以EF＝2，所以Vmax＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×2×4＝eq \f(16,3)，故选C．
(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．
答案 8 解析 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq \f(h2,2)，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(h2,2)))h，则V′＝6－eq \f(3,2)h2，由V′>0，得02，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8．
【对点训练】
1．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为eq \f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三
棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
2．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC
体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝eq \r(6)，AC＝2eq \r(3)．若三棱锥D－ABC体积的最大值为3，
则球O的表面积为________．
4．在三棱锥A－BCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，CD＝AC＝eq \r(3)，当三棱锥A－BCD的体积最大时，其外接球
的表面积为________．
5．已知三棱锥D－ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2eq \r(2)，若三棱锥D－ABC体
积的最大值为2，则球O的表面积为( )
A．8π B．9π C．eq \f(25π,3) D．eq \f(121π,9)
6．三棱锥A－BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A－BCD的体积最大时，它的外接球的
表面积为( )
A．eq \f(21π,4) B．eq \f(20π,3) C．eq \f(5π,4) D．eq \f(5π,3)
7．已知三棱锥O－ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC
与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O－ABC的体积为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(2\r(3),3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
8．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为
9eq \r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3) C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
9．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC＝∠BSC＝30˚，则棱锥S－ABC的体积最大
为( )
A．2 B．eq \f(8,3) C．eq \r(3) D．2eq \r(3)
10．四棱锥P－ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面
积为16π，点P在球面上，则四棱锥P－ABCD体积的最大值为( )
A．8 B．eq \f(8,3) C．16 D．eq \f(16,3)
11．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B．eq \f(9π,2) C．6π D．eq \f(32π,3)
12．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为
________．
13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，
连接A1C．若当三棱锥A1－CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1－CDE外接球的体积为 eq \f(8\r(2)π,3)，则a＝( )
A．2 B． eq \r(2) C．2 eq \r(2) D．4
14．已知三棱锥S－ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为2 eq \r(3)，SA⊥平面ABC，SA＝4，