2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）

1．如图，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，已知点是线段AB上的动点（点E不与点A，B重合）．过点E作轴交抛物线于点P．交BC于点F．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若，请求出m的值；

(3)是否存在这样的m，使得与相似？若存在，求出此时m的值，若不存在，请说明理由；

(4)当点E运动到抛物线对称轴上时，点M是x轴上一动点，点N是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，直接写出t的值．

3．如图，在平面直角坐标系内，抛物线（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且OB＝2OA．过点A的直线y＝x＋2与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

(1)抛物线的表达式中，a＝       ，b＝        ；

(2)在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大，求这个最大值和点P的坐标；

(3)在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点P为线段AB上一动点（不与点B重合），连接PC、AC、BC，将△BPC沿直线BC翻折得到．△BP'C，P'C交拋物线的另一点为Q，连接QB．

(1)求抛物线的表达式；

(2)求四边形QCOB面积的最大值；

(3)当CQ：QP'＝1：2时，点N为抛物线上一点，直线NQ交y轴于点M，

①若△NQP'的面积为△MQC面积的8倍，求出点N的坐标；

②在①的条件下，点D在直线NQ上，点E在x轴负半轴上，当△ADE∽△ABC时，求点E的横坐标（直接写出答案）．

5．如图1，平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A、点C，且与x轴交于另一点B，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点．

①当点P在直线AC下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP，CP．求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；

②当点P在x轴上方的抛物线上运动时，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP．是否存在点P，使△PMB与△AOC相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中， 抛物线 与 轴交于点 、点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ， 且过点 ．

(1)求抛物线的表达式：

(2)如图 1， 点 为直线 上方抛物线上 （不与 重合） 一动点， 过点 作 轴， 交 于 ，过点 作 轴， 交直线 于 ， 求 的最大值及此时点 的坐标；

(3)如图 2， 将原抛物线沿 轴向左平移 1 个单位得到新抛物线 ， 点 为新抛物线 上一点， 点 为原抛物线对称轴上一点， 当以点 为顶点的四边形为平行四边形时， 求点 的坐标， 并写出求其中一个 点坐标的解答过程．

7．如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是，．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点F在抛物线的对称轴上，若线段FB绕点F逆时针旋转后，点B的对应点B'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点F的坐标．

8．如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且．

(1)请直接写出，两点的坐标：______，______；

(2)当顶点与点关于轴对称时，．

①求此时抛物线的函数表达式；

②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．抛物线交x轴于、B两点，交y轴于C；直线交抛物线于第一象限内点D，且D的横坐标为5，

(1)求抛物线解析式；

(2)点E为直线下方抛物线上一动点，且，求点E的坐标；

(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．综合与探究

如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．

(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；

(2)当平分时，求出点的坐标；

(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A和点C的坐标分别为和

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)将线段CB绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD，求线段AD的长；

(3)点M是抛物线上位于第一象限图象上的一动点，连接AM交BC于点N，连接BM，当时，请直接写出点M的横坐标的值．

12．如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．

(1)若

①求此二次函数图象的顶点M的坐标；

②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”．

(2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式．

13．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)动点D在直线上方的二次函数图象上，连接，设的面积为S，求S的最大值；

(3)当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标．

14．如图，已知抛物线与轴交于点C，且经过点A(-1，0)，B(4，0)，点D与点C关于轴对称，点F是轴上一定点，点P(，0)是轴上的一个动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

(1)求抛物线的表达式；

(2)若四边形DMQF是平行四边形，试求此时m的值；

(3)点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若P为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；

(3)是否存在点P，使，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，说明理由．

16．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

(1)求点A，点C的坐标；

(2)如图2，连结AC，DC，过点C作交抛物线于点E．求证：∠DCE＝∠CAO；

(3)如图3，在（2）的条件下，连结BC，在射线EC上有点P，使以点D，E，P为顶点的三角形与△ABC相似，求EP的长．

17．如图，抛物线经过原点O和点，且与x轴交于点，顶点为C．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若P在y轴右侧的抛物线上，过点P作轴，垂足为Q，是否存在点P，使得以P、Q、A为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，抛物线经过坐标原点与点，正比例函数与抛物线交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点是第四象限抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，是否存在点，使得与以点、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

19．已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为，，直线与边BC相交于点D．

(1)求点D的坐标；

(2)若抛物线经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；

(3)在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求点P的坐标．

20．如图，抛物线交x轴于A（，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线解析式；

(2)过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m，求d与m的函数关系式；

(3)若点P在y轴右侧，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．(1)y=-x-2

(2)m=2

(3)存在，m的值为0或3

(4)(，0)

2．(1)

(2)（11，4）

(3)或或

3．(1)，

(2)点P的坐标为（2，-4）时，△AEP的面积最大，最大为32

(3)（2，0）或（，0）

4．(1)

(2)

(3)①点的坐标为或，；②点的横坐标为

5．(1)

(2)①四边形ABCP面积的最大值为8，此时点P为（－2，－2）；②存在符合条件的点P，点P坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）

6．(1)

(2)最大值为，

(3)（1，3）或（1，-3）．

7．(1)

(2)存在，1或2

(3)点F的坐标为（1，1）或

8．(1)，

(2)①

②或

9．(1)

(2)；E2（2，-4）

(3)存在，（8，20）

10．(1)，，，

(2)，

(3)存在，

11．(1)

(2)

(3)

12．(1)①（1，4）；

(2)

13．(1)

(2)

(3)存在；Q的坐标为或

14．(1)

(2)m＝3或m＝﹣1

(3)存在，(3，2)或(﹣1，0)

15．(1)

(2)或

(3)

16．(1)，

(2)证明见解析

(3)或

17．(1)

(2)存在，点P的坐标为或

18．(1)；

(2)P点坐标为或．

19．(1)(2，3)

(2)

(3)(3，0)或(3，-4)

20．(1)

(2)当P在y轴右侧时，；当P在y轴左侧时，

(3)存在，