2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）

1．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，抛物线的图象与x轴交于点A点和B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线在x轴下方上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

(3)在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线经过点B，C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．

①求△PBC面积最大值和此时m的值；

②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？

(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．

(1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________；

(2)求直线BC的解析式；

(3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；

(4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．

7．如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；

(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，且．

(1)求抛物线解析式；

(2)如图，当D为抛物线上一点，横坐标为，请求出CBD的面积；

(3)将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，若点F为新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；

(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．

11．如图，抛物线经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；

(3)若点F为平面内的一点，且以点为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．

12．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点C是抛物线的顶点．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交BC于点E，，垂足为F．

(1)求点C的坐标；

(2)当取得最大值时，求点P的坐标和的最大值；

(3)当点P满足（2）问的条件时，把抛物线向右平移，使得新抛物线经过原点，M是新抛物线上一点，N是直线BC上一点，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

14．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；

(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

15．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；

(3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；

(4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

16．如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线经过O，A，C三点．

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；

(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C 重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；

(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．

20．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．

①若点N在线段上，且，求点M的坐标；

②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．

参考答案：

1．(1)

(2)（1，1）

(3)存在，，，，，

2．(1)

(2)

(3)存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为或或或

3．(1)

(2)①最大值为8，m＝2；②存在，或

4．(1)；

(2)；

(3)存在，，，﹣1，2

5．(1)

(2)当时，的面积最大，最大面积是

(3)存在，的坐标为或或或

6．(1)，

(2)直线的解析式为

(3)存在点，使的面积最大，最大面积是16，理由见详解

(4)满足条件的点的坐标为，，，，，

7．(1)y＝﹣x2+x+4

(2)存在，四边形ABFC的面积最大为16，F（2，4）

(3)P点坐标为（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）

(4)存在，P点坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，1）或（1，4+）或（1，4﹣）

8．(1)

(2)（11，4）

(3)或或

9．(1)

(2)

(3)，，，

10．(1)

(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5

(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)

11．(1)

(2)（0，4）

(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）

12．(1)y＝﹣x2﹣x+4

(2)S最大＝，D（﹣，5）

(3)存在，Q（﹣2，）

13．(1)点C的坐标为

(2)当时，取得最大值，最大值为．此时，点P的坐标为

(3)M的坐标为，，，．

14．(1)

(2)

(3)或或

15．(1)抛物线解析式为

(2)

(3)，，

(4)正方形MNED的边长为或

16．(1)

(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；

(3)

17．(1)

(2)

(3)存在；或或或

18．(1)

(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形

(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．

19．(1)

(2)，P点的坐标为

(3)存在，，；，；，

20．(1)

(2)①；②