2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（线段周长问题）(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（线段周长问题）

1．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

(1)点A的坐标为　     　，点B的坐标为　       　．

(2)①求抛物线的解析式；

② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．

2．已知抛物线（a为常数，）交x轴于点A（6，0），点，交y轴于点C．

(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；

(3)M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分的边MN时，求点N的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接，求的最小值；

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．

4．二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求、的值；

(2)是二次函数图像在第一象限部分上一点，且，求点坐标；

(3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与点重合，与点重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值．

5．如图，抛物线（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，n）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m．

①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标；

②是否存在点P使为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE=5EF，求m的值；

(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；

(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．

(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．

(3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点C的坐标；

(3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值．

11．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；

(3)点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？

(3)点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标．

13．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点（0，3）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，当PE+EF有最大值时，求P点的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点D使△BCD是以BC为斜边的直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线过A、B两点．

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于点M，交这条抛物线于点N．求当t取何值时，MN有最大值?最大值是多少?

(3)在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求顶点D的坐标．

15．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；

(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；

(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

16．抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P作PE⊥AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；

(3)将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．

17．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．

(1)求出二次函数的解析式；

(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；

(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；

(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．

19．如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线经过O，A，C三点．

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；

(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C 重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．经过点B的直线与y轴交于点，与抛物线交于点E．

(1)求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；

(2)若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；

(3)若点M是直线BE上的动点，过M作轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．(1)（﹣3，0），（0，3）；

(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，

(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形

2．(1)C（0，6）；抛物线的解析式为y＝−x2＋5x＋6

(2)P（3，12）

(3)点N的坐标为（，）或（，）

3．(1)；

(2)；

(3)存在，，，﹣1，2

4．(1)

(2)

(3)6

5．(1)

(2)①PE有最大值，点P的坐标为；②存在，或或

6．(1)y=﹣x2+4x+5；

(2)2或；

(3)存在，P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）

7．(1)

(2)（1，-2）

(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）

8．(1)，（-3，0）

(2)

(3)或（-2，1）或

9．(1)

(2)存在，Q(-2，8)

(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)

10．(1)

(2)

(3)最大值是，最小值是4

11．(1)抛物线的解析式是y=x2-3x-4；

(2)m=4−；

(3)存在，m=1.5时，△BEF的周长最小．

12．(1)y＝x﹣3

(2)当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）

(3)P点坐标为（，﹣）或（，﹣）

13．(1)y＝x2﹣4x+3

(2)点P的坐标为（2，﹣1）

(3)存在，点D的坐标为：（2，）或（2，）．

14．(1)

(2)当时，MN有最大值，MN的最大值为1

(3)点D的坐标是或或．

15．(1)b=4，c=5， m=5

(2)当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）

(3)所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）

16．(1)

(2)PE的最大值为2，

(3)或

17．(1)y=-x2+4x

(2)

(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）

18．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，

(2)

(3)存在

19．(1)

(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；

(3)

20．(1)y＝，点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，4）

(2)点P的坐标为(－1，3)

(3)存在，点M的坐标为：(，)或(，)