2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题九 考点23 数列的概念与简单表示法（C卷）

专题九 考点23 数列的概念与简单表示法（C卷）

1.已知数列的通项公式为，且单调递增，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2.已知数列，2，，4，…，则是这个数列的(   )

A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项

3.已知在数列中，，，则等于(   )

A. B. C. D.

4.数列中，，.若，则(   )
A.2 B.3 C.4 D.5

5.已知数列满足，则(   )

A. B. C. D.

6.已知数列的前n项和为，且.若数列为递增数列，则实数λ的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90~100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为(   )

A.65 B.66 C.67 D.68

8.已知数列的前n项和为.若，则(   )
A.50 B.51 C.100 D.101

9.若数列满足，则称数列为斐波那契数列.1680年卡西

尼发现了斐波那契数列的一个重要性质：.在斐波那契数列中，若k满足，给出下列结论：①k可以是任意奇数；②k可以是任意正偶数：③若k是奇数，则k的最大值是999；④若k是偶数，则k的最大值是500.其中正确结论的序号是(   )

A.①④ B.②③ C.①② D.③④

10.已知集合.将的所有元素从小到大排列构成数列，其前n项和为，则下列命题中真命题的个数为(   )

①；

②是等比数列；

③使成立的n的最小值为100；

④恒成立.

A.4 B.3 C.2 D.1

11.在斐波那契数列中，，，.已知为该数列的前n项和，若，则_____________.

12.已知数列中，，，则数列的通项公式为___________.

13.数列满足，前16项和为540，则___________.

14.已知数列满足，且，则的通项公式为_______________.

15.已知正项数列的前n项和为，，，其中为常数.
（1）证明：.
（2）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：∵数列中，且单调递增，对于恒成立，即对于恒成立. 对于恒成立，即.故选D.

2.答案：B

解析：将数列改写为，，，，…，由此可归纳该数列的通项公式为.又，所以是这个数列的第9项.故选B.

3.答案：D

解析：由，得，且，则是以4为首项，2为公比的等比数列，则，所以.

4.答案：C

解析：因为数列中，，令，则，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.所以，则，所以，故选C.

5.答案：D

解析：①，当时，②，则①-②得，，故.当时，，也符合，故选D.

6.答案：B

解析：当时，；当时，.则，所以当时，数列为递增数列.若数列为递增数列，只需，即，所以.故选B.

7.答案：B

解析：设年龄最小者的年龄为n，年龄最大者的年龄为，所以，所以，所以，所以，所以，因为年龄为正整数，所以，故选B.

8.答案：D

解析：因为，所以，同理可得.令，则，因为，所以，则有，故.若，则.故选D.

9.答案：B

解析：由可得.

若k为偶数，则，

此时，即，k无最大值，所以②正确，④错误；

若k为奇数，则，

此时，即，

此时k的最大值为999，所以①错误，③正确.故选B.

10.答案：B

解析：设，则数列是首项为1、公比为3的等比数列，其前n项和.因为，且当时，，

所以把的所有元素从小到大排列为，

所以.

对于①，，取，有，故①正确.

对于②，因为是常数，所以 是以1为首项、1为公比的等比数列，故②正确.

对于③，易知，则数列的前98项和

，前99项和，故使得成立的n的最小值为99，故③错误.

对于④，因为当时，，所以，

所以，又因为，所以恒成立，故④正确.

11.答案：

解析：由已知，得，，…，，以上各式相加，得，即.又，，所以.

12.答案：

解析：易知，由，可得，

所以当时，，

所以，

所以.

因为当时也满足上式，

所以数列的通项公式为.

13.答案：7

解析：令，则有，

，

前16项的所有偶数项和，

前16项的所有奇数项和，

令，则有.

，

，

，

前16项的所有奇数项和

.

.

14.答案：

解析：依题意数列满足，且①.

当时，，，

②，

②-①得，，

则，

所以，

，都符合上式.

所以的通项公式为.

故答案为：.

15.答案：（1）见解析

（2）存在，.
解析：（1），，

，
.

，，
，.
（2），

，

两式相减，得.

，即，

，由，得.

若是等比数列，则，

即，得.

经检验，符合题意.

故存在，使得数列为等比数列.